2018~2019版高中數(shù)學(xué)第三章柯西不等式與排序不等式本講整合課件.pptx

1、本講整合,答案：三維形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式亂序和順序和向量形式三角不等式,專題一,專題二,專題一:柯西不等式的應(yīng)用 1.柯西不等式的一般形式為 (a1b1+a2b2+anbn)2,其中ai,biR(i=1,2,n).該不等式的形式簡潔、美觀,對稱性強,靈活地運用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解,也可以用來解決最值問題. 2.利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進行轉(zhuǎn)化,運用時要注意體會拼湊和變形技巧. 3.利用柯西不等式證明不等式,特別是求最值時要注意等號是否成立.,專題一,專題二,專題一,專題二,變式訓(xùn)練1已知實數(shù)a,b

2、,c滿足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 求證 c1. 證明：因為a+2b+c=1,a2+b2+c2=1, 所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2. 由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)(a+2b)2, 即5(1-c2)(1-c)2,專題一,專題二,例2設(shè)a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=13,專題一,專題二,變式訓(xùn)練2求實數(shù)x,y的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達到最小值. 解：由柯西不等式,得 (12+22+12)(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2 1(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)2=1,專題一,專題二,專

3、題二:排序不等式的應(yīng)用 1.在利用排序不等式證明相關(guān)不等式時,首先考慮構(gòu)造出兩個合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要進行恰當(dāng)?shù)亟M合,這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點進行合理選擇. 2.根據(jù)排序不等式的特點,與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題,利用排序不等式解決往往有“化繁為簡”的效果. 3.利用排序不等式求最值時,也要關(guān)注等號成立的條件,不能忽略.,專題一,專題二,例3設(shè)a,b,cR+,利用排序不等式證明: 分析：假定a,b,c的大小關(guān)系,構(gòu)造數(shù)組a5b5c5, 進行證明.,專題一,專題二,例4設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整數(shù),分析：構(gòu)造數(shù)組b1,b2,b3,b4,b5

4、和1, 利用排序不等式求解.,解：設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一個排列, 且b1b2b3b4b5. 則b11,b22,b33,b44,b55.,專題一,專題二,變式訓(xùn)練3設(shè)a1,a2,an為正數(shù),且a1+a2+an=5,5,1,2,3,4,考點:柯西不等式的應(yīng)用 1.(2014陜西高考)設(shè)a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為. 解析：由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2, 即5(m2+n2)25, m2+n25,當(dāng)且僅當(dāng)an=bm時,等號成立.,1,2,3,4,2.(2013湖南高考)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為. 解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,當(dāng)a=2b=3c=2時,等號成立,所以a2+4b2+9c2的最小值為12. 答案：12,1,2,3,4,3.(2017江蘇高考)已知a,b,c,d為實數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd8. 證明：由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因為a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264,因此ac+bd8.,1,2,3,