第二章 波函數(shù)和薛定諤方程.ppt

1、第二章 波函數(shù)和Schrodinger方程,薛定諤,Erwin Schrodinger,(1887-1961),2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,波由粒子組成 波是大量粒子運動的表現(xiàn)（如水波），那么粒子流的衍射現(xiàn)象應該是粒子之間的相互作用形成的。 但是減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一個個從粒子源射出后仍有衍射現(xiàn)象 這種說法錯誤,波和它所描寫的粒子之間到底是什么關系?,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,自由粒子對應的波是平面波，平面波在整個空間傳播，粒子充滿整個空間？ 許多平面波的疊加對應粒子？ 在傳播過程中發(fā)生色散 群速： 相速 發(fā)生色散，粒子解體,粒子由波組成，粒子=波包？,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,波恩

2、：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋最正統(tǒng),經典粒子,能量E 動量P 確定的軌道,干涉 衍射 物理量的周期分布,經典波,無確定軌道,出現(xiàn)幾率的周期性分布,2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,Max Born真正將量子粒子的微粒性和波動性統(tǒng)一起來。 粒子用一波函數(shù) 來描述， 在t時刻，在 范圍內，接收到粒子多少是與 成正比 如果 是歸一化的，則表示接收到粒子的幾率 當發(fā)射粒子非常稀疏時，接收器上接收到的電子幾乎是“雜亂無章”的，但當時間足夠長時，接收到的電子數(shù)分布為,波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,波函數(shù) 不是對物理量的波動描述。 其意義是，在 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率正比于 波函數(shù)不代表物理實體，是一個幾率波； 波函數(shù)不能告訴你，t時刻測量時

3、，粒子在什么位置，在任何位置都有一定的可能性 越大，說明在r處出現(xiàn)的幾率越大,而不能確定測量的結果：到底出現(xiàn)在哪里,波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,如果有很多個全同的體系，在t時刻測量粒子的位置可能的結果是 則測得粒子在r1 r1dr的幾率為,波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,波函數(shù)給出體系一個完全的描述(例如，測量粒子的能量時，可給出預言可能測得那些能量值和測得該能量值的幾率等) 因此，可以說波函數(shù)描述了體系所處的量子狀態(tài)。以 描述體系，就稱體系處于 態(tài)，或稱 為體系的態(tài)函數(shù),波函數(shù)基本性質,的平方可積 除了個別孤立奇點外，波函數(shù)連續(xù)單值有界 在勢能有限大小的間斷處，波函數(shù)在該處的導數(shù)仍連續(xù) 不確定性: i) 表示同一個

4、態(tài)（歸一化） ii)位相不確定性 （ ）：不影響幾率 量子:幾率性，計算平均值,波函數(shù)的歸一化,在 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率正比于 比例系數(shù)為C，,歸一化波函數(shù),歸一化條件,歸一化因子,歸一化后， 才表示幾率,波函數(shù),平面波如何歸一？ 能量連續(xù) 波函數(shù)在多粒子體系中的推廣 粒子1位于,.,的幾率是,2.2 態(tài)疊加原理,波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是粒子波粒二象性的表現(xiàn)（粒子的位置，動量取值的概率由波函數(shù)給出） 微觀粒子的波粒二象性還可以通過態(tài)疊加原理表現(xiàn)出來 波函數(shù)的線性疊加 如果1， 2. n 是體系的一個可能態(tài),則cnn 是體系的可能態(tài)，并稱 為n態(tài)的線性疊加態(tài)。,2.2 態(tài)疊加原理,經典物理波遵從疊加原理

5、1，2a1b2 惠更斯原理：空間任意一點的P的光強可以由前一時刻波前上所有點傳播來的光波在P點線性疊加而得 干涉、衍射,2.2 態(tài)疊加原理,量子力學的疊加原理 波函數(shù)是可能性和概率 干涉項的概率性 是粒子運動狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不同粒子之間的干涉,2.2 態(tài)疊加原理,波疊加原理的表述 如果1，2是體系可能的狀態(tài)則 c11+ c22也是這個體系可能的狀態(tài) 在中,體系處于1，2 態(tài)的幾率分別是c12和c22,干涉項,2.2 態(tài)疊加原理,波疊加原理的表述 如果1， 2. n 是體系的一個可能態(tài),則 cnn 是體系的可能態(tài)，并稱 為n態(tài)的線性疊加態(tài)。 在中,體系處于1，2. n態(tài)的幾率分別是c1

