幾何學(xué)發(fā)展簡況

幾何學(xué)發(fā)展簡況 “幾何 ”這個(gè)詞在漢語里是 “多少？ ”的意思，但在數(shù)學(xué)里 “幾何 ”的涵義就完全不同了。 “幾何 ”這個(gè)詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術(shù)。 幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們在實(shí)踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念， 并且逐步認(rèn)識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本概念。 正是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)驗(yàn)性的、粗淺的幾何知識之上的。 幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃 及、古印度、古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。 大量出土文物證明，在我國的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠(yuǎn)古時(shí)期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識是多么豐富了。 幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容，在這里應(yīng)當(dāng)提及的是哲學(xué)家、幾何學(xué)家柏拉圖和哲學(xué)家亞里士多德對 發(fā)展幾何學(xué)的貢獻(xiàn)。 柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的 “三段論 ”的演繹推理的方法，對于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學(xué)中，仍是運(yùn)用三段論的形式來進(jìn)行推理。 但是，盡管那時(shí)候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。 真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴(yán)密理論的學(xué)科的， 是希臘杰出的數(shù)學(xué)家 歐幾里得 。 歐幾里得在公元前 300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時(shí)所能知道的一切幾何事實(shí)，按 照柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學(xué)史上早期的巨著 幾何原本 。 幾何原本的偉大歷史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個(gè)假設(shè)除法、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從幾何原本發(fā)表開始，幾何才真正成為了一個(gè)有著比較嚴(yán)密的 理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。 歐幾里得的幾何原本 歐幾里得的幾何原本共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。 從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在幾何原本里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為幾何原本 是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教科書。 屬于幾何原本內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何。 幾何原本最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）。幾何原本第一卷列有 23個(gè)定義， 5條公理， 5條公設(shè)。（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于 “平行線理論 ”的討論，并最終誕生了非歐幾何。） 這些定義、公理、公設(shè)就是幾何原本全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。 關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng) ；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。 歐幾里得幾何原本的誕生在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中具有重要意義。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。 從歐幾里得發(fā)表幾何原本到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍舊是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的好教材。 由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點(diǎn)， 在長期的實(shí)踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。 少年時(shí)代的 牛頓 在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本幾何原本，開始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超出常識范圍，因而并沒有認(rèn)真地去讀它，而對 笛卡兒 的 “坐標(biāo)幾何 ”很感興趣而專心攻讀。后來，牛頓于 1664年 4月在參加特列臺獎(jiǎng)學(xué)金考試的時(shí)候遭到落選，當(dāng)時(shí)的考官巴羅博士對他說： “因?yàn)槟愕膸缀位A(chǔ)知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。 ”這席談話對牛頓的震動(dòng)很大。于是，牛頓又重新把幾何原本從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 近代物理學(xué)的科學(xué)巨星 愛因斯坦 也是精通幾何學(xué)，并且應(yīng)用幾何學(xué)的思想方法，開創(chuàng)自己研究工作的一位科學(xué)家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時(shí)，特別提到在十二歲的時(shí)候 “幾何學(xué)的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象 ”。后來，幾何學(xué)的思想方法對他的研究工作確實(shí)有很大的啟示。他多次提出在物理學(xué)研究工作中也應(yīng)當(dāng)在邏輯上從少數(shù)幾個(gè)所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運(yùn)用這種思想方法，把整個(gè)理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變 原理。 在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中， 歐幾里得的幾何原本起了重大的歷史作用。這種作用歸結(jié)到一點(diǎn)，就是提出了幾何學(xué)的 “根據(jù) ”和它的邏輯結(jié)構(gòu)的問題 。在他寫的幾何原本中， 就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學(xué)，這項(xiàng)工作，前人未曾作到。 但是，在人類認(rèn)識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在幾何原本中提出幾何學(xué)的 “根據(jù) ”問題并沒有得到徹底的解決， 他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實(shí)際上是用一個(gè)未知的定義來解釋另一個(gè)未知的定義，這 樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了 “連續(xù) ”的概念，但是在幾何原本中從未提到過這個(gè)概念。 現(xiàn)代幾何公理體系 人們對幾何原本中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動(dòng)幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國數(shù)學(xué)家 希爾伯特 在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他 1899年發(fā)表的幾何基礎(chǔ)一書中提出了 一個(gè)比較完善的幾何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系就被叫做希爾伯特公理體。 希爾伯特不僅提出了 個(gè)完善的幾何體系，并且還提出了建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。就是在一個(gè)幾何公理系統(tǒng)中，采取哪些公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個(gè)方面的問題： 第一，共存性 (和諧性 )，就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。 