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文檔簡(jiǎn)介
1、目錄專題一集合、簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用第1講集合與簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)1第2講函數(shù)、圖象及性質(zhì)5第3講基本初等函數(shù)9第4講函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用13第5講不等式及其應(yīng)用17第6講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用21專題二三角函數(shù)與平面向量第7講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)25第8講三角變換與解三角形29第9講平面向量及其應(yīng)用33專題三數(shù)列第10講等差數(shù)列與等比數(shù)列37第11講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用41專題四平面解析幾何第12講直線與圓的方程及應(yīng)用45第13講圓錐曲線(含軌跡問(wèn)題)49專題五空間立體幾何第14講空間幾何體的表面積與體積53第15講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系57專題六概率與統(tǒng)計(jì)、算法、復(fù)數(shù)第16講概率與統(tǒng)計(jì)6
2、1第17講算法、復(fù)數(shù)65專題七數(shù)學(xué)思想方法第18講分類討論思想69第19講函數(shù)與方程思想73第20講數(shù)形結(jié)合思想77第21講轉(zhuǎn)化與化歸思想81專題八高考數(shù)學(xué)題型訓(xùn)練第22講高考題中的填空題解法85第23講高考題中的解答題解法87集合、簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、 不等式、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用集合與簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)1. 理解集合中元素的意義是解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵:弄清元素是函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值?還是因變量的取值?還是曲線上的點(diǎn)? 2. 數(shù)形結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用方法:解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具,將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決3. 已知集合A、B,當(dāng)AB
3、時(shí),你是否注意到“極端”情況:A或B?求集合的子集時(shí)是否忘記?分類討論思想的建立在集合這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)中要得到強(qiáng)化4. 對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2n,2n1,2n1,2n2.5. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集1. A、B是非空集合,定義ABx|xAB,且xAB,若AxR|y,By|y3x,xR,則AB_. 2. 已知命題P:nN,2n1 000,則P為_(kāi)3. 條件p:aMx|x2x0,條件q:aNx|x|0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【例1】已知集合Ax|x23x100,集合Bx|p1x2p1若BA,求實(shí)數(shù)p的取值范圍【例2
4、】設(shè)A(x,y)|y2x10,B(x,y)|4x22x2y50,C(x,y)|ykxb,是否存在k、bN,使得(AB)C?若存在,求出k,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【例3】(2011廣東)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集,如果a,bS,有abS,則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的,若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集,TVZ且a,b,cT,有abcT,x,y,zV,有xyzV.則下列結(jié)論恒成立的是_A. T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法封閉 B. T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法封閉C. T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法封閉 D. T,V中每一個(gè)關(guān)于乘法封閉【例4】已知a0,函數(shù)f(x)axbx2.(1) 當(dāng)b0時(shí),若xR,
5、都有f(x)1,證明:01時(shí),證明:x0,1,|f(x)|1的充要條件是b1a2.1. (2011江蘇)已知集合A1,1,2,4,B1,0,2,則AB_.2.(2011天津)命題“若f(x)是奇函數(shù),則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是_3.(2009江蘇)已知集合Ax|log2x2,B(,a),若AB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(c,),其中c_.4.(2009陜西)某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組,每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組,已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26,15,13,同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人,同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人,則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_人5.(20
6、11陜西)設(shè)nN,一元二次方程x24xn0有正整數(shù)根的充要條件是n_.6.(2011福建)在整數(shù)集Z中,被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”,記為k,即k5nk|nZ,k0,1,2,3,4.給出如下四個(gè)結(jié)論:2 0111;33;Z01234;“整數(shù)a,b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_個(gè)(2011全國(guó))(本小題滿分14分)設(shè)aR,二次函數(shù)f(x)ax22x2a.若f(x)0的解集為A,Bx|1x3,AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:由f(x)為二次函數(shù)知a0,令f(x)0解得其兩根為x1,x2,由此可知x10,(3分) 當(dāng)a0時(shí),Ax|xx2,(5分)AB的充要條件是
