概率論課設(shè)論文1

1、成 績 評 定 表學(xué)生姓名 班級學(xué)號專 業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)課程設(shè)計(jì)題目物體表面腐蝕深度與腐蝕時(shí)間的回歸分析評語組長簽字：成績?nèi)掌?2014 年 6 月 19 日課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué) 院專 業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)生姓名班級學(xué)號課程設(shè)計(jì)題目物體表面腐蝕深度與腐蝕時(shí)間的回歸分析實(shí)踐教學(xué)要求與任務(wù):通過該課程設(shè)計(jì)，使學(xué)生進(jìn)一步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法；初步掌握Excel統(tǒng)計(jì)工作表在隨機(jī)模擬中是應(yīng)用，MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件包對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析；具備初步的運(yùn)用計(jì)算機(jī)完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂中學(xué)習(xí)到理論得到應(yīng)用。1數(shù)據(jù)整理：收集數(shù)據(jù)，錄入數(shù)據(jù)，畫出相應(yīng)圖形；建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)的輸入與整理，各種數(shù)據(jù)的圖形顯

2、示。2假設(shè)檢驗(yàn)： MATLAB繪制出直方圖，做數(shù)據(jù)分布的推測；參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，繪制概率密度圖。3單因素、多因素方差分析：正態(tài)總體的方差分析問題； MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件中關(guān)于方差分析的相關(guān)命令，做出方差分析表，box圖，能對結(jié)果進(jìn)行簡單分析。4一元、多元線性回歸模型：回歸系數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)散點(diǎn)與回歸直線的圖示，殘差圖。運(yùn)用MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件，對給定的數(shù)據(jù)擬合回歸方程。指導(dǎo)教師： 2014年 月 日 專業(yè)負(fù)責(zé)人：2014年 月 日學(xué)院教學(xué)副院長：2012年 月 日摘 要數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計(jì)和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，預(yù)測與監(jiān)控問題在其中占有很重要

3、的地位。區(qū)間估計(jì)和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)已有完備的結(jié)論；對于非正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，預(yù)測與監(jiān)控在大樣本的情況下，可利用中心極限定理轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體來解決。但實(shí)際問題中常常碰到非正態(tài)總體，而且是小樣本的情況，因此對它的區(qū)間估計(jì)和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，預(yù)測與監(jiān)控是一個(gè)值得研究的問題。本文利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本原理對小樣本常用分布參數(shù)置信區(qū)間和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) , 預(yù)測與監(jiān)控，進(jìn)行了深入研究，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，預(yù)測與監(jiān)控

4、，的解決方法。本文利用小樣本情形的統(tǒng)計(jì)量法解決離散型的0-1分布、二項(xiàng)分布以及連續(xù)型的指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，對于泊松分布的參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)則采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析。對于均勻分布，利用兩個(gè)參數(shù)的最大似然估計(jì)求出聯(lián)合概率密度進(jìn)行求解。 關(guān)鍵詞：方差分析；置信區(qū)間；線性相關(guān)；預(yù)測與監(jiān)控目 錄1 設(shè)計(jì)目的12 設(shè)計(jì)問題13 設(shè)計(jì)原理23.1 回歸方程顯著性檢驗(yàn)33.2 回歸系數(shù)的置信區(qū)間53.3 利用模型預(yù)測54 設(shè)計(jì)程序65 設(shè)計(jì)總結(jié)13致 謝13參考文獻(xiàn)14111 設(shè)計(jì)目的了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法及應(yīng)

5、用一元回歸方程進(jìn)行預(yù)測的方法；學(xué)會應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行一元回歸實(shí)驗(yàn)的分析方法。同時(shí)更好的了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題上的應(yīng)用，并將所學(xué)的知識結(jié)合Excel對數(shù)據(jù)的處理解決實(shí)際問題。本設(shè)計(jì)是利用一元線性回歸理論對物體降落的距離與時(shí)間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并用Excel分析工具庫中的回歸分析軟件進(jìn)行解算。2 設(shè)計(jì)問題 為了更好的弄清楚物體表面腐蝕深度與腐蝕時(shí)間的關(guān)系，測得腐蝕深度與腐蝕時(shí)間的數(shù)據(jù)如下：時(shí)間x腐蝕深度y時(shí)間x腐蝕深度y555019108602315107025201390293016120464017由此，我們利用這些數(shù)據(jù)做出腐蝕時(shí)間關(guān)于腐蝕深度的

6、線性回歸方程。3 設(shè)計(jì)原理 假設(shè)變量Y與X之間存在線性關(guān)系，則由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)點(diǎn)（），（）·····（）將散布在某一直線的周圍。因此我們可以用線性方程大致的描述變量Y與X之間的關(guān)系。設(shè)隨機(jī)變量 按最小二乘法求未知參數(shù)a及b的估計(jì)值時(shí)，我們有偏差平方和 為了使S取得最小值，分別求S對a及b 的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，得到方程組，整理得 解方程組得 上式中 其中是觀測值的樣本方差； 為了以后進(jìn)一步分析的需要我們在引進(jìn) 其中是觀測值的樣本方差。所求的線性方程為：3.1 回歸方程顯著性檢驗(yàn)建立一元線性回歸方程當(dāng)且僅當(dāng)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)才是有意