第二， 獨(dú)立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。 第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。 這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法 ”，而把歐幾里得在幾何原本提出的體系叫做古典公理法。 公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個(gè)新穎的觀點(diǎn)，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的 角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。 因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不止只有 個(gè)，而是可能有無窮多個(gè)，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。 就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時(shí)代更為抽象。 這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響。 非歐幾何的來源 非歐幾何學(xué)是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。 歐幾里得 的 幾何原本 提出了五條公設(shè)，長期以來，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L，而且也不那么顯而易見。 有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在幾何原本一書中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在幾何原本中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。 因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來 證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達(dá)兩千多年的關(guān)于 “平行線理論 ”的討論。 由于證明第五公設(shè)的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設(shè)到底能不能證明？ 到了十九世紀(jì)二十年代，俄國喀山大學(xué)教授 羅巴切夫斯基 在證明第五公設(shè)的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題 ,用它來代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。 但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論： 第一，第五公設(shè)不 能被證明。 第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。 這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶 雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研 究非歐幾何學(xué)的過程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對待。他的父親 數(shù)學(xué)家鮑耶 法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶 雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在 1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。 那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為 “數(shù)學(xué)王子 ”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開發(fā)表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。 羅式幾何 羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式 幾何平行公理用 “從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行 ”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。 我們知道， 羅式幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題 ，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。 在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說明： 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。 存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。 羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長的時(shí)候，離散到無窮。 不存在 相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。 從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實(shí)沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀 “模型 ”來解釋羅式幾何是正確的。 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉 米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以 “翻譯 ”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。 人們既然承認(rèn)歐幾里是沒有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒有矛盾了。直到這時(shí)，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為 “幾何學(xué)中的哥白尼 ”。 黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中 關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講 “過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 ”。羅氏幾何講“過直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行 ”。那么是否存在這樣的幾何 “過直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行 ”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問題。 黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在 1851年所作的一篇論文論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共 點(diǎn) (交點(diǎn) )。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限演唱，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng) “改進(jìn) ”的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。 此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基 礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。 三種幾何的關(guān)系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。 解析幾何的產(chǎn)生 十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā) 展，天文、力學(xué)、航海等方面都對幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。 1637年，法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家 笛卡爾 發(fā)表了他的著作方法論，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫折光學(xué)，一篇叫流星學(xué)，一篇叫幾何學(xué)。當(dāng)時(shí)的這個(gè) “幾何學(xué) ”實(shí)際上指的是數(shù)學(xué)，就像我國古代 “算術(shù) ”和 “數(shù)學(xué) ”是一個(gè)意思一樣。 笛卡爾的幾何學(xué)共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和 “超立體 ”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的 數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的幾何學(xué)作為解析幾何的起點(diǎn)。 