7、x23,即,(9分) 當(dāng)a0時(shí), Ax|x1x1,即1,解得a2,(13分)綜上,使AB成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,2).(14分)函數(shù)、圖象及性質(zhì)1. 函數(shù)在高考中的題型設(shè)置有小題也有大題,其中大題有簡(jiǎn)單的函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)與其他知識(shí)綜合題,也有復(fù)雜的代數(shù)推理題,可以說(shuō)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是高考考查的主要著力點(diǎn)之一2. 重點(diǎn):函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性;函數(shù)與不等式結(jié)合;函數(shù)與方程的綜合;函數(shù)與數(shù)列的綜合;函數(shù)與向量的綜合;利用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫(huà)函數(shù)3. 難點(diǎn):新定義的函數(shù)問(wèn)題;代數(shù)推理問(wèn)題,常作為高考?jí)狠S題1. 已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)0,f(x1)f(x)x1,則f(x)_.2.函數(shù)f(x)
8、的定義域?yàn)開(kāi)3.函數(shù)f(x)的定義域是R,其圖象關(guān)于直線x1和點(diǎn)(2 , 0)都對(duì)稱,f2,則ff_.4.函數(shù)f(x)x22x,g(x)mx2,對(duì)x11,2,x01,2,使g(x1)f(x0),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【例1】已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)2,求函數(shù)f(x)的最小值. 【例4】(2011蘇錫常鎮(zhèn)模擬)已知函數(shù)f(x)a|x|,a為實(shí)數(shù)(1) 當(dāng)a1,x1,1時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;(2) 設(shè)m、n是兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足mn,若函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(m,n),且nm,求a的取值范圍1. (2011遼寧)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則a_.2.(2011湖北)若定義在R上的偶函
9、數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)ex,則g(x)_.3.(2011上海)設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù),若f(x)xg(x)在0,1上的值域?yàn)?,5,則f(x)在區(qū)間0,3上的值域?yàn)開(kāi)4.(2011北京)已知點(diǎn)A(0,2),B(2,0),若點(diǎn)C在函數(shù)yx2的圖象上,則使得ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為_(kāi)5.(2011上海) 已知函數(shù)f(x)a2xb3x,其中常數(shù)a,b滿足ab0.(1) 若ab0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2) 若abf(x)時(shí)x的取值范圍6.(2011湖北)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米
10、/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí)研究表明:當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1) 當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;(2) 當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值(精確到1輛/小時(shí)) (2011鎮(zhèn)江一模)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)32log2x,g(x)log2x.(1) 如果x1,4,求函數(shù)h(x)(f(x)1)g(x)的值域;(2) 求函
11、數(shù)M(x)的最大值;(3) 如果對(duì)不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1,4,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍解:令tlog2x,(1分)(1) h(x)(42log2x)log2x2(t1)22,(2分) x1,4, t0,2,(3分) h(x)的值域?yàn)?,2(4分)(2) f(x)g(x)3(1log2x),當(dāng)0x2時(shí),f(x)g(x);當(dāng)x2時(shí),f(x)g(x),(5分) M(x)M(x)(6分)當(dāng)0x2時(shí),M(x)最大值為1;(7分)當(dāng)x2時(shí),M(x)1.(8分)綜上:當(dāng)x2時(shí),M(x)取到最大值為1.(9分)(3) 由f(x2)f()kg(x),得(34log2x)(3log2
12、x)klog2x, x1,4, t0,2, (34t)(3t)kt對(duì)一切t0,2恒成立,(10分)當(dāng)t0時(shí),kR;(11分)t(0,2時(shí),k恒成立,即k4t15,(12分) 4t12,當(dāng)且僅當(dāng)4t,即t時(shí)取等號(hào)(13分) 4t15的最小值為3.綜上:k3.(14分)基本初等函數(shù)1. 掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)2. 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)3. 能夠應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題4. 了解冪函數(shù)的定義,熟悉常見(jiàn)冪函數(shù)的圖形與性質(zhì)1. 函數(shù)yloga(x2)1(a0,a1)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)2.函數(shù)ylg(x22x)的定義域是_. 3.函數(shù)yax(a0,
13、a1)在R上為單調(diào)遞減函數(shù),關(guān)于x的不等式a2x2ax30的解集為_(kāi)4.定義:區(qū)間x1,x2(x1x2)的長(zhǎng)度為x2x1.已知函數(shù)y|log0.5x|定義域?yàn)閍,b,值域?yàn)?,2,則區(qū)間a,b的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)【例1】函數(shù)f(x)(a,b,cZ)是奇函數(shù),且f(1)2,f(2)3.(1) 求a,b,c的值;(2) 當(dāng)x0時(shí),討論f(x)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)f(x)2x.(1) 若f(x)2,求x的值;(2) 若2tf(2t)mf(t)0對(duì)于t1,2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【例3】已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0,b0且a1)當(dāng)2a3b4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n1),nN*