6、2，c22 cn2 任何時候觀測到的都是一整個粒子,而不是cn2個粒子 =概率相干 線性疊加：疊加次序不重要,動量幾率分布函數(shù),以確定P運動粒子的波函數(shù) 按照態(tài)疊加原理，粒子的狀態(tài)可由不同p值的平面波的線性疊加,坐標表象和動量表象,互為傅立葉變換，是波函數(shù)的兩種不同的描述方式,以動量為自變量：動量表象,以坐標為自變量：坐標表象,C(p,t) 2：t時刻粒子具有動量p的幾率 處在(r,t) 的粒子,動量無確定值,2.3 薛定諤方程,經典力學 牛頓方程 線性方程 二階全微分方程，只有一個獨立變量t 唯一性 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù)，有普適性,量子力學 ？方程,2.3 薛定諤方程,量子力學 線性方程(態(tài)

7、疊加原理的直接要求) 系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù)（動量，能量） t，x，y，z均為變量=偏微分方程 解唯一性 h進入方程式 h0，牛頓方程,2.3 薛定諤方程,由波函數(shù)已知的自由粒子導出方程的可能形式 自由粒子 已知解=方程式(不唯一),2.3 薛定諤方程,由波函數(shù)已知的自由粒子導出方程的可能形式,動量算符,能量算符,力學量用 算符表示!,2.3 薛定諤方程,自由粒子,如果有勢場,薛定諤方程！ 波動方程,量子力學基本假定 方程得到的結論和實驗比較進行驗證 波函數(shù)不用正弦、余弦形式 表征量子體系特征的量h進入了方程,2.3 薛定諤方程,一般情況:,推廣:,同一力學量的經典表示，可得不同的量子力學算符表示,

8、注意！,2.3 薛定諤方程,動量在直角坐標中先用分量表示，再代入算符表示； 如果出現(xiàn)的物理量為 則取 只在直角坐標中適用，先用直角坐標表示，然后用動量算符替換動量分量，最后再換到其他坐標,注意！,2.3 薛定諤方程,薛定諤方程的兩個慣例 只在直角坐標中適用 將H分成三部分: 與坐標無關的動量二次式 只依賴于坐標的函數(shù),2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,在非相對論的情況下，實物粒子既不產生也不湮滅，所以在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率不隨時間變，即 因為有波函數(shù)統(tǒng)計解釋,因此概率流守恒定律自動包含在薛定諤方程中,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,粒子數(shù)守恒定律,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,體積v中粒子出

9、現(xiàn)概率的變化率,矢量J在體積V的界面S上法向分量的面積分,J為概率流密度矢量 體積v中增加的概率v外部穿過邊界S流進v的概率,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,無限遠處波函數(shù)為0,在整個空間內，找到粒子的概率與時間無關,所以波函數(shù)可以歸一化！,為什么在空間找到粒子數(shù)的總幾率與t無關？,質量：量子力學中的質量守恒,電量：量子力學中的電量守恒,2.4 粒子流密度和粒子數(shù)守恒,由于概率密度和概率流密度連續(xù) 波函數(shù)的標準條件 有限 連續(xù) 單值,2.5 定態(tài)薛定諤方程,定態(tài)：U=U(r,t)=U(r), 不顯含t,可用分離變數(shù)法求特解,時間的函數(shù),位置的函數(shù),不含時間的薛定諤方程，或稱為能量本征方程。,2

10、.5 定態(tài)薛定諤方程,角頻率確定 E為體系所處狀態(tài)的能量 能量具有確定的值定態(tài) 定態(tài)中概率密度和概率流密度都與時間無關,哈密頓算符,2.5 定態(tài)薛定諤方程,由于波函數(shù)為幾率波，加上一些特殊的邊界要求，能滿足方程的解就只有某些E值，分立的值En，而測量值只能是這方程有非零解所對應的值,本征方程,算符H的本征值,屬于本征值E的本征函數(shù),2.5 定態(tài)薛定諤方程,體系在初始時刻（t0）處于一定能量的本征態(tài)n，則在以后任何時刻，體系都處于這一本征態(tài)上，即 。它隨時間變化僅表現(xiàn)在e指數(shù)上 體系的幾率密度不隨時間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無幾率源）。 幾率流密度矢，不隨時間變化,2.5 定態(tài)薛定諤方程