從笛卡爾的幾何學(xué)中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種 “普遍 ”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設(shè)想，把任何數(shù)學(xué)問題化為一個(gè)代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個(gè)方程式。 為了實(shí)現(xiàn)上述的設(shè)想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(x,y)的對應(yīng)關(guān)系。 x,y 的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。 具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。 解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫幾何學(xué)以前，就有許多學(xué)者研究過用兩 條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè) “坐標(biāo) ”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。 在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。 費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的 “書 ”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表幾何學(xué)以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思 想。只是直到 1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。 笛卡爾的幾何學(xué)，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。 解析幾何的基本內(nèi)容 在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系 oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱 面坐標(biāo)。 坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。 解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動(dòng)作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價(jià) “數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變書，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了 變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了， ” 解析幾何的應(yīng)用 解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。 在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。 在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面 。 橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。 總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的 方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。 運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯 ”成代數(shù)方程；然后運(yùn)用代數(shù)工具對方程進(jìn)行研究；最后把代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。 坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學(xué)中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標(biāo)法對近代數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明也提供了有力的工具。 微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句話說， 微分幾何是研究一般的曲線和曲面在 “小范圍 ”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。 微分幾何的產(chǎn)生 微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個(gè)做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家 歐拉 。 1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長這以幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。 十八世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家 蒙日 首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于 1807年出版了它的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。 1827年， 高斯 發(fā)表了關(guān)于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了 150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。 1872年克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了 埃爾朗根綱領(lǐng) ，用變換群對已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在埃爾朗根綱領(lǐng)發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于 1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來 1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國學(xué)派所發(fā)展， 1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。 隨后，由 于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對論中的得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。 微分幾何學(xué)的基本內(nèi)容 微分幾何學(xué)以光滑曲線 (曲面 )作為研究對象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距 離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。 在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂 “活動(dòng)標(biāo)形的方法 ”。對任意曲線的 “小范圍 ”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線 “轉(zhuǎn)化 ”成初等曲線進(jìn)行研究。 在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無限小的范圍內(nèi)略去高階無窮 小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。 近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。 微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。 幾何空間 空間的概念復(fù)我們來說是熟悉的。我們生活的 空間是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我們所處的空間中的某一位置，就需要用三個(gè)方向來表示，這個(gè)意思也就是說空間是 “ 三維 ”的。 在數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到 “ 空間 ” 這個(gè)概念，它指的范圍很廣，一般指某種對象（現(xiàn)象、狀況、圖形、函數(shù)等）的任意集合，只要其中說明了 “ 距離 ” 或 “ 鄰域 ” 的概念就可以了。而所謂 “ 維 ” 的概念，如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點(diǎn)、線、三角形和多邊形 ，那么理解維的概念并不困難：點(diǎn)的維數(shù)是零；一條線段的維數(shù)是一；一個(gè)三角形的維數(shù)是二；一個(gè)立方體內(nèi)所有點(diǎn)的集合的是三維的。 