14、,則n_.5.(2009山東)已知函數(shù)f(x)xa(2lnx)(a0),討論f(x)的單調(diào)性6.(2011陜西)設(shè)f(x)lnx,g(x)f(x)f(x)(1) 求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;(2) 討論g(x)與g的大小關(guān)系;(3) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得g(a)g(x)對(duì)任意x0成立(2011常州模考)(本小題滿分16分)已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)(1ax)ex,函數(shù)g(x),令函數(shù)F(x)f(x)g(x)(1) 若a1,求函數(shù)f(x)的極小值;(2) 當(dāng)a時(shí),解不等式F(x)1;(3) 當(dāng)a0時(shí),求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間解:(1) 當(dāng)a1時(shí),f(x)(1x)ex.則f(x)(x2)ex
15、.令f(x)0,得x2.(1分)列表如下:x(,2)2(2,)f(x)0f(x)極小值f(2) 當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值,極小值為f(2)e2.(3分)(2) 當(dāng)a時(shí),F(xiàn)(x)ex,定義域?yàn)閤|x2,xR F(x)ex(ex)0, F(x)在(,2)及(2,)上均為減函數(shù)(5分) 當(dāng)x(,2)時(shí),F(xiàn)(x)0, x(,2)時(shí),F(xiàn)(x)1. 當(dāng)x(2,)時(shí),F(xiàn)(0)1, 由F(x)1F(0),得x0.綜上所述,不等式F(x)1的解集為(,2)(0,)(7分)(3) 函數(shù)F(x)ex,定義域?yàn)?當(dāng)a0時(shí),F(xiàn)(x)exex.令F(x)0,得x2.(9分) 當(dāng)2a10,即a時(shí),F(xiàn)(x)0. 當(dāng)a
16、時(shí),函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間為.(11分) 當(dāng)a0時(shí),解x2得x1,x2. , 令F(x)0,得x,x,x(x2,);令F(x)0,得x(x1,x2)(13分) 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間為;函數(shù)F(x)單調(diào)增區(qū)間為.(15分) 當(dāng)2a10,即a時(shí),由(2)知,函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間為(,2)(2,)(16分)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1. 零點(diǎn)問(wèn)題,在掌握二分法的解題步驟基礎(chǔ)上,學(xué)會(huì)分析轉(zhuǎn)化,能夠把與之有關(guān)的問(wèn)題化歸為方程零點(diǎn)問(wèn)題2. 函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,主要抓住常見(jiàn)函數(shù)模型的訓(xùn)練,如冪指對(duì)模型,二次函數(shù)模型,數(shù)列模型,分段函數(shù)模型等,解答的重點(diǎn)是在信息整理和建模上3. 掌握解函數(shù)應(yīng)用題的
17、方法與步驟:(1) 正確地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型(建模);(2) 用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì),確定最佳的解題方案,進(jìn)行計(jì)算與推理(解模);(3) 把計(jì)算或推理得到的結(jié)果代回到實(shí)際問(wèn)題中去解釋實(shí)際問(wèn)題,即對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)作答(檢驗(yàn)、作答)1. 函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)為x0,則不小于x0的最小整數(shù)為_(kāi)2.關(guān)于x的方程x有負(fù)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_3.某工廠的產(chǎn)值月平均增長(zhǎng)率為p,則年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)4.某人在2009年初貸款 m萬(wàn)元,年利率為x,從次年初開(kāi)始償還,每年償還的金額都是n萬(wàn)元,到2012年初恰好還清,則n的值是_【例1】已知直線ymx(mR)與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)不
18、同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍【例2】某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為 800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi),沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留 1 m 寬的通道,沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí),蔬菜的種植面積最大?最大種植面積是多少?【例3】 2014年青奧會(huì)水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目將在J地舉行截至2010年底,投資集團(tuán)B在J地共投資100百萬(wàn)元用于房地產(chǎn)和水上運(yùn)動(dòng)兩個(gè)項(xiàng)目的開(kāi)發(fā)經(jīng)調(diào)研,從2011年初到2014年底的四年間,B集團(tuán)預(yù)期可從三個(gè)方面獲得利潤(rùn):一是房地產(chǎn)項(xiàng)目,四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位:百萬(wàn)元)的20%;二是水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位:百萬(wàn)元)
