2020海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)期末上學(xué)期試題及答案

1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)2020.01本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作 答無效?？荚嚱Y(jié)朿后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列岀的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題 目要求的一項(xiàng)。(1) 已知集合=12345,6, A = 1,3,5 , B = 2,3,4，則集合的抽是(A) 1,3,5,6(B) 1,3,5(C)1,3(D)1,5（2）拋物線V2 = 4X的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(A) (0,1)(B) (1,0)(C)(0,-1)(D)(70)（3）下列直線與圓（牙一 1）2+0 1）

2、2 =2相切的是（A）尸一兀(C)y = -2x(D)（4）已知bwR,且則(B) sin a sin/?(C)（y(D)cr lr（5）在（X-）5的展開式中，X的系數(shù)為X(A) -5(B) 5(C)-10(D)10（6）已知平面向量伏c(diǎn)滿足a+b+c=Q.則的值為(A)4（c）-T（7）已知p t 7是三個(gè)不同的平而，且aCV”，則5m P”（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）已知等邊ABC邊長(zhǎng)為3.點(diǎn)D在3C邊上，且AD = y/l下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A)BD(B) | = 21ACD( C )cos ZBAD =2 cos AC

3、AD( D)sin ZBAD =2 sin ZCAD單位:W/nf ）滿足（9）聲音的等級(jí)f（x）（單位：dB）與聲音強(qiáng)度x140dB； 一般說話時(shí)，聲Y/（x） = 10xlg噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為1x10音的等級(jí)約為60dB,那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的(A) ICT 倍(B) 10倍(C) 10 倍（D）10門倍ABDA體ABCD -中，記平而ABGD為0 ,平而ABCD為丫，點(diǎn)P是棱CC上一動(dòng)點(diǎn)(與C, c不重合)，Q. = fyffi(P), Q2=ffif7(p).給出下列三個(gè)結(jié)論： 線段PQ.長(zhǎng)度的取值范用是斗，斗)： 存在點(diǎn)P使得PQi 平而0

4、 ； 存在點(diǎn)P使得PQ丄PQ.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(A)(B)(C) (D) 第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(11) 在等差數(shù)列仏”中，,=5, a5=2,則嗎=.(12) 若復(fù)數(shù)z =,則Izl二I2 2(13) 已知點(diǎn)4(0,血)，點(diǎn)DC分別為雙曲線二-=1 (a0)的左、右頂點(diǎn).a 3若ABC為正三角形，則該雙曲線的離心率為.(14) 已知函數(shù)f(x) = x + -在區(qū)間(1,4)上存在最小值，則實(shí)數(shù)d的取值范圍是(15) 用“五點(diǎn)法作函數(shù)f(x) = Asin(l或lylni.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是(ii)當(dāng)m-2時(shí)，若曲線C所用

5、成的區(qū)域的而枳小于兀，則加的值可以 是(寫岀一個(gè)即可)三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫岀文字說明、演算步驟或證明過程。(17) (本小題共13分)已知函數(shù) f(x) = cos2 x +J5sinxcosx-1.2(I) 求函數(shù)/)的單調(diào)遞增區(qū)間；()若/(Q在區(qū)間0昇川上的最大值為1,求川的最小值.(18) (本小題共13分)如圖，在三棱錐V-ABC中，平而Vb0)的右頂點(diǎn)4(2,0),且離心率為Q .cr b2(I )求橢圓C的方程：(II)設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)P, Q ,直線AF和AQ分別與直線x = 4交于點(diǎn)M,N .求 APQ與厶AMN而積之和的最小值.(

6、21) (本小題共23分)已知函數(shù)/(x) = e(ax2 +1) (a 0).(I) 求曲線y = /(a)在點(diǎn)(o,/(o)處的切線方程:(II) 若函數(shù)/Cr)有極小值，求證：/(x)的極小值小于1.(22) (本小題共14分)給定整數(shù)n(n 2),數(shù)列 心 不內(nèi)，禺斜每項(xiàng)均為整數(shù),在九如中去掉一項(xiàng)兀,并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為伙=1,2,2n + l).將叫加2,叫訕中的最小值稱為數(shù)列人如的特征值(I)已知數(shù)列4：1,2,3,3,3,寫出mitm2,m3的值及人的特征值：(II)A,x2.0,中jjel,2,2“ + 1且心)時(shí)，判斷

