數學向量代數空間解析幾何學習教案

1、會計學1數學向量代數空間數學向量代數空間(kngjin)解析幾何解析幾何第一頁，共67頁。1 1、向量、向量(xingling)(xingling)的概念的概念定義定義: :既有大小既有大小(dxio)(dxio)又有方向的量稱為又有方向的量稱為向量向量. .自由自由(zyu)(zyu)向量、向量、相等向量、相等向量、負向量、負向量、向徑向徑. .重要概念重要概念: :零向量、零向量、向量的模、向量的模、 單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、第2頁/共67頁第二頁，共67頁。(1) (1) 加法加法(jif)(jif)：cba 2 2、向量、向量(xingling)(xingling)的線

2、性運算的線性運算dba ab(2) (2) 減法減法(jinf)(jinf)：cba dba (3) (3) 向量與數的乘法：向量與數的乘法：, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa 第3頁/共67頁第三頁，共67頁。向量向量(xingling)(xingling)的的分解式：分解式：,zyxaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標軸上的分向量在三個坐標軸上的分向量(xingling)(xingling)：kajaiazyx,向量的坐標向量的坐標(zu

3、bio)(zubio)表示式：表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法第4頁/共67頁第四頁，共67頁。向量向量(xingling)的加減法、向量的加減法、向量(xingling)與數的乘與數的乘積等的坐標表達式積等的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 第5頁/共67頁第五頁，共67頁。222|zyxaaaa 向量模長的坐標向量模長的坐標(zub

4、io)表示式表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標向量方向余弦的坐標(zubio)表表示式示式)1coscoscos(222 第6頁/共67頁第六頁，共67頁。4 4、數量、數量(shling)(shling)積積 cos|baba 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角( (點積、內積點積、內積) )zzyyxxbabababa 數量數量(shling)(shling)積的坐積的坐標表達式標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角兩向量夾角(j

5、i jio)(ji jio)余弦的坐標表余弦的坐標表示式示式第7頁/共67頁第七頁，共67頁。5 5、向量、向量(xingling)(xingling)積積 sin|bac 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角( (叉積、外積叉積、外積(wi j)(wi j)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量向量(xingling)(xingling)積積的坐標表達式的坐標表達式ba 第8頁/共67頁第八頁，共67頁。zyxzyxbbbaaakjiba ba/ / /zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合、混合(hnh

6、)(hnh)積積3 3向量向量(xingling)(xingling)共面的充要條件是混共面的充要條件是混合積為合積為0 0。第9頁/共67頁第九頁，共67頁。直直 線線曲面曲面(qmin)(qmin)曲線曲線(qxin)(qxin)平平 面面參數參數(cnsh)(cnsh)方程方程旋轉曲面旋轉曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數方程參數方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程點法式方程點法式方程一般方程一般方程空間直角坐標系空間直角坐標系（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何第10頁/共67頁第十頁，共67頁。x橫軸橫軸y縱縱軸軸z豎軸豎軸 定定點點o1 1、空間、空間(kngj

7、in)(kngjin)直角坐標系直角坐標系空間空間(kngji(kngjin)n)的點的點有序數組有序數組),(zyx第11頁/共67頁第十一頁，共67頁。 21221221221zzyyxxMM 它們它們(t men)距離為距離為設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點兩點間距離兩點間距離(jl)(jl)公式公式: :第12頁/共67頁第十二頁，共67頁。曲面曲面(qmin)(qmin)方程的定義：方程的定義：如果曲面如果曲面S與三元方程與三元方程0),( zyxF有下述關系：有下述關系：(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；那那

8、么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.2 2、曲面、曲面(qmin)(qmin)(2) 不在曲面不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；第13頁/共67頁第十三頁，共67頁。研究研究(ynji)(ynji)空間曲面的兩個基本問題：空間曲面的兩個基本問題：（2 2）已知坐標間的關系式，研究）已知坐標間的關系式，研究(ynji)(ynji)曲面形曲面形狀狀. .（1 1）已知曲面作為點的軌跡）已知曲面作為點的軌跡(guj)(guj)時，求曲面方程時，求曲面方程. .1 1 旋轉曲面旋轉曲面定義：以一