19、的算術(shù)平方根;三是旅游業(yè),四年可獲得利潤(rùn)10百萬(wàn)元(1) B集團(tuán)的投資應(yīng)如何分配,才能使這四年總的預(yù)期利潤(rùn)最大?(2) 假設(shè)從2012年起,J地政府每年都要向B集團(tuán)征收資源占用費(fèi),2012年征收2百萬(wàn)元,以后每年征收的金額比上一年增加10%.若B集團(tuán)投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是:從2011年初到2014年底,這四年總的預(yù)期利潤(rùn)中值(預(yù)期最大利潤(rùn)與最小利潤(rùn)的平均數(shù))不低于總投資額的18%,問(wèn)B集團(tuán)投資是否成功?【例4】 已知函數(shù)f(x)x28x,g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在區(qū)間t,t1上的最大值h(t);(2) 是否存在實(shí)數(shù)m,使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在
20、,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由1. (2010浙江)已知x0是函數(shù)f(x)2x 的一個(gè)零點(diǎn)若x1(1,x0),x2(x0,),則f(x1)f(x2)_0.(填“”或“3)千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元(1) 寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;(2) 求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.6.(2011福建)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2,其中3x0),雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(cR)E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:(1) P或P的平行面(只有一個(gè)面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|vc|S
21、成正比,比例系數(shù)為;(2) 其他面的淋雨量之和,其值為,記y為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量,當(dāng)移動(dòng)距離d100,面積S時(shí)(1) 寫出y的表達(dá)式;(2) 設(shè)0v10,0c5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動(dòng)速度v,使總淋雨量y最少解析:(1) 由題意知,E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為|vc|,(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知,當(dāng)0vc時(shí),y(3c3v10)15當(dāng)cv10時(shí),y(3v3c10)15.故y( 8分) 當(dāng)0c時(shí),y是關(guān)于v的減函數(shù)故當(dāng)v10時(shí),ymin20. (10分) 當(dāng)c5時(shí),在(0,c上,y是關(guān)于v的減函數(shù);在(c,10上,y是關(guān)于v的增函數(shù);故當(dāng)vc時(shí),ym
22、in. (12分)不等式及其應(yīng)用1. 理解并掌握不等式的基本性質(zhì)及解法2. 掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并能靈活運(yùn)用其解決問(wèn)題1. 已知集合A,集合Bx|ylg(x2x2),則AB_.2.設(shè)0ab,ab1,則,b,2ab,a2b2中的最大的是_3.點(diǎn)P(x,y)是直線x3y20上的動(dòng)點(diǎn),則代數(shù)式3x27y有最小值是_4.已知函數(shù)f(x)|lgx|.若ab且f(a)f(b),則ab的取值范圍是_【例1】設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a,b,cR)(1) 已知f(1),若f(x)0,求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(2) 已知a1,若x1,
23、x2是方程f(x)0的兩個(gè)根,且x1,x2(m,m1),其中mR,求f(m)f(m1)的最大值【例2】若關(guān)于x的不等式(2x1)2cSk都成立求證:c的最大值為.(2010江蘇)(本小題滿分14分)某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m),如圖所示,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m,仰角ABE,ADE.(1) 該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值,tan1.24,tan1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值;(2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使與之差較大,可以提高測(cè)量精確度若電視塔的實(shí)際高度為125 m,試問(wèn)d為多少時(shí),最大?解:(1) tanAD,同理,AB,BD
24、.(2分)ADABDB,故得,解得H124.因此,算出電視塔的高度H是124 m(5分)(2) 由題設(shè)知dAB,得tan,tan,(7分)tan(),(9分)函數(shù)ytanx在上單調(diào)增,0,則00)的一條切線,則實(shí)數(shù)b_.4.若曲線f(x)ax2lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【例1】 已知曲線f(x)x33x.(1) 求曲線在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程;(2) 求過(guò)點(diǎn)Q(2,6)的曲線yf(x)的切線方程【例2】已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2) 求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值【例3】(2009山東)兩縣城A和B相距20 km,現(xiàn)計(jì)劃在兩
25、縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠,其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān),對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和,記C點(diǎn)到城A的距離為x km,建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明:垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比,比例系數(shù)為4;對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí),對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.(1) 將y表示成x的函數(shù);(2) 討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷弧上是否存在一點(diǎn),使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小?若存在,求出該點(diǎn)到城A的
