《微積分一》洛必達法則-課件PPT

1、首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 4.2 洛必達法則一、 未定式五、其他類型未定式的極限二、“ ”型未定式的極限00三、“ ”型未定式的極限四、洛必達法則失效的情況首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 一、未定式型型)00(基本類型：(0) 型型型)( 00,1 0型() 型其它類型： 0limlnnxxx(n0) 2lim(sectan )xxx例如 下列極限都是未定式 30sinlimxxxx nxxxlnlim xxx0lim 30sinlimxxxx nxxxlnlim(n0) xxx)11 (lim 2122)(limxxax xxx)11 (lim 21

2、22)(limxxax (n0) 2lim(sectan )xxx 如果在某一過程中 函數(shù)f(x)與F(x)同是無窮小量或同是 無窮小量 那么極限)()(limxFxf可能存在、也可能不存在 通常把這種極限叫做未定式 并分別簡記為或00 無窮大首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 2211lim231.xxxx引例00（型）1( +1)(1)=lim(3)(1)xxxxx111lim32xxx33214im123l.xxxxxx引例323221133(1)3(1)=limlim1(1)(1)xxxxxx xxxxxxxx221(3)(1)lim(1)(1)xxxxxx對于對于 型極

3、限有沒有更簡單、更一般的求解方法？型極限有沒有更簡單、更一般的求解方法？? ?0012 因式分解復(fù)雜二、“ ”型未定式的極限0000（型）30sinlim3.xxxx引例00（型）首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 定理41(洛必達法則I) (1)0)(lim)(limxgxfaxax (2)在點 a 的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo) 且 g(x)0 (3)Axgxfax)()( lim(或) 則必有)()(limxgxfaxAxgxfax)()( lim(或) 說明 當(dāng)定理中xa改為x時 洛必達法則同樣有效 (LHospital，1661-1704，法國數(shù)學(xué)家，法國數(shù)學(xué)家)設(shè)函數(shù)f(x)與g

4、(x)滿足條件 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 令f(a)g(a)0 于是f(x)及g(x)在點a的某鄰域內(nèi)連續(xù) 在該鄰域內(nèi)應(yīng)用柯西中值定理 有 簡要證明 )()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax)()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax)()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax 定理41(洛必達法則I) 如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足 (1)當(dāng)xa時 f(x)0 g(x)0 (2)在點a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo) 且g(x)0 (3)Ax

5、gxfax)()( lim(或) 則必有)()(limxgxfaxAxgxfax)()( lim(或) )()(limxgxfax)()( limgfaAxgxfax)()( lim)()(limxgxfax)()( limgfaAxgxfax)()( lim(或) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 例 1 求332143lim1xxxxxx求3321(43)=lim(1)xxxxxx22134lim321xxxx12 原式 解 解 616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1li

6、m)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx 201 cos2xxx當(dāng)時，220112lim36xxx例 4 求30sinlimxxxx 例2.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 例2 求xxax1)1 (lim0 解

7、 axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000 解 22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx 32322113233limlim1321xxxxxxxxxx16lim62xxx16lim6x132驗型 解 解 )1 (21lim211lim)1ln(lim0020

8、xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx 例3.332132lim.1xxxxxx求例4.例 5 求20)1ln(limxxx 例5.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 320sin2 ln(1 3i.)l mxxxxxeex例6232320023lim6limxxxxxxxxxeexeex32320022126lim6lim.321945xxxxxxxeeee2sincos3lim

9、sin3cosxxxxx解：原式 = 22sincos3limlimsin3cosxxxxxx23sin3lim3sinxxx 存在非零因子存在非零因子2cos31 limcosxxx ( )化簡化簡00( )例7.例7 求2tanlimtan3xxx 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例 16 求240sinsin coslimxxxxxx 解 24300sinsin cossinsincoslimlimxxxxxxxxxxxxx 30sincoslimxxxxx 20coscossinlim3xxx xxx 0sin1lim33xxx 24300sinsin cossins