7、義的，因此必須對變量之間的線性相關(guān)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，即對建立的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。我們首先引入幾個(gè)概念：（1） ，稱為總偏差平方和，它表示觀測值總的分散程度；（2） ，稱為回歸平方和，它是由回歸變量的變化引起的，放映了回歸變量對變量線性關(guān)系的密切程度；（3） ，稱為殘差（剩余）平方和，它是由觀測誤差等其他因素起誤差，它的值越小說明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好?？梢宰C明下列關(guān)系成立 即 =+ 我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記。(0<=R<=1),稱R為復(fù)相關(guān)系數(shù)，用R的大小來評價(jià)模型的有效性，R越大，則反映回歸變量與相應(yīng)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系越密切。引入F統(tǒng)計(jì)量。 定

8、義，可知FF（1，n-2）.對于給定的顯著水平a(一般這里取0.05或0.01)，查表可得臨界值F（1,n-2） 如果F> F（1,n-2）,則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系顯著；如果F<= F（1,n-2），則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用中也可以通過F對應(yīng)的概率P<來說明y與x之間的線性相關(guān)性顯著。3.2 回歸系數(shù)的置信區(qū)間回歸方程（1）的回歸系統(tǒng),是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，給定置信水平1-后，可得到他們對應(yīng)的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果摸個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間包含0點(diǎn)，則說明該回歸變量的影響不顯著，需要進(jìn)一步地修改回歸方程，盡量是每個(gè)回歸系數(shù)的置信

9、區(qū)間都不包含0點(diǎn)。3.3 利用模型預(yù)測在對所建立的回歸模型進(jìn)行相關(guān)程度檢驗(yàn)與分析之后，如果預(yù)測變量y與相關(guān)變量x的每一個(gè)給定值x，帶入回歸模型，就可以求得一個(gè)相對應(yīng)的回歸預(yù)測值,稱為模型的點(diǎn)估計(jì)值。4 設(shè)計(jì)程序>> y=5 8 10 13 16 17 19 23 25 29 46;>> x=5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120;>> plot(x,y,'*')生成圖（1），可以看出x和y大體成線性關(guān)系。圖（1）x與y的散點(diǎn)圖（2）作一元回歸分析，輸入：>> X=ones(11,1),x'>

10、> b , bint ,r ,rint ,s=regress(y',X,0.05);>> b ,bint ,sb = 4.6681 0.3130bint = 2.1583 7.1778 0.2696 0.3565s =0.9673 265.9816 0.0000 這個(gè)結(jié)果可整理成表1的形式?；貧w系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間4.66812.1583,7.17780.31300.2696,0.3565 表 1 MATLAB回歸分析結(jié)果表一元回歸方程為： 從幾個(gè)方面都可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯行У模簷z驗(yàn)-接近于0；的置信區(qū)間不含零點(diǎn)；用MATLAB命令finv(0.95,1,2

11、8)計(jì)算得到，F(xiàn)為統(tǒng)計(jì)量觀測值，所以X與Y的相關(guān)性顯著。殘差及其置信區(qū)間作圖代碼輸入：rcoplot(r,rint)圖 1 殘差圖（橫軸：腐蝕時(shí)間 縱軸：殘差分析值）所謂殘差是指實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值的差，殘差分析就是通過殘差所提供的信息，分析出數(shù)據(jù)的可靠性、周期性或其它干擾。從殘差圖可以看出，數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型能很好的符合原始數(shù)據(jù)。（3）講上面的回歸系數(shù)估計(jì)值，帶入回歸方程，物體表面腐蝕深度的測試中，對時(shí)間間隔為120/h的腐蝕深度進(jìn)行預(yù)測，得到 。在，腐蝕深度預(yù)測區(qū)間簡化為，輸入計(jì)算指令： >> y=5 8 10 13 16 17

12、19 23 25 29 46; >> x=5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120; >> polytool(x,y,1,0.05)作出散點(diǎn)圖及擬合曲線，并對時(shí)的進(jìn)行預(yù)報(bào)，結(jié)果如圖 3 所示。 圖 2 散點(diǎn)圖及擬合曲線如圖3所示，紅線表示為數(shù)據(jù)離合區(qū)間，藍(lán)色“+”表示為數(shù)據(jù)散點(diǎn)分布，綠色表示為擬合曲線。 5 設(shè)計(jì)總結(jié)通過對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的這道實(shí)際問題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，而且使我對這些知識在實(shí)際中的應(yīng)用產(chǎn)生了濃厚的興趣，同時(shí)對我學(xué)習(xí)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課有很大幫助。在實(shí)現(xiàn)這道題的過程中我應(yīng)用了Excel軟件，學(xué)會了該軟件的一些新的應(yīng)用，更加熟練的操作該軟件進(jìn)行一些數(shù)據(jù)上的處理。致 謝本論文是張玉春老師指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。在此，我向張老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。同時(shí)我還要