9、條平面曲線繞其定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱之所成的曲面稱之. .這條定直線叫旋轉曲面的軸這條定直線叫旋轉曲面的軸. .第14頁/共67頁第十四頁，共67頁。方程方程(fngchng)(fngchng)特點特點: :0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線設有平面曲線設有平面曲線第15頁/共67頁第十五頁，共67頁。（2 2）圓錐）圓錐(yunzhu)(yunzhu)面面

10、222zyx （1 1）球面）球面(qimin)(qimin)（3 3）旋轉）旋轉(xunzhun)(xunzhun)雙曲雙曲面面1222222 czayax1222 zyx第16頁/共67頁第十六頁，共67頁。2 2 柱面柱面定義定義(dngy(dngy) )：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C C移動的直線移動的直線L L所形所形成成(xngchng)(xngchng)的曲面稱之的曲面稱之. .這條定曲線叫柱面的這條定曲線叫柱面的準線準線(zhn xin)(zhn xin)，動，動直線叫柱面的母線直線叫柱面的母線. .第17頁/共67頁第十七頁，共67頁。從柱面方程從柱面方程(

11、fngchng)(fngchng)看柱面看柱面的特征：的特征：(1) (1) 平面平面(pngmin) (pngmin) xy 第18頁/共67頁第十八頁，共67頁。(3) (3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) (4) 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2) (2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 第19頁/共67頁第十九頁，共67頁。3 3 二次曲面二次曲面定義定義: :三元二次方程所表示三元二次方程所表示(biosh)(biosh)的曲面稱為二次的曲面稱為二次曲面曲面. .（1 1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2 2）橢圓）橢圓(tuy

12、un)(tuyun)拋物面拋物面)(同號同號與與qp第20頁/共67頁第二十頁，共67頁。zqypx 2222（3 3）馬鞍）馬鞍(m (m n)n)面面)(同號同號與與qp（4 4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5 5）圓錐）圓錐(yunzhu)(yunzhu)面面222zyx 第21頁/共67頁第二十一頁，共67頁。3 3、空間、空間(kngjin)(kngjin)曲線曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 1 空間空間(kngjin)(kngjin)曲線的一般方曲線的一般方程程 )()()(tzztyytxx2 2 空間空間(kngjin)(kngjin)曲線的曲

13、線的參數方程參數方程第22頁/共67頁第二十二頁，共67頁。 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間如圖空間(kngjin)曲線曲線一般方程為一般方程為參數參數(cnsh)方程為方程為第23頁/共67頁第二十三頁，共67頁。3 3 空間曲線空間曲線(qxin)(qxin)在坐標面上的投在坐標面上的投影影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量(binling)z(binling)z后得：后得：0),( yxH設空間設空間(kngjin)(kngjin)曲線的一般方程：曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線

14、為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz第24頁/共67頁第二十四頁，共67頁。4 4 空間立體或曲面空間立體或曲面(qmin)(qmin)在坐標面上的投在坐標面上的投影影空間空間(kngjin)(kngjin)立體立體曲面曲面(qmi(qmin)n)第25頁/共67頁第二十五頁，共67頁。4 4、平面、平面(pngmin)(pngmin),CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 1 平面平面(pngmin)(pngmin)的點的點法式方程法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2

15、2 平面平面(pngmin)(pngmin)的一般的一般方程方程0 DCzByAx1 czbyax3 3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc第26頁/共67頁第二十六頁，共67頁。0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 4 平面平面(pngmin)(pngmin)的的夾角夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 5 兩平面兩平面(pngmin)(pngmin)位位置特征：置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 第27頁/共67頁第二十七頁，共67頁。5 5、

