南寧市馬山縣2015-2016年高二下期末數(shù)學(xué)試卷(文)含答案解析

第 1 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 2015年廣西南寧市馬山縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 2命題 “對(duì)任意 x R，都有 0”的否定為（ ） A對(duì)任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4設(shè) z 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（ ） A若 0，則 z 是實(shí)數(shù) B若 0，則 z 是虛數(shù) C若 z 是虛數(shù)，則 0 D若 z 是純虛數(shù)，則 0 5已知橢圓 上的一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 3，則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 7已知雙曲線 =1 的右焦點(diǎn)為（ 3， 0），則該雙曲線的離心率等于（ ） A B C D 8曲線 y=2x+4 在點(diǎn)（ 1， 3）處的切線的傾斜角為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 9設(shè)拋物線 x 上一點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 4，則點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 10若雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線方程為（ ） A y= 2x B C D 11已知函數(shù) y=2x3+6x 24 在 x=2 處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 第 2 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 12已知 橢圓 C： 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上的一點(diǎn)，且 ，若 面積為 9，則 b 的值為（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 13已知復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= 14曲線 y=（ 1， 1）處的切線方程是 15已知 頂點(diǎn) B、 C 在橢圓 + 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在 上，則 周長(zhǎng)是 16已知橢圓 ，過(guò)左焦點(diǎn) 斜角為 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)求弦 三、解答題：（本大題共 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17計(jì)算： （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 18設(shè) 雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線右支上，且滿足 0，求 面積為 S 19已知直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 20設(shè) x= 2 與 x=4 是函數(shù) f（ x） =x3+兩個(gè)極值點(diǎn) （ 1）求常數(shù) a、 b； （ 2）判斷 x= 2， x=4 是函數(shù) f（ x）的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由 21已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的總成本為 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生 產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （ 2）若產(chǎn)品以每件 500 元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 22已知橢圓 +，橢圓 長(zhǎng)軸為短軸，且與 相同的離心率 （ 1）求橢圓 方程； （ 2）設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A， B 分別在橢圓 ， =2 ，求直線 方程 第 3 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 2015年廣西南寧市馬山縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 由 z=i（ i+1） =i2+i= 1+i，能求出復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù) 【解答】 解： z=i（ i+1） =i2+i= 1+i， 復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 1 i 故選 A 2命題 “對(duì)任意 x R，都有 0”的否定為（ ） A對(duì)任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 【考點(diǎn)】 命題的否定；全稱命題 【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題的否定命題即可 【解答】 解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題， 所以命題 “對(duì)任意 x R，都有 0”的否定為存在 R，使得 0 故選 D 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不 充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷 【解答】 解：若（ 2x 1） x=0 則 x=0 或 x= 即（ 2x 1） x=0 推不出 x=0 反之，若 x=0，則（ 2x 1） x=0，即 x=0 推出（ 2x 1） x=0 所以 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的 必要不充分條件 故選 B 4設(shè) z 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（ ） A 若 0，則 z 是實(shí)數(shù) B若 0，則 z 是虛數(shù) C若 z 是虛數(shù)，則 0 D若 z 是純虛數(shù)，則 0 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 設(shè)出復(fù)數(shù) z，求出 用 a， b 的值，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可 【解答】 解：設(shè) z=a+a， b R， z2= 對(duì)于 A， 0，則 b=0，所以 z 是實(shí)數(shù)，真命題； 第 4 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 對(duì)于 B， 0，則 a=0，且 b 0， z 是虛數(shù)；所以 B 為真命題； 對(duì)于 C， z 是虛數(shù)，則 b 0，所以 0 是假命題 對(duì)于 D， z 是純虛數(shù)，則 a=0， b 0，所以 0 是真命 題； 故選 C 5已知橢圓 上的一點(diǎn) P 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 3，則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 先根據(jù)條件求出 a=5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離 d 的等式即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè)所求距離為 d，由題得： a=5 根據(jù)橢圓的定義得： 2a=3+dd=2a 3=7 故選 D 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令 x=1 即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） =2x， 則 f（ 1） =2， 故選： B 7已知雙曲線 =1 的右焦點(diǎn)為（ 3， 0），則該雙曲線的離心率等于（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線 =1 的右焦點(diǎn)為（ 3， 0），可得 a=2，進(jìn)而可求雙曲線的離心率 【解答】 解： 雙曲線 =1 的右焦點(diǎn)為（ 3， 0）， =9 a=2 c=3 故選 C 第 5 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 8曲線 y=2x+4 在點(diǎn)（ 1， 3）處的切線的傾斜角為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【分析】 欲求在點(diǎn)（ 1， 3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 k=y|x=1，再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角 的值即可 【解答】 解： y/=32，切線的斜率 k=3 12 2=1故傾斜角為 45 故選 B 9設(shè)拋物線 x 上一點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 4，則點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 【考點(diǎn)】 拋物線的定義 【分析】 先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)點(diǎn) P 