6-5排隊模型的綜合應(yīng)用.ppt

1、6-5 排隊模型的綜合應(yīng)用, 學(xué)習(xí)過程中的分析與研究 建模分析 排隊系統(tǒng)的優(yōu)化 其他類型的排隊模型,問題1 我記得 M/M/1 損失制模型的數(shù)量指標(biāo)計算公式是最簡單的，好象總共有三個：,請幫我檢查一下，這些公式對嗎 ？,一、學(xué)習(xí)過程中的分析與研究,（1）上面的前兩個式子相加不等于1，因此肯定有問題! 因為有：,根據(jù)什麼進(jìn)行檢查？,（2）后兩個式子不相等，所以有問題 ！因為,（3）根本的記憶辦法是進(jìn)行簡單的 推導(dǎo)基本概率指標(biāo)計算“三步曲”！, M/M/1客源無限的 損失制排隊系統(tǒng)的 狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：, 狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：,系統(tǒng)在平穩(wěn)時的 狀態(tài)概率方程 ：,打開狀態(tài)概率方程，得：,注意到：,結(jié) 論

2、 在理解的基礎(chǔ)上記憶公式，掌握最基本的公式推導(dǎo)方法。, 求解狀態(tài)概率方程,推出基本概率指標(biāo)； 數(shù)學(xué)期望的定義式； Little公式描述Ls，Lq，Ws，Wq之間關(guān)系的4個基本公式：, 經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)技巧： 數(shù)學(xué)歸納法； 級數(shù)求和 (特別是等比級數(shù)求和公式常會用到)； 量綱分析；,問題2 M/M/1等待制系統(tǒng)中,正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)是,即/,對嗎？為什麼？M/M/c等待制系統(tǒng)呢？,（1）先研究M/M/1等待制系統(tǒng) 正在接受服務(wù)的顧客數(shù)是個隨機(jī)變量,設(shè)為,其所有可能的取值為0和1,其數(shù)學(xué)期望就是正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù),于是,E()=0p0+1(1-p0)=1-p0；,又由 p0=1-，得

3、 1-p0=/；,M/M/1無限源等待制公式,（2）M/M/c等待制系統(tǒng) 正在接受服務(wù)的顧客數(shù)是個隨機(jī)變量,設(shè)為,其所有可能的取值為0,1,2，；,E()=0p0+1p1+ =,可以證明結(jié)果仍然為/!,結(jié)論1：當(dāng)/c1時, 正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)不依賴于服務(wù)臺數(shù)!,結(jié)論2 正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)也就是正在忙的服務(wù)臺的平均數(shù),二、建模分析,對背景資料必須進(jìn)行仔細(xì)分析和認(rèn)真推敲，明確兩個最重要的問題： 所研究的系統(tǒng)可以歸結(jié)成什麼樣的排隊模型？為什麼？ 要求解決的問題歸結(jié)為求什麼特征量？,例題分析,1. 康橋苑圖書超市光顧者按Poisson流到達(dá)，平均每小時來到20人，書市只有1個收款臺，收

4、款開發(fā)票時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每位顧客需要花費(fèi)2.5分鐘。試問，若想分析該圖書超市的運(yùn)營情況，根據(jù)給出的背景可以抽象成什麼樣的模型？為什麼？,顧客：購書者； 服務(wù)機(jī)構(gòu)：收款臺； 根據(jù)常識，購書者必須付款后才能離去，所以是M/M/1等待制排隊系統(tǒng)； =20人/小時， =(1/2.5)人/分=(60/2.5)=24人/小時；,請完整地敘述該系統(tǒng)的意義。,顧客按泊松流輸入、平均到達(dá)率為20人/小時，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布、平均服務(wù)率為24人/小時，1個服務(wù)臺，系統(tǒng)容量和顧客源均為無限。當(dāng)顧客來到系統(tǒng)時，若服務(wù)臺忙，則顧客排隊等待服務(wù)，排隊規(guī)則為先到先服務(wù)的等待制排隊系統(tǒng)。,2某汽車加油站有兩臺油泵

5、為汽車加油，加油站內(nèi)最多能容納6輛汽車。已知待加油車輛相繼到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時到達(dá)18輛。若加油站中已經(jīng)有K輛車，當(dāng)K2時有K/6的待加油車輛將離去另求服務(wù)。加油時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛車需要5分鐘。,現(xiàn)希望解決以下問題： 求加油站空閑的概率； 求兩臺加油泵全忙的概率； 求加油站客滿的概率； 若每服務(wù)1輛車，加油站可獲得10元利潤，則平均每小時可獲利多少？,R=10e ，其中：,每小時平均損失多少顧客數(shù)？ 平均等待加油的車輛數(shù)是多少？ 平均有多少車位被占用？ 進(jìn)入加油站的車輛平均需要等多長時間才能開始加油？總共需要多少時間才能離開？,該系統(tǒng)的特點(diǎn)是什麼 ？,系統(tǒng)所有可能