7、與I兀-形I的大小關(guān)系，并說明理由；(III) 已知數(shù)列A卄的特征值為” 1,求 工lx-X.I的最小值.!r；2均可三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。)解：(I) /W = ll + sin2x-lsin 2x + cos 2x2 2= sin(2x + ).6因?yàn)閥 = sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn-.2kii + -伙eZ),2x + -e62 22k7i- .2kn + (k e Z)2 2所以廣(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為+ Z伙eZ)3 6(U)方法 1：因?yàn)閤e0,m,所以2叫哺3+卻又因?yàn)閤e0,m, /(x) =sin(2x + -)的最大值為

8、雞解得m-所以川的最小值為少.方法2：由(I )知:當(dāng)且僅當(dāng)x=H + -伙wZ)時(shí),f(x)取得最大值16因?yàn)?(a)在區(qū)間0,加上的最大值為1,所以？的最小值為=(i8)解：(1)在厶匕4中，M, N分別為U4, 1/3的中點(diǎn),V翊內(nèi)浄Nx ACBHy所以 MN/AB.又因?yàn)锳Bd平而CMN, MNu平而CMN ,所以AB 平而CMN.(口)在等腰直角三角形 VAC中，AC = CV,VC u平面所以VC丄AC.因?yàn)槠蕉鳹AC丄平面ABC,平而MCD平而ABC = AC,VAC,所以UC丄平而ABC.又因?yàn)锳B u平而ABC,所以AB丄VC.(HI)在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)C做CH垂直于AC,由

9、()知，UC丄平而ABC,因?yàn)?CH u 平 ifHABC,所以VC丄CH.如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-atz.則 C(0,0,0), U(0,0,2), 8(1,1,0), M(l,0,l), yv(i p： VB = (l,l,-2), CM =(1,0,1) , C/V = (| 1 1).設(shè)平而CMN的法向量為n =(龍,y, z)，/t - CM =09則f CN = 0X + Z = O, 即11cx + -y + z = 0.12 2-令x = l則y = l, Z = -L所以 w = （1,1,-!）.2邁直線VB與平而CMV所成角大小為0,所以直線VB與平而CMN

10、所成角的正弦值為3（19）解：（I）方法 1：A 小區(qū)的指數(shù) T = 0.7 x 0.2 + 0.7 x 0.2+0.5 x 0.32+0.5 x 0.28 = 0.58,0.58 0.60,所以B小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；C 小區(qū)的指數(shù)T = 0.1 x0.2 + 0.3x0.2+0.2x0.32+0.1 x0.28 = 0.172,0720.60,所以C小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū).方法2：A 小區(qū)的指數(shù) T = 0.7 x 0.2+0.7 x 0.2+0.5 x 0.32+0.5 x 0.28 = 0.580.58 0.6 x 0.2+0.6 x 0.2+0.6 x 0.32+0.6 x 0.28 = 0.6

11、 B小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū)；C 小區(qū)的指數(shù)7 = 0.1x0.2+0.3x0.2+0.2x032+0.1x0.28 b0)., a = 2. 解得，b = .所以橢圓c的方程為+/= 1.4（）設(shè)點(diǎn)依題意，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-勺,一兒），滿足薈+耳：=1 ( 一2 v 兀0 v 2 且兒 h 0 )，直線Q4的方程為y = -（x-2）心一 2令x = 4,得，=上也，即（4,上也）無_ 2兀）_ 2直線Q4的方程為y = 匕一2）,同理可得旳（4,丄4）x0 + 2人）+ 2設(shè)B為x = 4與x軸的交點(diǎn).Swq + Smn = * IOAI I 兒-人 I + ! I 佔(zhàn) I I 九-y N I= 1x2

