高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 定積分與微積分基本定理課件 文 北師大版.ppt

1、3.4定積分與微積分基本定理,考綱要求:1.了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義.,1.定積分的定義和相關(guān)概念 一般地,給定一個(gè)在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x),其圖像如圖所示. 將a,b區(qū)間分成n份,分點(diǎn)為:a=x0x1x2xn-1xn=b. 第i個(gè)小區(qū)間為xi-1,xi,設(shè)其長(zhǎng)度為xi,在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i,使f(i)在區(qū)間xi-1,xi上的值最大,設(shè)S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn. 在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)i,使f(i)在區(qū)間xi-1,xi上的值最小,設(shè)s=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)x

2、n.,如果每次分割后,最大的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0,S與s的差也趨于0,此時(shí),S與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)A,容易驗(yàn)證,在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上任取一點(diǎn)i,S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趨于該常數(shù)A,我們稱(chēng)A是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作 其中叫作積分號(hào),a叫作積分的下限,b叫作積分的上限,f(x)叫作被積函數(shù).,2.定積分的幾何意義 (1)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上恒為正時(shí),定積分 的幾何意義是由直線(xiàn)x=a,x=b(ab),y=0和曲線(xiàn)y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影部分).,(2)一般情況下,定積分 的幾何意義是介于x軸、曲

3、線(xiàn)f(x)以及直線(xiàn)x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖中陰影所示),其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2.定積分 的值為() A.e+2B.e+1 C.eD.e-1,答案,解析,2,3,4,1,5,3.直線(xiàn)y=4x與曲線(xiàn)y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(),答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015湖南,理11) =.,答案,解析,2,3,4,1,5,5.一輛汽車(chē)在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車(chē),以速度 (t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車(chē)?yán)^續(xù)行駛的

4、距離(單位:m)為.,答案,解析,2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.定積分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取極限”.定積分只與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān),與積分變量無(wú)關(guān). 2.由微積分基本定理可知,求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù),由此可知,求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算. 3.重視定積分性質(zhì)在求值中的應(yīng)用.區(qū)分定積分與曲邊梯形面積間的關(guān)系,定積分可正、可負(fù),也可以為0,是曲邊梯形面積的代數(shù)和;而曲邊梯形面積非負(fù).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1定積分的計(jì)算 例1計(jì)算下列定積分:,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:計(jì)算定積分有哪些步驟? 解

5、題心得:計(jì)算定積分的解題的步驟: (1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差. (2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分. (3)分別用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù). (4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值,然后求其代數(shù)和.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2利用定積分求平面圖形的面積 例2(1)由曲線(xiàn)y= ,直線(xiàn)y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為(),答案

6、,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2015天津,理11)曲線(xiàn)y=x2與直線(xiàn)y=x所圍成的封閉圖形的面積為.,答案,解析,思考:用定積分求平面圖形的面積的步驟有哪些? 解題心得:利用定積分求曲線(xiàn)圍成圖形的面積的步驟: (1)畫(huà)出圖形;(2)確定被積函數(shù);(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),并確定積分的上、下限;(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出平面圖形的面積.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于(),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3

7、,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3定積分在物理中的應(yīng)用 例3(1)從空中自由下落的一物體,在第一秒末恰經(jīng)過(guò)電視塔頂,在第二秒末物體落地,已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度為v=gt(g為常數(shù)),則電視塔高為(),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2015杭州模擬)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上,使M沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為J(x的單位:m;力的單位:N).,答案,解析,思考:利用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題的關(guān)鍵是什么? 解題心得:利

8、用定積分解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是求出物體做變速運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達(dá)式,再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)一物體做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其v-t曲線(xiàn)如圖所示,則該物體在 6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為 m.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)一物體受到與它運(yùn)動(dòng)方向相反的力F(x)= ex+x的作用,則它從x=0運(yùn)動(dòng)到x=1時(shí),F(x)所做的功等于.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.求定積分的方法: (1)利用定義求定積分(定義法),可操作性不強(qiáng). (2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下: 求被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x); 計(jì)算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,3.定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用: (1)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程:如果變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(t),那么從時(shí)刻t=a到t=b所經(jīng)過(guò)的路程 (2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動(dòng)到x=b時(shí),力F(x)所做的功是,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)