高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4函數(shù)與方程2.4.1函數(shù)的零點(diǎn)課堂導(dǎo)學(xué)案新人教B版必修

1、2.4.1 函數(shù)的零點(diǎn)課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、考查函數(shù)零點(diǎn)的概念【例1】求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)=kx+b(k0);(2)f(x)=2x2-5x+2;(3)f(x)=x3+2x-3.思路分析：求函數(shù)的零點(diǎn)即是求f(x)=0的根，分解因式即可.解:(1)f(x)=k(x+),零點(diǎn)為.(2)f(x)=(x-2)(2x-1),零點(diǎn)為2、.(3)f(x)=x3-1+2x-2=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x2+x+3)，x2+x+3=(x+)2+0恒成立，f(x)零點(diǎn)為1.二、利用零點(diǎn)的性質(zhì)求參數(shù)【例2】函數(shù)y=x2+2px+1的零點(diǎn)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求p的取值范圍.

2、思路分析：二次函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，因此借助二次函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)研究.解法一:記f(x)=x2+2px+1，則函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，當(dāng)f(x)的零點(diǎn)一個(gè)大于1，一個(gè)小于1時(shí)，即f(x)與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在(1,0)的左方，另一個(gè)在(1,0)的右方，必有f(1)0,即12+2p+10.p-1.p的取值為(-,-1).解法二:設(shè)y=x2+2px+1的零點(diǎn)為x1、x2,則得p-1.三、應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)【例3】求證:方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間(1,2)內(nèi).思路分析：證明方程5x2-7x-1=0的兩個(gè)根分別位于(-1,0)和(1,2)內(nèi),即證

3、在(-1,0)和(1,2)上分別有一個(gè)零點(diǎn).證明:設(shè)f(x)=5x2-7x-1=0,則f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于f(-1)f(0)=-110,f(1)f(2)=-150,且f(x)=5x2-7x-1的圖象在R上是連續(xù)不斷的,f(x)的圖象在(-1,0)和(1,2)上分別有交點(diǎn),即方程5x2-7x-1=0的根一個(gè)在(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在(1,2)內(nèi).溫馨提示 判斷函數(shù)f(x)是否在(x1,x2)上存在零點(diǎn),除驗(yàn)算f(x1)f(x2)0是否成立外,還需考查函數(shù)的圖象在(x1,x2)上是否連續(xù)不斷.若判斷根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

4、,還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行.各個(gè)擊破類題演練1求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)=x3+1;(2)f(x)=.解析：(1)f(x)=(x+1)(x2-x+1),f(x)零點(diǎn)為-1.(2)f(x)=,令=0,得x=-1.f(x)零點(diǎn)為-1.變式提升1若f(x)=ax-b(b0)有一個(gè)零點(diǎn)3,則函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點(diǎn)是_.解析：f(x)=ax-b的零點(diǎn)是3,f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a.g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).g(x)零點(diǎn)為-1,0.答案：-1,0類題演練2已知函數(shù)f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個(gè)零點(diǎn)小于1,另一個(gè)零點(diǎn)在1與

5、2之間.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：函數(shù)的大致圖象如圖,則即0a1或-2a-.變式提升2m為何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)=mx2-(1-m)x+m有零點(diǎn)？解析：若m=0，函數(shù)為f(x)=-x,有零點(diǎn)x=0.當(dāng)m0時(shí)，由已知，=(1-m)2-4m20.3m2+2m-10.-1m且m0.綜上，當(dāng)m-1,時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn).類題演練3若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的,且方程f(x)=0在(-2,2)上僅有一個(gè)實(shí)根,則f(-1)f(1)的值( )A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.無(wú)法判斷解析：由于函數(shù)f(x)在(-2,2)上的圖象是連續(xù)的,且f(x)=0在(-2,2)上僅有一個(gè)實(shí)根,則有f(2)f(-2)0.若f(1)f(-1)0,則f(x)在(-1,1)上必有零點(diǎn),即方程f(x)=0在(-1,1)上必有根;反之,由f(2)f(-2)0,卻不一定有f(1)f(-1)0,如圖所示.選D.答案：D變式提升3若函數(shù)f(x)=ax2-x-1僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：(1)a=0,則f(x)=-x-1為一次函數(shù),易知函數(shù)僅有