12、xI2v0I + 1x2xI-I2山 2兀-2 心+ 2=21兒1+21兒1111如 一 2+ 2=21 兒 1+21 兒 II.又因?yàn)閄q+4%=4, yo#O,i?所以Smpq + S、MN = 21兒 I +21 兒 I =2lyol + -4. I)b I當(dāng)且僅當(dāng)y0=l取等號(hào)，所以S“pq + S的的最小值為4(21)解：(I)由已知得 /(x) = ex(ax2+2ox+l),因?yàn)?(o)=i , /70)= 1,所以直線/的方程為_v = x + l.(II) (i)當(dāng) 0 va 0 所以ff(x) = ex(ax2+2ax + )0 (當(dāng)且僅當(dāng)a = l且x = -l時(shí)，等號(hào)成

13、立).所以/(力在R上是單調(diào)遞增函數(shù).所以/(力在R上無極小值.(ii)當(dāng) a 1 時(shí)L元二次方程 ax2 + 2ax+1= 0 的判別式 = 4a(a -1) 0, 記心勺是方程的兩個(gè)根，不妨設(shè)x2.x + x2 = -2 0.所以兀| x2 0.此時(shí)f(x), /(Q隨X的變化如下:X(-8, X)UpX2)(x2,+oo).fx)+00+fM極大值X極小值所以/(x)的極小值為f(x2).又因?yàn)?(X)在勺，0單調(diào)遞增,所以 /U2)0,可分下列兩種情況討論:當(dāng)丘1,2,/ + 1時(shí)， 根據(jù)左義可知:mi = g”+l + 可“ + + Xn+2）一（如+1 + + + K 不）=（尤2

14、”+1 +勺“ +.+兀”+2）一（+1 + +丙）+不同理可得：加產(chǎn)（心+1 +心” + &+2）一（乙+1 +兀+禹）+ X）所以 mt-nij =xi-xj.所以1?廠加丿1 = 1齊I.0當(dāng)jj + 1,“ + 2,92“ + 1時(shí)，同理可得：叫=（兀2“+1 + 兀2” + + +1 一兀）一（尤” + Xn- + + X J=（七“+1 +尤2” +暫+J 一（心+兀I + +刊）一兀,l1j=（X2n + 吃” + + 1十 1） _ （乙 + 兀一i + + %!）-Xy所以加廠叫=Xj-Xj.所以1“ 一加丿1 = 1齊一卩丄綜上有:I /耳一 m I = I兀一 I（皿）不

15、妨設(shè)召5吃55勺”+i，E臨-ij2n=2心2,田 + （2/7 - 2）xln + + 2占+2 + 0 xd+1 - 2xn2 好=2（勺卄1 一 西）+ （2/1 - 2）（. - 勺）+ + 2（兀p -兀），顯然，兀2“+1 一西兀2” 一勺巴+2 一 ，X2n+l +%2n + Xn+2 (Xn+ Vl + * * *+ X1)-(+1 + + 兀2“)_ (召 + 兀2 + + )=必2”+1 當(dāng)且僅當(dāng)A；+1 = X2d+J時(shí)取等號(hào)；X2n+l + 也 + + Xn+2 _ (如 + X_ + + 西)-(+2 + + 勺“+1)(X2 + + + +1)= ,n當(dāng)且僅當(dāng)A, = X/i+1時(shí)取等號(hào)：由()可知ffivm2n+l的較小值為n-1,所以 X2n+ + A2n + + Xn+2 -(Xn + Xn-l + + 丹)_1.當(dāng)且僅當(dāng)X| =勺”+時(shí)取等號(hào)，此時(shí)數(shù)列舛”+1為常數(shù)列，其特征值為0,不符合題意，則必有兀2”+1 + 尤2” + + +2 _( + Xn- + + )”下證：若 pXqAO, 2k (n +1)( p + c).證明：(2 + 2-k)p + kq-