函數(shù)圖像變換與旋轉(zhuǎn)

1、.函數(shù)圖像變換與旋轉(zhuǎn)一 .平移變換：1.y=f （ x） y=f(x a)(a0)原圖像橫向平移a 個(gè)單位（左 +右 - ）2.y=f （ x） y=f(x)b(b0)原圖像縱向平移b 個(gè)單位（上 +下 - ）3. 若將函數(shù) y=f （ x）的圖像右移a，上移 b 個(gè)單位，得到函數(shù)y=f （ x-a ） +b二對(duì)稱變換：1.y=f （ x） y=f( -x)原圖像與新圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱；對(duì)比：若 f= （ -x ） =f （ x）則函數(shù)自身的圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱；2.y=f （ x） y= -f(x)原圖像與新圖像關(guān)于x 軸對(duì)稱；3.y=f （ x） y= -f(-x)原圖像與新圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

2、；對(duì)比：若 f （ -x ） =-f （ x）則函數(shù)自身的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；4.y=f （ x）y= f -1 （ x）原圖像與新圖像關(guān)于直線y=x 對(duì)稱；5.y=f （ x）y= f -1 （ -x ）原圖像與新圖像關(guān)于直線y=-x 對(duì)稱；6.y=f （ x） y=f （ 2a-x ）原圖像與新圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱；7.y=f （ x） y=2 b-f（ x）原圖像與新圖像關(guān)于直線y=b 對(duì)稱；8.y=f （ x） y=2 b-f（ 2a-x ）原圖像與新圖像關(guān)于點(diǎn)（a， b）對(duì)稱；三翻折變換：1.y=f （ x） y=f(|x|) 的圖像在 y 軸右側(cè)（ x0）的部分與y=f （x）的

3、圖像相同，在 y軸的左側(cè)部分與其右側(cè)部分關(guān)于y 軸對(duì)稱；2. y=f （ x） y=|f( x)| 的圖像在 x 軸上方部分與 y=f （ x）的圖像相同，其他部分圖像為y=f （ x）圖像下方部分關(guān)于x 軸的對(duì)稱圖像；3.y=f （ x） y=f(|x+a|) 變換步驟：法 1: 先平移 |a| 個(gè)單位（左 +右 - ）保留直線x=a 右邊圖像，后去掉直線x=a 左邊圖像并作關(guān)于直線x=a 對(duì)稱圖像y=f （ x） y=f( x+a) y=f(|x+a|)法 2: 先保留 y 軸右邊圖像，去掉y 軸左邊圖像，并作關(guān)于y 軸對(duì)稱圖像，后平移|a| 個(gè)單位（左 +右 - ） y=f （ x） y

4、=f(|x|) y=f(|x+a|)四伸縮變換：1. y=f （ x） y=af( x) （a0）原圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a 倍，橫坐標(biāo)不變；.2. y=f （ x） y=f(ax)（ a0）原圖像上所有的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變；五對(duì)稱性：1. 函數(shù)自身對(duì)稱性之軸對(duì)稱：（ 1） . 若 f （ x）=f （ 2a-x ）（或 f （ a+x） =f （ a-x ）或 f （ -x ） =f （ 2a+x）則函數(shù)自身關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱；（ 2） . 若 y=f （x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱等價(jià)于 f （ a+mx）=f （ b-mx）等價(jià)于f （ a+b-mx） =f （mx）；2

5、. 函數(shù)自身對(duì)稱性之中心對(duì)稱：（ 1） . 若 f （ mx+a） =-f （b-mx ），則函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)（， 0）對(duì)稱；（ 2） . 若 f （ mx+a） +f （b-mx） =c，則函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)（， ）對(duì)稱；（ 3） . 若 f(a+x)+f(a-x)=2b（或 f （ x） +f(2a-x)=2b或 f （ -x ） +f(2a+x)=2b則函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)（a,b ）對(duì)稱；3. 不同函數(shù)之間的對(duì)稱性：（ 1） . 函數(shù) y=f （ a+x）， y=f （ b-x ）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；推論：函數(shù)函數(shù)函數(shù)特例：函數(shù)y=f(a+x)與 f(a-x)的圖像關(guān)于直線x=0 對(duì)稱；y=f(x

6、)與 y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱；y=f(-x)與 y=f(2a+x)的圖像關(guān)于直線x=-a 對(duì)稱；y=f （ a+x）， y=f （ a-x ）的圖像關(guān)于直線x=0 對(duì)稱；（ 2） . 函數(shù) y=f （ a+x）， y=-f （ b-x ）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；特例：函數(shù)y=f （ a+x）與 y=-f （ a-x ）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱4. 抽象函數(shù)的對(duì)稱性：（ 1） . 性質(zhì)一：若函數(shù) y=f(x) 關(guān)于直線 x=a 軸對(duì)稱，則以下三個(gè)時(shí)式子成立切等價(jià)：f(a+x)=f(a-x);f(2a-x)=f(x);f(2a+x)=f(-x)；（ 2）. 性質(zhì)二：若函數(shù)y=f(x

7、)關(guān)于點(diǎn)（ a，0）中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：.f(a+x)=-f(a-x);f(2a-x)=-f(x);f(2a+x)=-f(-x);易知， y=f （ x）為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)一（或二）當(dāng)a=0 時(shí)的特例；六周期性；1.f （ x+a）=f （ x）周期： |a|2.f （ x+a）=-f （ x）周期： 2|a|3. f （ x+a）=（或周期： 2|a|4.f （ x+a）=f （ x-a ）周期： 2|a|5.f （ x+a）=-f （ x-a ）周期： 4|a|6. f （ x+a）=（或）周期： 4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x)周期： 6|a|8.若 p0,f(px)=f(px-)周期：七對(duì)稱性與周期性：1. 若 y=f （x）的圖像關(guān)于直線 x=a， x=b 對(duì)稱（ a 不等于 b），則 f （ x）是周期函數(shù)，且周期 t=2|a-b|；特例：若 y=f （x）是偶函數(shù)且其圖像關(guān)于直線x=a 對(duì)稱，則周期t=2|a| ；2. 若 y=f （x）關(guān)于點(diǎn)（ a， 0），（ b，0）對(duì)稱，則 f （ x）是周期函數(shù)，且周期 t=2|a-b| ；3. 若 y=f （ x）的圖像關(guān)于直線 x=a，對(duì)稱中心（ b，0）對(duì)稱（ a 不等于 b）則 f （x）為周期函數(shù)，且周