到 y 軸的距離求得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離進(jìn)而利用拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而求得答案 【解答】 解：拋物線 x 的準(zhǔn)線為 x= 2， 點(diǎn) P 到 y 軸的距離是 4， 到準(zhǔn)線的距離是 4+2=6， 根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn) P 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 6 故選 B 10若雙曲線 的離心率為 ，則其漸 近線方程為（ ） A y= 2x B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 通過(guò)雙曲線的離心率，推出 a、 b 關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線方程 【解答】 解：由雙曲線的離心率 ，可知 c= a， 又 a2+b2=以 b= a， 所以雙曲線的漸近線方程為： y= = x 故選 B 11已知函數(shù) y=2x3+6x 24 在 x=2 處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)極值求出參數(shù) a 的值，然后 在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式x） 0 的區(qū)間即可 【解答】 解： y=f（ x） =66 在 x=2 處有極值 f（ 2） =60+4a=0，解得 a= 15 令 f（ x） =630x+36 0 解得 x 2 或 x 3 故選 B 第 6 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 12已知 橢圓 C： 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上的一點(diǎn)，且 ，若 面積為 9，則 b 的值 為（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 【分析】 由橢圓的定義知 + =2a，依題意， + =4對(duì) 式兩端平方后與 聯(lián)立可得 ，再由 面積為 9，即可求得 【解答】 解： + =2a， + +2 =4 又 ， + = =4 得： 2 =4（ =4 = 面積為 9， = =， b 0， b=3 故選 A 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 13已知復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的模的求法公式，求解即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= = 故答案為： 14曲線 y=（ 1， 1）處的切線方程是 2x y 1=0 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某 點(diǎn)切線方程 【分析】 求出導(dǎo)函數(shù)，令 x=1 求出切線的斜率；利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程 【解答】 解： y=2x 當(dāng) x=1 得 f（ 1） =2 第 7 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 所以切線方程為 y 1=2（ x 1） 即 2x y 1=0 故答案為 2x y 1=0 15已知 頂點(diǎn) B、 C 在橢圓 + 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在 上，則 周長(zhǎng)是 8 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為 F，根據(jù)橢圓的定義可知 |2a， |2a 最后把這四段線段相加求得 周長(zhǎng) 【解答】 解：橢圓 + 中 a=2 設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為 F，則根據(jù)橢圓的定義可知： |2a=4， |2a=4 三角形的周長(zhǎng)為： |8 故答案為： 8 16已知橢圓 ，過(guò)左焦點(diǎn) 斜角為 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)求弦 2 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求出橢圓的左焦點(diǎn) 2 ， 0），根據(jù)點(diǎn)斜率式方程設(shè) y= （ x+2 ），與橢圓方程消去 y 得 42 +15=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出 A、 B 的橫坐標(biāo)滿足 | ，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可算出弦 長(zhǎng) 【解答】 解： 橢圓方程為 ， 焦點(diǎn)分別為 2 ， 0）， 2 ， 0）， 直線 左焦點(diǎn) 斜角為 直線 方程為 y= （ x+2 ）， 將 程與橢圓方程消去 y，得 42 +15=0 設(shè) A（ B（ 可得 x1+ 3 ， | = 因此， | | =2 故答案為： 2 三、解答題：（本大題共 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17計(jì)算： 第 8 頁(yè)（共 11 頁(yè)） （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可 【解答】 解：（ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2 =1 +4i+41（ 1） +1+4i+（ 4） = 1+4i （ 2） = = = = = = = 1 4i 18設(shè) 雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線右支上，且滿足 0，求 面積為 S 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理以及三角形的面積公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 點(diǎn) P 在雙曲線右支上，且滿足 0， 2 得 |2 面積 S= |1 19已知直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+，聯(lián)立，利用直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可得 ，又方程 x2+表示橢圓，即可 求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 【解答】 解：由直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+，聯(lián)立得（ 4b+4） 8y+1=0 因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)， 第 9 頁(yè)（共 11 頁(yè)） 所以 ，解得 b 3，且 b 1 又方程 x2+表示橢圓，所以 b 0，且 b 1 綜上，實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 b|0 b 3 且 b 1 20設(shè) x= 2 與 x=4 是函數(shù) f（ x） =x3+兩個(gè)極值點(diǎn) （ 1）求常數(shù) a、 b； （ 2）判斷 x= 2， x=4 是函數(shù) f（ x）的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ 1）先對(duì)函數(shù) f（ x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù) f（ 2） =0， f（ 4） =0 可求出 a， b 的值 （ 2）將 a， b 的值代入導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的政府之間的關(guān)系可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定是極大值還是極小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =3ax+b 由極值點(diǎn)的必要條件可知 x= 2 和 x=4 是方程 f（ x） =0 的兩根，則 a= 3， b= 24 （ 2） f（ x） =3（ x+2）（ x 4），得 當(dāng) x 2 時(shí)， f（ x） 0； 當(dāng) 2 x 4 時(shí)， f（ x） 0 x= 2 是 f（ x）的極大值點(diǎn) 當(dāng) x 4 時(shí)， f（ x） 0，則 x=4 是 f（ x）的極小值點(diǎn) 21已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的總成本為 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （ 2）若產(chǎn)品以每件 500 元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【分析】 （ 1）先根據(jù)題意設(shè)生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本為 y 元，再結(jié)合平均成本的含義得出函數(shù) y 的表達(dá)式，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可； （ 2）先寫出利潤(rùn)函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的極值，從而得出函數(shù)的最大值，即可解決問(wèn)題：要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 【解答】 解：（ 1）設(shè)生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本為 y 元，則令 y=0，得