如 果把維度的概念擴(kuò)充到任意點(diǎn)集合上去的時(shí)候，維的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四維空間呢？關(guān)于四維空間，我國古代有一些說法是很有意思的。最典型的就是對于 “ 宇宙 ” 兩字的解釋，古人的說法是 “ 四方上下曰宇，古往今來曰宙 ” ，用現(xiàn)在的話說就是，四維空間是在三維空間的基礎(chǔ)上再加上時(shí)間維作為并列的第四個(gè)坐標(biāo)。 愛因斯坦 認(rèn)為每一瞬間三維空 間中的所有實(shí)物在占有一定的位置就是四維的。比如我們所住的房子，就是由長度、寬度、高度、和時(shí)間制約的。所謂時(shí)間制約就是從蓋房的時(shí)候算起，直到最后房子倒塌為止。 根據(jù)上邊的說法，幾何學(xué)和其它科學(xué)研究的 n 維空間的概念，就可以理解成由空間的點(diǎn)的 n 個(gè)坐標(biāo)決定。這個(gè)空間的圖形就定義成滿足這個(gè)或那個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。一般來說，某個(gè)圖形由 n 個(gè)條件給出，那么這個(gè)圖形就是某個(gè) n 維的點(diǎn)。至于這個(gè)圖形到底是什么形象，我們是否能想象得出來，對數(shù)學(xué)來說是無關(guān)緊要的。 幾何學(xué)中的 “ 維 ” 的概念，實(shí)際上就是構(gòu)成空間的基 本元素，也就是點(diǎn)的活動(dòng)的自由度，或者說是點(diǎn)的坐標(biāo)。所謂 n 維空間，經(jīng)常是用來表示超出通常的幾何直觀范圍的數(shù)學(xué)概念的一種幾何語言。 從上面的介紹可以看出，幾何中的元素可用代數(shù)中的是數(shù)來表示，代數(shù)問題如果通過幾何的語言給與直觀的描述，有時(shí)候可以給代數(shù)問題提示適當(dāng)?shù)慕夥?。比如解三元一次方程組，就可以認(rèn)為是求解三個(gè)平面的交點(diǎn)問題。 代數(shù)幾何學(xué)的內(nèi)容 用代數(shù)的方法研究幾何的思想，在繼出現(xiàn)解析幾何之后，又發(fā)展為幾何學(xué)的另一個(gè)分支，這就是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何學(xué)研究的對象是平面的代數(shù)曲線、空間的代數(shù)曲線和代數(shù) 曲面。 代數(shù)幾何學(xué)的興起，主要是源于求解一般的多項(xiàng)式方程組，開展了由這種方程組的解答所構(gòu)成的空間，也就是所謂代數(shù)簇的研究。解析幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是引進(jìn)了坐標(biāo)系來表示點(diǎn)的位置，同樣，對于任何一種代數(shù)簇也可以引進(jìn)坐標(biāo)，因此，坐標(biāo)法就成為研究代數(shù)幾何學(xué)的一個(gè)有力的工具。 代數(shù)幾何的研究是從 19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關(guān)于橢圓積分的研究中，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎(chǔ)。 黎曼 1857年引入并發(fā)展了代數(shù)函數(shù)論，從而使代數(shù)曲線的研究獲得了一個(gè)關(guān)鍵性的突破。黎曼把他的函數(shù)定義在復(fù)數(shù)平面的某種多層復(fù)迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。運(yùn)用這個(gè)概念，黎曼定義了代數(shù)曲線的一個(gè)最重要的數(shù)值不變量：虧格。這也是代數(shù)幾何歷史上出現(xiàn)的第一個(gè)絕對不變量。 在黎曼之后，德國數(shù)學(xué)家諾特等人用幾何方法獲得了代數(shù)曲線的許多深刻的性質(zhì)。諾特還對代數(shù)曲面的性質(zhì)進(jìn)行了研究。他的成果給以后意 大利學(xué)派的工作建立了基礎(chǔ)。 從 19世紀(jì)末開始，出現(xiàn)了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的意大利學(xué)派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學(xué)派。他們對復(fù)數(shù)域上的低維代數(shù)簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認(rèn)為是代數(shù)幾何中最漂亮的理論之一的代數(shù)曲面分類理論。但是由于早期的代數(shù)幾何研究缺乏一個(gè)嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這些工作中存在不少漏洞和錯(cuò)誤，其中個(gè)別漏洞直到目前還沒有得到彌補(bǔ)。 20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進(jìn)展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。 20世紀(jì) 30年代，扎里斯基和范 德 瓦爾登等首先在代數(shù)幾何研究中引進(jìn)了交換代數(shù)的方法。在此基礎(chǔ)上，韋伊在 40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后 20世紀(jì) 50年代中期，法國數(shù)學(xué)家塞爾把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這個(gè)為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)。概型理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個(gè)全新的階段。 代數(shù)幾何學(xué)中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用坐標(biāo)法，但是采用坐標(biāo)法多建立在射影坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上。 在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數(shù)幾 何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數(shù)流形。 代數(shù)幾何與數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科有著廣泛的聯(lián)系，如數(shù)論、解析幾何、微分幾何、交換代數(shù)、代數(shù)群、拓?fù)鋵W(xué)等。代數(shù)幾何的發(fā)展和這些學(xué)科的發(fā)展起著相互促進(jìn)的作用。同時(shí)，作為一門理論學(xué)科，代數(shù)幾何的應(yīng)用前景也開始受到人們的注意，其中的一個(gè)顯著的例子是代數(shù)幾何在控制論中的應(yīng)用。 近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具，這預(yù)示著抽象的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。 射影 幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來。 射影幾何的發(fā)展簡況 十七世紀(jì)，當(dāng) 笛卡兒 和費(fèi)爾馬創(chuàng)立的 解析幾何 問世的時(shí)候，還有一門幾何學(xué)同時(shí)出現(xiàn)在人們的面前。這門幾何學(xué)和畫圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長準(zhǔn)備了充分的條件。這門幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)。 基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前 200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。在 4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。 在文藝復(fù)興時(shí)期，人們在繪畫和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時(shí)候，人們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫家要把一個(gè)事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫布上去，然后再描繪出來。在這個(gè)過程中，被描繪下來的像中的各個(gè)元素的相對大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學(xué)科。 射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì) 。在 17世紀(jì)初期，開普勒最早引進(jìn)了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國數(shù)學(xué)家 笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一個(gè)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時(shí)候當(dāng)過陸軍軍官，后來鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿，書中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。 