2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題及答案解析

1 全國高中數(shù)學聯(lián)賽江西省預賽試題及解答 2016 年 6 月 5 日上午 8 : 3 0 1 1 : 0 0 一、填空題（每小題 7 分，共 56 分） 1 、若 22016l o g 6 5y x a x 的值域為 R ，那么 a 的取值范圍是 答案：16 16a 解：由值域 ， 2 6 5 1x ， 2 6 4 0x a x 2 4 6 4 0a ， 16 16a . 2 、四面體 ， 是一個正三角形， 2D， D ， D ，則 D 到面 距離為 答案： 233 解：如圖，據(jù)題意得， 22 22A B A D B D ， 于是 22B C C A A B ， 22 2C D A C A D ， 因 2 2 2B C B D C D，得 D ，從而以 D 為頂點的三面 角是三直三面角， 四面體體積 1433B C D S ，而 23 234 B ， 若設 D 到面 距離為 h ，則 1 2 333h S h ，由 2 3 433h ， 得到 233h 3 、若對于所有的正數(shù) ,有 x y a x y ，則實數(shù) a 的最小值是 答案： 2 解：由 22 1y x y ，得 2y x y， 2 O D C當 時取等 號 4 、已知 P 是正方形 切圓上的一點，記 ,A P C B P D ，則22t a n t a n 答案： 8 解：如圖建立直角坐標系，設圓方程為 2 2 2x y r， 則正方形頂點坐標 為 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A r r B r r C r r D r r ， 若點 P 的坐標為 ( c o s , s P r r，于是直線 , , ,P A P B P C P 1 s i n 1 s i n,1 c o s 1 c o P ， 1 s i 1 s i n,1 1 c o P ， 所以 222t a n 4 ( c o s s i n )1 P C P P ， 2t a n 4 ( c o s s i n )1 P D P P ， 由此立得 22t a n t a n 8 解 2：取特例， P 在坐標軸上，則 ， 這時， 2t a n c o t 2 t a ， 2 2 2 2t a n t a n 2 2 8 5 、等差數(shù)列 2 , 5, 8, , 2 0 1 5與 4 , 9 ,1 4 , , 2 0 1 4的公共項（具有相同數(shù)值的項）的個數(shù)是 答案： 134 解：將兩個數(shù)列中的各項都加 1 ，則問題等價于求等差數(shù)列 3, 6 , 9 , , 2 0 1 6與等差數(shù)列5 ,1 0 ,1 5 , , 2 0 1 5的公共項個數(shù)；前者是 1, 2 , 3 , , 2 0 1 6M 中的全體能被 3 整除的數(shù)，后者是 M 中的全體能被 5 整除的數(shù)，故公共項是 M 中的全體能被 15 整除的數(shù)，這種數(shù)有 2016 13415個 3 9876543216 、設 x 為銳角，則函數(shù) y x x 的最大值是 答案： 439 解：由 22 s in c o sy x x ， 得 2 4 2 2 2 24 s i n c o s 2 ( 1 c o s ) ( 1 c o s ) 2 c o sy x x x x x 3 32 2 2( 1 c o s ) ( 1 c o s ) 2 c o s 2 1 6223 3 2 7x x x ， 所以 439y當 2 1時取得等號 7 、若將前九個正整數(shù) 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9分別填寫于一張 33 方格表的九個格子中，使得每行三數(shù)的和，每列三數(shù)的和皆為質(zhì)數(shù)，你的填法是 解答：（答案有多種） 8 、把從 1 到 n ( 1)n 這 n 個連續(xù)正整數(shù)按適當順序排成一個數(shù)列，使得數(shù)列中每相鄰兩項的和為平方數(shù)，則正整數(shù) n 的最小值是 答案： 15 例如，排出的一個數(shù)列為 ( 8 , 1 , 1 5 , 1 0 , 6 , 3 , 1 3 , 1 2 , 4 , 5 , 1 1 , 1 4 , 2 , 7 , 9 ) 解：這是一個操作問題，若用文字表達較為繁瑣，故適宜作為填空題直接操作 記這 n 個連續(xù)正整數(shù)的集合為 1, 2 , ,，由于 1n ， 則 M 中必有 2 ，而 2 7 9 ，所以 7n ，當 7n 時，從 1 到 7 這 7 個數(shù)可以搭配成滿足條件的三個數(shù)段： (1 , 3 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 4 , 5 )，但它們不能連接成一個 7 項的數(shù)列，故應增加后續(xù)的數(shù)，增加 8可使得第一段擴充成 (8,1,3,6) ，增加 9 可使得第二段擴充成 (2,7,9) ，但新的三段也不能連接，還需增加新數(shù)，即 10n ，而之前的數(shù)若與 8,9,10 鄰接，只有 4 9 , 9 7 1 6 , 10 6 16 ，這三段擴充為 (8,1, 3, 6,10) ， (2,7,9) ， (4,5) ，仍舊不能連接，應當借助新的平方數(shù) 25 ， 從 1 到 10這 10 個數(shù)能搭配成和為 25 的最小數(shù)是 15 ，則 15n ，而當 1, 2 , ,1 5M 時，可排出上面的情形： ( 8 , 1 , 1 5 , 1 0 , 6 , 3 , 1 3 , 1 2 , 4 , 5 , 1 1 , 1 4 , 2 , 7 , 9 ) 二、解答題（共 64 分） 9 、（ 14 分）如圖， 橢圓 221的一條直徑， 過橢圓長軸的左頂點 A 作 平行線，交橢圓于 另一點 N ，交橢圓短軸所在直線于 M ， 證明： A M A N C O C D 證 1：橢圓方程為 c o s , s i nx a y b， 點 , , 0 ) , ( c o s , s i n )A a N a b ，則直線 程為c o ss a ， 3 代入橢圓方程得到 2 2 2 2 2 2( c o s s i n ) 2 c o s 0b a t a b t ， 22 2 2 22 c o sc o s s i t ， ()c o s 2， 6 因此 222 2 2 22c o s s i A N ， 9 又據(jù) 則點 ,( c o s , s i n )C O D O D，( c o s , s i n )D O D O D， 12 因為 , 2222 2 2 2c o s s i ，而， 5 2222 2 2 222 c o s s i C D C O ， 因此 A M A N C O C D 14 證 2： 易知 斜率 k 存在，不妨令 :CD y ，與橢圓方程聯(lián)系， 解得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,a b k a b a b k a a k b a k b a k b a k 、 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 4 1,k a b k a C Db a k b a k , 2 2 22 2 221 k a C Db a k 6 程 為： , 0 ,y k x a M k a . 