16、空間、空間(kngjin)(kngjin)直線直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 1 空間空間(kngjin)(kngjin)直線的一般方程直線的一般方程xyzo1 2 L第28頁/共67頁第二十八頁，共67頁。xyzosL0M M 3 3 空 間 直 線 的 參 數空 間 直 線 的 參 數( c n s h )( c n s h ) 方 程方 程pzznyymxx000 2 2 空間直線的對稱空間直線的對稱(duchn)(duchn)式方程式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pn

17、ms 第29頁/共67頁第二十九頁，共67頁。直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的夾角兩直線的夾角(ji jio)(ji jio)公式公式4 4 兩直線兩直線(zhxin)(zhxin)的夾角的夾角第30頁/共67頁第三十頁，共67頁。5 5 兩直線兩直線(zhxin)(zhxin)的位置關系：的位置關系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm 0222111121212 pnmpnmzzyyxx.),

18、( ,),(22221111LzyxLzyx (3) (3) 兩直線兩直線(zhxin)(zhxin)共面共面第31頁/共67頁第三十一頁，共67頁。pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 6 直線與平面直線與平面(pngmin)(pngmin)的的夾角夾角222222|sinpnmCBACpBnAm 直線直線(zhxin)與平面的夾角公式與平面的夾角公式)20( 第32頁/共67頁第三十二頁，共67頁。7 7 直線與平面的位置直線與平面的位置(wi zhi)(wi zhi)關系關系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm第33頁/共67頁第三十三頁，共67頁。成立的條

19、件；成立的條件；為任意實數，并指出其為任意實數，并指出其其中其中應用向量證明不等式：應用向量證明不等式：3 , 2 , 1,|. 1332211232221232221 ibababababbbaaaii證明證明(zhngmng)：，則，則令令,321321bbbbaaaa bababa,cos|，即，即|ba |332211bababa 232221232221bbbaaa 成比例時，成比例時，與與當當321321,bbbaaa.1|cos|/等號成立等號成立，此時，此時有有 ba第34頁/共67頁第三十四頁，共67頁。平分線方向的向量；平分線方向的向量；夾角夾角與與是表示向量是表示向量證明

20、向量證明向量babaabbac|. 2 證明證明(zhngmng)：同方向的單位向量，則同方向的單位向量，則表示與表示與分別設分別設baeeba,|aaea |bbeb 形為菱形，形為菱形，為邊所構成的平行四邊為邊所構成的平行四邊由以由以baee,于是于是知其對角線平分頂角，知其對角線平分頂角，dbaee |bbaa |babaab 第35頁/共67頁第三十五頁，共67頁。，又，又夾角平分線平行的向量夾角平分線平行的向量這是與這是與ba,c|babaab d |baabbabaab 方向的向量。方向的向量。夾角平分線夾角平分線與與是表示是表示，故，故其中其中bacbaba0| 第36頁/共67

21、頁第三十六頁，共67頁。|;|, 0, 5| , 4| , 3|. 3accbbacbacba 求求且且設設解：解：0 cba由由組成一個三角形，組成一個三角形，cba,可知可知三角形，又由向量定義三角形，又由向量定義由模長知這是一個直角由模長知這是一個直角,2,ABCSaccbba 的方向相同，大小等于的方向相同，大小等于,accbba |3|baaccbba ABCS 2336 ABCabc第37頁/共67頁第三十七頁，共67頁。；試求試求已知向量已知向量| )22()3( |4| ,3| ,. 4babababa Answer:48Answer:48第38頁/共67頁第三十八頁，共67頁

22、。;110011,. 5cbacba，試求向量，試求向量，若若且兩兩所成的角相等，且兩兩所成的角相等，具有相等的模具有相等的模向量向量 解：解：由已知條件由已知條件設設,zyxc , 2| ba21,cos1 baba,112| cbcac由題意知由題意知 112222zyyxzyx即即.3/1, 3/4 , 3/11 , 0 , 1 或或故故 c第39頁/共67頁第三十九頁，共67頁。；垂直，求此平面的方程垂直，求此平面的方程且與平面且與平面的垂線，的垂線，到直線到直線設一平面通過從點設一平面通過從點0001)1 , 1, 1(. 6 zxzy解：解：,001)1 , 1, 1(110 xz