26、距離,若不存在,說(shuō)明理由【例4】(2011蘇北四市三模)已知函數(shù)f(x)ax2lnx,f1(x)x2xlnx,f2(x)x22ax,aR.(1) 求證:函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e,f(e)處的切線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);(2) 若f(x)f2(x)在區(qū)間(1,)上恒成立,求a的取值范圍;(3) 當(dāng)a時(shí),求證:在區(qū)間(1,)上,滿足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函數(shù)g(x)有無(wú)窮多個(gè)1. (2011湖南)曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為_(kāi)2.(2009江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P在曲線C:yx310x3上,且在第二象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi). 3.(201
27、0遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y上,為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則的取值范圍是_4.(2011福建)若a0,b0,且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值,則ab的最大值等于_5.(2011江西)設(shè)f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2) 當(dāng)0a2時(shí),f(x)在1,4上的最小值為,求f(x)在該區(qū)間上的最大值6.(2010遼寧)已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2) 設(shè)a1)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3) 如果存在a3,9,使函數(shù)h(x)f(x)f(x)(x3,b)在x3處取得最大值,試求b的最大值解:(1)
28、 設(shè)切點(diǎn)為T(x0,x03x02),由f(x)3x22x及題意得3x022x01(2分)解得x01或x0,所以T(1,0)或T,所以切線方程為xy10或27x27y50,(4分)(2) 因?yàn)間(x)x2xaalnx(x1),所以由g(x)2x10得2x2xa0(6分)令(x)2x2xa(x1),因?yàn)?x)在(1,)遞增,所以(x)(1)3a.當(dāng)3a0,即a3時(shí),g(x)的增區(qū)間為(1,);(8分)當(dāng)3a3時(shí),因?yàn)?1)3a0,所以(x)的一個(gè)零點(diǎn)小于1,另一個(gè)零點(diǎn)大于1,由(x)0得x11,從而(x)0(x1)的解集為即g(x)的增區(qū)間為.(10分)(3) h(x)x34x2(2a)xa,h(
29、x)3x28x(2a)因?yàn)榇嬖赼(3,9,令h(x)0,得x1,x2,所以要使h(x)(x3,b)在x3處取得最大值,必有解得a5,即a5,9(13分)所以存在a5,9使h(x)(x3,b)在x3處取得最大值的充要條件為h(3)h(b)即存在a5,9使(b3)a(b34b22b3)0成立因?yàn)閎30所以9(b3)(b34b22b3)0,即(b3)(b2b10)0,解得b,所以b的最大值為(16分)三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì);會(huì)用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的圖象;掌握函數(shù)yAsin(x)的圖象及性質(zhì)2. 高考試題中,三角函數(shù)題相對(duì)
30、比較傳統(tǒng),位置靠前,通常是以簡(jiǎn)單題形式出現(xiàn)因此在本講復(fù)習(xí)中要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性,特別是要熟練掌握三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)圖象的識(shí)別及其簡(jiǎn)單的性質(zhì)(周期、單調(diào)、奇偶、最值、對(duì)稱、圖象平移及變換等)3. 三角函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容,多數(shù)為基礎(chǔ)題,難度屬中檔偏易這幾年的高考中加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)的考查在這一講復(fù)習(xí)中要重視解三角函數(shù)題的一些特殊方法,如函數(shù)法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等的訓(xùn)練1. 函數(shù)y2sin21是最小正周期為_(kāi)的_(填“奇”或“偶”)函數(shù)2.函數(shù)f(x)cosx在0,)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)3.函數(shù)f(x)2cos2xsin2x的最小值是_4.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶
31、函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x時(shí),f(x)sinx,則f的值為_(kāi)【例1】設(shè)函數(shù)f()sincos,其中角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y),且0.(1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)是,求f()的值; (2) 若點(diǎn)P(x,y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定角的取值范圍,并求函數(shù)f()的最小值和最大值【例2】函數(shù)f(x)Asin(x)(A,是常數(shù),A0,0)的部分圖象如圖所示(1) 求f(0)的值;(2) 若0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍【例3】已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(00)為偶函數(shù),且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1
32、) 求f的值;(2) 將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間【例4】已知函數(shù)f(x)2sin2cos2x1,xR.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)f(xt)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且t(0,),求t的值;(3) 當(dāng)x時(shí),不等式|f(x)m|0),yf(x)的圖象與直線y2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(2011四川)已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x1(xR)(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;(2) 若f(x0),x0,求cos2x0的值5.(2009福建)已知函