將 程與橢圓方程聯(lián)立，得 2 2 2 2 3 2 2 2 2 220b a k x a k x k a a b 3 2 2 3 22 2 2 2 2 22 ,A N Na k a b a kx x xb a k b a k 9 2 22 2 22 ,1Nk a M a kb a k 12 22 3 2 2 2 4 2 222 2 2 2 2 22 2 24 2 1a b a k k a b a b ab a k b a kb a k ， 2 2 22 2 221a b A N C O C Db a k 14 10 、（ 15 分）如圖， D 是 的旁心，點 A 關于直線 對稱點為 E 證明： (1) 、 ,點共線； (2) 、 , , ,A B D 6 1、延長 M ，延長 N ,連 D 為旁心， 平分 ， 2 又 關于 稱， 平分 D C N A C M , B C D M C E B C N A C E , B 、 C 、 E 三點共線。 5 2、過 C 作 /E 交 I ，則 C 7 I 為 心。連 則 分 , 10 90, B 、 D 、 C 、 I 四點共圓， 12 C B D C I D E A D , A 、 B 、 D 、 E 四點共圓。 15 11、（ 15 分） 設 ,正數(shù)，滿足： 1xy yz ，證明： 22( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) (x y z x y y z x z x y 21 - z ) 證：據(jù)條件，即要證 22( 1 ) ( 1 ) ( 2x+y+1 也即 2 2 2 2 2 2 2 2) ( )y z x y y z x z 2x+y+z) 1-(x 3 將此式各項齊次化，因為2 2 2 2 2 2 21 ( ) 2 ( )x y y z x z x y y z x z x y z x y z 6 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y z x y z x y y z x z 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )x y z y x z z x y x y z x y z 代入 ， 只要證 ()x y z 7 2 2 2 2 2 2 3 3 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y y z x z x y z y x z z x y x y z x y z 即3 3 3 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0x y z y x z z x y x y y z x z 12 也即 2 2 2( ) ( ) ( ) 0x y x y y z y z x z x z 。 此為顯然，故命題得證 15 證 2：由題設得： 1 , 1 , 1y x z z x x y z y z z x y x y ， 三式相乘，故原不等式等價于證明： 2 2 21 1 1 1 1 1z x y z x y x y z 3 上式兩邊展開并化簡得： 2 2 2x y z x y y z z x 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y z x y z x y z 6 配方得： 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y x z y z x y y z z x 2222 2 2x y z y z x z x y 9 即 2222 2 21 1 1 0z x y x y z y z x 12 2 2 20 , , 1 , 1 0 , 1 0 , 1 0 ,x y z x y z 顯然成立 . 15 12 、（ 20 分） 設集合 1, 2 , , 2 0 1 6A ，對于 A 的任一個 1008 元子集 X ，若存在,x y X ，滿足 ,x y x y ，則稱 X 為“好集”，求最大的正整數(shù) a ，（ ），使得任一個含 a 的 1008元子集皆為“好集” 解：因任何正整數(shù) n 可以表為 2 形式，其中 N ， t 為正奇數(shù)，于是集合 A 可劃分為以下 1008個子集： 2 ( 2 1 ) , , 1 2 0 1 6jA m m j N m ， 1, 2 , ,1 0 0 8j 4 8 對于集合 A 的任一個 1008 元子集 X ，只要集 X 中含有某一個, ( )x y x y ，因 122 ( 2 1 ) , 2 ( 2 1 )j y j ， 12，則 時 X 為好集； 以下證明正整數(shù) a 的最大值為 671 ： 8 若 671a 時，對于 A 的任一個 1008元子集 X ，如果 X 中含有某個 X 便是好集；如果 008個集合，每個集合中恰有一個元素在 X 中，那么1007 中， 但 1007 2013A 為單元素集，于是 2013X ，而 2013a ， ( 2 0 1 3 6 7 1 3 3 )a ，這說明 X 仍是好集， 因此 671a 合于要求 12 下面說明當 672a 時，存在含 a 的集 X 不是好集；分兩種情況： (1) 、若 1009a ，取 1008元集 0 1 0 0 9 , 1 0 1 0 , , 2 0 1 6X ，則 0， 因0不同元素 ，均有 x y ，故0種 a 不合要求 15 (2) 、若 6 7 2 1 0 0 8a ，記 1 6 7 2 0 , 1 , , 3 3 6X j j ， 20 2 ( 6 7 2 ) 0 , 1 , , 3 3 6X X j j ，令 12X X X ，則 1008X ，