6、的狀態(tài)是: 0，1，2，3，4，5，6；,這是M/M/2/6/FCFS混合制排隊系統(tǒng)，但是k和k是變化的。 試根據(jù)排隊系統(tǒng)的研究思路畫出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：,c=2，=18輛/h；=1/（5/60）=12輛/h； /=3/2；,狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：,根據(jù)每個狀態(tài)的轉(zhuǎn)入率等于轉(zhuǎn)出率,可以寫出穩(wěn)態(tài)概率關(guān)系 ：, ,求加油站空閑的概率； =0.22433； 求兩臺加油泵全忙的概率 ：,求加油站客滿的概率 ：,若每服務(wù)1輛車，加油站可獲得10元利潤，則平均每小時可獲利多少？ 每小時可服務(wù)的顧客數(shù)：,則每小時可獲利：,每小時平均損失的顧客數(shù) ：,平均等待加油的車輛數(shù)：,進(jìn)入加油站的車輛開始加油前平均需要等待

7、的時間：,平均被占用的車位：,總共需要花費(fèi)的時間：,3、某汔修部有3個修理組對外提供修車服務(wù)，共有6個停車位，當(dāng)所有車位被占滿時，新到達(dá)待修車輛則離去另求服務(wù)。,已知每天來修理的車輛服從泊松分布，平均每天4輛；每個修理組修復(fù)1輛車所用時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每天修復(fù)兩輛。當(dāng)修理部待修車輛不足3輛時，空閑的修理組會協(xié)助修理，若3個組同修兩輛車，則修復(fù)速度提高到每天5輛，若3個組同修一輛車，修復(fù)速度提高到每天4輛。經(jīng)核算，每修復(fù)一輛車可盈利2000元。,問：（1）根據(jù)提供的背景資料，可建立何種類型的排隊模型進(jìn)行分析討論？試畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣。 （2）修理部每天盈利多少？ （3

8、）待修車輛從到達(dá)到修復(fù)離去需要多長時間？ （4）平均每天有多少車位被占用？ （5）平均每天得不到修理而離去車輛的概率？,(1)依題意,該系統(tǒng)可歸結(jié)為 M/M/3/6/FCFS混合制排隊系統(tǒng), =4輛/天,=2輛/天； 實際服務(wù)率是變化的，有:,狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：,狀態(tài)概率方程：,打開狀態(tài)概率方程得如下方程組：,P1=0.2547；P2=0.2038；P3=0.1358；P4=0.0906；P5=0.0604；P6=0.0403；,（2）修理部每天的盈利 ：,盈利=2000 =2000(0P0+4P1+5P2+6P3+6P4+6P5+6P6) =8000.8,（3）待修車輛從到達(dá)到修復(fù)離去需要的

9、時間: Ws=Wq+1/ （4）平均每天被占用的車位: Ls=Wse （5）平均每天得不到修理而離去的車輛概率及車輛數(shù)為: P6=64/405P0=0.0403 P6=664/405P0=0.2418(輛),三、排隊系統(tǒng)的優(yōu)化,問題1 興建一座港口碼頭，只有1個裝卸船只的泊位，要求設(shè)計裝卸能力（用每日裝卸的船只數(shù)表示），使每天的總支出最少。已知的數(shù)據(jù)資料如下： 單位裝卸能力每天平均耗費(fèi)生產(chǎn)費(fèi)用a=2千元；,船只到港后如不能及時裝卸，每滯留1天的損失費(fèi)為b=1.5千元； 預(yù)計船只的平均到港率為=3只/日； 船只到達(dá)的時間間隔和裝卸時間均服從負(fù)指數(shù)分布。 題意分析：服務(wù)臺就是裝卸船只的泊位，到港裝卸的船只就是顧客。 這是個M/M/1等待制排隊系統(tǒng)。,需要設(shè)計的裝卸能力服務(wù)率； 問題的要求求最優(yōu)服務(wù)率； 目標(biāo)要求總支出最少； 列出總支出與的關(guān)系式：,問題2 背景同上，但要求設(shè)計裝卸船只的泊位數(shù)，使每天的總費(fèi)用最少。已知每個泊位每天可裝卸2只船，其他已知的數(shù)據(jù)資料同上。 該系統(tǒng)成為M/M/C等待制排隊系統(tǒng)； 要求對服務(wù)臺進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計求最佳服務(wù)臺數(shù)c； 目標(biāo)要求總支出費(fèi)用最少。,總費(fèi)用F=ac+bLs ，而Ls是c的函數(shù)，因此有： F = ac + bLs(c)=2c+1.5