迪沙格在他的著 作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。 用他的名字命名的迪沙格定理： “如果兩個(gè)三角形對應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立 ”，就是射影幾何的基本定理。 帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的貢獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理： “內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點(diǎn)共 線。 ”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。 1658年，他寫了圓錐曲線論一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡化成少數(shù)幾個(gè)基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。后來他寫了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊子。 不過迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì) (長度、角度、面積 )。但他們在證明中卻用到了長度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒有意識到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新 的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。 射影幾何的主要奠基人是 19世紀(jì)的彭賽列。他是 畫法幾何 的創(chuàng)始人 蒙日 的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。 1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過幾何方法引進(jìn)無窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對應(yīng)并用它來確立對偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴于長度 概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。 另 方面，運(yùn)用解析法來研究射影幾何也有長足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無窮遠(yuǎn)線的方程，無窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。 在 19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全 否定綜合法，認(rèn)為它沒有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問題論證直接而簡潔。 1882年帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。 射影幾何學(xué)的發(fā)展和其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展有密切的關(guān)系，特別是 “群 ”的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對這門幾何學(xué)的研究起了促進(jìn)作用。 把各種幾何 和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在 埃爾朗根綱領(lǐng) 中提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類法。后來嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。 射影幾何學(xué)的內(nèi)容 概括的說，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專 門研究圖形的位置關(guān)系的，也是專門用來討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。 在射影幾何學(xué)中，把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是 “理想點(diǎn) ”。通常的直線再加上一個(gè)無窮點(diǎn)就是無窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過同一無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。 在引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線后，原來普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。 由于經(jīng)過同一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以 統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。 射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對應(yīng)。 在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對偶元素，把 “過一點(diǎn)作一直線 ”和 “在一直線上取一點(diǎn) ”叫做對偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一 圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運(yùn)算改為它的對偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對偶圖形。在一個(gè)命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運(yùn)算改為它的對偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對偶命題。 這就是射影幾何學(xué)所特有的對偶原則。在射影平面上，如果一個(gè)命題成立，那么它的對偶命題也成立，這叫做平面對偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個(gè)命題成立，那么它的對偶命題也成立，叫做空間對偶原則。 研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影 幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。 如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來說，射影幾何學(xué) 仿射幾何學(xué) 歐氏幾何學(xué)，這就是說歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對象 (如簡比、平行性等 )和射影幾何學(xué)的對象 (如四點(diǎn)的交比等 )，反過來，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。 1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在愛爾朗根大學(xué)提出著名的愛爾朗根計(jì)劃書中提出用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成 “群 ”，就有相應(yīng)的幾何 學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。 普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。 分形幾何的產(chǎn)生 客觀自然界中 許多事物，具有自相似的 “層次 ”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。 客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做 “無標(biāo)度性 ”的問題。 如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是 十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助 “無標(biāo)度性 ”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。 在二十世紀(jì)七十年代，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個(gè)問題這依賴于測量時(shí)所使用的尺度。 如果用公里作測 量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會(huì)增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級的 “無標(biāo)度 ”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。 數(shù)學(xué)家寇赫從一個(gè)正方 形的 “島 ”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的 “海岸線 ”變