11、,任何不含 t 的力學量在該態(tài)的平均值不隨時間變化。 任何不顯含 t 的力學量在該態(tài)中取值的幾率不隨時間變化。,2.6一維無限深勢阱,令,由波函數(shù)連續(xù)性 在xa時,n為正偶數(shù),n為正奇數(shù),波函數(shù)歸一化,在xa時，0,2.6一維無限深勢阱,是駐波：由兩個沿相反方向傳播平面波疊加而成 粒子被束縛在阱中：束縛態(tài)，能級分立 能量最低的態(tài)為基態(tài) 本征函數(shù)的奇偶性由勢 能函數(shù)的對稱性決定 n有n-1個節(jié)點,奇函數(shù),偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),2.6一維無限深勢阱,思考 如果勢阱的寬度突然或者緩慢變化粒子的波函數(shù)如何變化？,例題：一維無限深方勢阱中粒子的動量分布,連續(xù)性條件,歸一：,基態(tài)n1,例：電子處于基態(tài)，

12、阱壁突然變化后電子處于基態(tài)的幾率,阱壁突然變化，狀態(tài)來不及變化,留在基態(tài)的幾率,2.7 線性諧振子,勢場在平衡位置附近展開 U(x)k(x-x0)2 任何連續(xù)諧振子體系無窮多個諧振子集合 輻射場簡諧波的疊加 原子核表面振動，理想固體(無窮個振子) 真正可以嚴格求解的物理勢(不是間斷勢) 描述全同粒子體系產生，湮滅算符,2.7 線性諧振子,勢能 在平衡點附近的運動 經典力學中諧振子的運動是簡諧振動 X=asin(t+) 量子力學中？,2.7 線性諧振子,令,無量綱變量,看方程在兩邊邊界上的漸進行為： 使函數(shù)在中間取值范圍內有與漸近行為相同的形式,思路,正號舍去,1、看方程在兩邊邊界上的漸近行為：

13、 2、使函數(shù)在中間取值范圍內有與漸近行為相同的形式,H()需在有限時有限，在趨于時使有限,3、求級數(shù)解，找遞推關系，把H展開成的冪級數(shù) 4、看解在無窮遠處的漸近行為，級數(shù)必須含有有限項才能使有限：無限求和截斷為有限的多項式 5、求出波函數(shù)=歸一化,解方程思路,2.7 線性諧振子,遞推關系,當,當 很大時，H()中第+2與第項系數(shù)之比,當 很大時， 中+2與項的系數(shù)之比,很大時，兩個函數(shù)行為相當， 要使級數(shù)有限，必須在某個項中斷,2.7 線性諧振子,2.7 線性諧振子,Hn為厄密多項式 n為多項式的最高冪次,零點能,2.7 線性諧振子,波函數(shù)正交歸一,厄密多項式的遞推關系,對稱性,n為宇稱,節(jié)點

14、：,有n個根，n個節(jié)點,2.7 線性諧振子,2.7 線性諧振子,一維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并 一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實數(shù) 能量本征函數(shù)性質（x） EU, (x) Asin(kx+) 震蕩解 EU, (x) exp(-x)指數(shù)衰減解 節(jié)點數(shù): 基態(tài)無節(jié)點,第n個激發(fā)態(tài)有n個節(jié)點 對稱性: 若U(x)=U(-x)，波函數(shù)可具有確定的宇稱 本征函數(shù)正交歸一,一維薛定諤方程的普遍性質,一維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并,假設1，2都是能量本征值E對應的波函數(shù)：簡并,束縛態(tài)：無窮遠處波函數(shù)為0,一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實數(shù),為實數(shù),維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并,波函數(shù)相差一個實位相，表示同一個狀態(tài) 取0，,2.8 勢壘貫穿,前面有堵墻，怎么走？ 經典圖象:眼前無路好回頭 量子圖象:眼前無路穿著走 勢壘能不能穿透？幾率？與勢壘高度和寬度有什么關系？ 什么條件下全透射無反射?,2.8 勢壘貫穿,1、EU0,2.8 勢壘貫穿,1、EU0,波函數(shù)連續(xù) 波函數(shù)的一級導數(shù)連續(xù),反射,透射,2.8 勢壘貫穿,1、EU0,入射波概率流密度,反射波概率流密度,透射波概率流密度,2.8 勢壘貫穿,反射系數(shù),透射系數(shù),1、EU0,2.8 勢壘貫穿,2、EU0,2.8 勢壘貫穿,2、EU0,如果粒子的能量和U0相比很小，使k3a1,勢壘高度