33、數(shù)f(x)sin(x),其中0,|.(1) 若coscossinsin0,求的值;(2) 在(1)的條件下,若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于,求函數(shù)f(x)的解析式;并求最小正實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)(2009重慶)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)f(x)sin2cos21.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱,求當(dāng)x時(shí),yg(x)的最大值解:(1) f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosx(3分)sin,(5分)故f(x)的最小正周期為T 8.(7分)(2) (解
34、法1)在yg(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x,g(x),它關(guān)于x1的對(duì)稱點(diǎn)為(2x,g(x)由題設(shè)條件,點(diǎn)(2x,g(x)在yf(x)的圖象上,從而g(x)f(2x)sinsincos.(10分)當(dāng)0x時(shí),x,因此yg(x)在區(qū)間上的最大值為g(x)maxcos.(13分)(解法2)因區(qū)間關(guān)于x1的對(duì)稱區(qū)間為,且yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱,故yg(x)在上的最大值為yf(x)在上的最大值,由(1)知f(x)sin,當(dāng)x2時(shí),x,因此yg(x)在上的最大值為g(x)maxsin.(13分)三角變換與解三角形1. 掌握三角函數(shù)的公式(同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和、差角及倍角公式)及應(yīng)用
35、;能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和條件等式及恒等式的證明;掌握正弦定理、余弦定理,并能初步運(yùn)用它們解斜三角形2. 在復(fù)習(xí)過(guò)程中,要熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個(gè)公式的意義,應(yīng)用特點(diǎn)及常規(guī)使用方法等;熟悉三角變換常用的方法(化弦法、降冪法、角的變換法、“1”的變換等);掌握化簡(jiǎn)、求值和解三角形的常規(guī)題型;要注意掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系3. 近年來(lái)高考對(duì)三角函數(shù)與向量聯(lián)系問(wèn)題的考查有所增加,三角函數(shù)知識(shí)在幾何及實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用也是考查重點(diǎn),應(yīng)給予充分的重視新教材降低了對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求,但對(duì)兩角和的正切考查一直是重點(diǎn)1. 若tan3,則的值等于_. 2.已知cossin
36、,則sin的值是_3.在ABC中,tanA,tanC,則角B的值為_(kāi)4.在銳角ABC中,BC1,B2A,則的值等于_【例1】已知cos,cos()且0.(1) 求tan2的值;(2) 求.【例2】在ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a2c22b,且sinAcosC3cosAsinC,求b.【例3】在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知sinCcosC1sin.(1) 求sinC的值;(2) 若a2b24(ab)8,求邊c的值【例4】已知sin(2)3sin,設(shè)tanx,tany,記yf(x)(1) 求f(x)的解析式;(2) 若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)
37、f(x)的值域1. (2011全國(guó))已知,tan2,則cos_. 2.(2011江蘇)已知tan2,則的值為_(kāi)3.(2011重慶)已知sincos,且,則的值為_(kāi)4.(2010廣東)已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若a1,b, AC2B,則sinC_.5.(2011廣東)已知函數(shù)f(x)2sin,xR.(1) 求f的值;(2) 設(shè),f,f(32),求cos()的值6.(2011全國(guó))ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c;已知asinAcsinCasinCbsinB.(1) 求B;(2) 若A75,b2,求a,c.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)2cos.(1
38、) 設(shè),且f()1,求的值;(2) 在ABC中,AB1,f(C)1,且ABC的面積為,求sinAsinB的值解:(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1, 得cos.(5分)于是x2k(kZ),因?yàn)閤,所以x或.(7分)(2) 因?yàn)镃(0,),由(1)知C.(9分)因?yàn)锳BC的面積為,所以absin,于是ab2, 在ABC中,設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a、b,由余弦定理得1a2b22abcosa2b26,所以a2b27,由可得或于是ab2. (12分)由正弦定理得,所以sinAsinB(ab)1. (14分)平面向量及其應(yīng)用1. 掌握平面向量的
39、加減運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積等基本概念、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單應(yīng)用復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)強(qiáng)化向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的平行、垂直及求有關(guān)向量的夾角問(wèn)題要引起足夠重視2. 在復(fù)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透,如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等會(huì)用向量解決某些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題1. 在ABCD中,a,b,3,M為BC的中點(diǎn),則_.(用a、b表示)2.設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量ab與(b2a)共線,則_.3.若向量a,b滿足|a|1,|b|2且a與b的夾角為,則|ab|_. 4.已知向量P,其中a、b均為非零向量,則|P|的取值范圍是_【例1】已知向量a,b(2,cos2x)(1) 若x,試判斷a與b能否平行?(2) 若x,求函數(shù)f(x)ab的最小值【例2】設(shè)向量a(4cos,sin),b(sin,4co
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