10、incoslimlimxxx xxxxx xxxxx 例8.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 這是一個00型未定式 先進行等價無窮小量代換 因ex1x (x0) 故有exsin x1xsin x (x0) 因arcsin xx (x0) 故有arcsin x3x3 (x0)所以 sin3320000e1sin1 cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxxsin3320000e1sin1 cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxxsin3320000e1sin1 cossin1limlimli

11、mlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxxsin3320000e1sin1 cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxx 例 18 求sin30e1limarcsinxxxx 例9.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 注： 洛必達法則是求解未定式極限的有效方法,但是要結(jié)合各種方法，以求最捷方式.1）等價無窮小替換法2）將極限存在的非零因子分離出來不參與洛必達法則的運算.3）過程中注意化簡.2. 只要滿足條件，可多次使用洛必達法則.( )0,( ),( ),( )0fxfxgxgx若仍屬型 且滿足定理的條件 則( )( )( )l

12、imlimlim.( )( )( )f xfxfxg xg xgx但每次使用前都必須檢驗極限類型是否為 型. 00首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 定理42(洛必達法則II) 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足 (1)(lim)(limxgxfaxax (2)在點 a 的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo) 且 g(x)0 (3)Axgxfax)()( lim(或) 則必有Axgxfxgxfaxax)()( lim)()(lim(或) 說明 當(dāng)定理中xa改為x時 洛必達法則同樣有效 三、“ ”型未定式的極限首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 例 8 求xxxlncotlnlim0 解

13、xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200 xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200 例10.20tanlimsinxx xx 20limxx xx 1 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例 9 求lnlimnxxx(n0) 解 例 10 求2elimxxx 解 2eeelimlimlim22xxxxxxxx 解 11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx 解 2eeelimlimlim22xxxxx

14、xxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx 例11.例12.結(jié)論：,lnnxxxxe 時,ln ,xnxx ex 當(dāng)時都是無窮大量，但是它們的階數(shù)不相同，即有：首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 sinlimsinxxxxx1 coslim1 cosxxx極限不存在limxxxxxeeeelimxxxxxeeeelimxxxxxeeee出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達法則失效的情況 注： 使用洛必達法則時,若 不存在，也不為 ，這不能說明原極限不存在，此時洛必達法則“失效”，應(yīng)改用其它方法計算

15、. xgxfxx 0limsinlimsinxxxxxsin1limsin1xxxxxlimxxxxxeeee221lim1xxxee( )( )1 01 011 0lim1 0 x1首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxx五、其他類型未定式的極限 對于未定式0、00、1、0 都可以轉(zhuǎn)化為 00或型未定式來計算 222211limlim111xxxxxx 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxxlim(arctan )2xxxarctan2lim1xxx 222211limlim111xxxxxx

16、 例 11 求lim (arctan )2xxx(0 型) 例13.lim (arctan )2xxx(0 型) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 解 例 12 求)ln11(lim1xxxx(型) 解 xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim)ln11(lim11 xxxxxxxxxln11lnlimln) 1(11lnlim11 211lim111lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxln) 1(1lnlim)ln11(lim11 xxxxxxxxxln11lnlimln) 1(11lnlim11 211lim111lim121xxxxxxx 例14.)ln11

17、(lim1xxxx(型) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例 13 求111limxxx(1型) 解 因為 11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx而 111lnlimlim111xxxxx所以 1111limexxx 11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx 111lnlimlim111xxxxx111lnlimlim111xxxxx 例15.111limxxx(1型) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例 14 求0limxxx(00型) 解 因為 l

18、n00limlim exxxxxx而 000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx所以 ln000limlimee1xxxxxxln00limlim exxxxxx 000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx ln000limlimee1xxxxxx 例16.(00型) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例 15 求1lim (e )xxxx (0型) 解 111limln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx而 ln(e )11 elimln(e )limlimexxxxxxxxxxxx eelimlim11 eexxxxxx所以 11lim(e )eexxxx 111limln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx111limln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx ln(e )11 elimln(e )limlimexxxx