23、yLP：垂直于直線垂直于直線做平面做平面先過點先過點:1的參數方程的參數方程寫出直線寫出直線 L 10tztyx的方程為的方程為故故的法向量，的法向量，即為，即為的方向向量的方向向量直線直線111)1 , 1 , 0( L第40頁/共67頁第四十頁，共67頁。0 zy的方程得的方程得的方程代入的方程代入的交點，把的交點，把與與再求再求1111 LL012 t21 t).2/1 , 2/1, 0(111 PL 的交點為的交點為與與即得即得所確定的直線為所確定的直線為與與由此求得由此求得10PP12/1112/11101 zyx 012zyyx即即程為：程為：設過該直線的平面束方設過該直線的平面束

24、方0)(12 zyyx 第41頁/共67頁第四十一頁，共67頁。01)2( zyx 即即垂直的平面，故垂直的平面，故現要求其中與平面現要求其中與平面0 z01 , 0 , 0,2 , 1 0 . 012 yx即所求平面方程為：即所求平面方程為：:,0的直線的方向向量為的直線的方向向量為或確定或確定PP1 , 1, 2 s則則同時垂直于同時垂直于所求平面的法向量所求平面的法向量,ksnksn 0 , 2 , 1 . 0)1(2)1( yx所所求求平平面面方方程程為為：第42頁/共67頁第四十二頁，共67頁。；相交，求此直線的方程相交，求此直線的方程和和且與兩直線且與兩直線設直線過點設直線過點 0

25、105074:032053:),9, 5 , 3(. 721zxyxLzxyxLA解：解：.)9, 5 , 3(11 所確定的平面所確定的平面及及先求由點先求由點LA),3, 5 , 0(2 , 3 , 111 PsL，過點，過點方向向量為方向向量為，則，則的法向量為的法向量為設設11n sPAn 11231603kji 9018， 第43頁/共67頁第四十三頁，共67頁。0)9()3(21 zx為為故故032 zx為：為：所確定的平面所確定的平面及及同理，可求得由同理，可求得由22 LA053634 zyx.053634032 zyxzx所求直線為：所求直線為：第44頁/共67頁第四十四頁，

26、共67頁。上求兩直線間的距離；上求兩直線間的距離；同一平面同一平面一平面上求交點，不在一平面上求交點，不在在同一平面上，若在同在同一平面上，若在同是否是否與與判斷直線判斷直線42311:21111:. 821 zyxLzyxL解：解：),1 , 0 , 1(,2 , 1 , 1111 PsL過點過點的方向向量為的方向向量為),2 , 1, 0(4 , 3 , 1222 PsL，過點，過點的方向向量為的方向向量為，它們的混合積，它們的混合積1 , 1, 121 PP111431211 02 現求它們之間的距離現求它們之間的距離為異面直線，為異面直線，與與21LL第45頁/共67頁第四十五頁，共6

27、7頁。21ss 431211kji ，222 d|Prj|21s21PPs |)(212221ssPPss 33 第46頁/共67頁第四十六頁，共67頁。的距離；的距離；線線到直到直由此計算點由此計算點距離為距離為的的到直線到直線點點，證明，證明的方向向量為的方向向量為且直線且直線上的任意一點，上的任意一點，是直線是直線外的一點外的一點是直線是直線設設122524:)4, 4 , 3(,|:,. 9000 zyxLMssMMdLMsLLMLM證明證明(zhn(zhngmngmng)g)：。用向量的幾何意義證明用向量的幾何意義證明則面積則面積記記,NMs sMMSMNPM |00|0ssMMd

28、即得即得ds |第47頁/共67頁第四十七頁，共67頁。則則此處此處,1 , 2, 2),2 , 5 , 4( sM|0ssMMd . 25 第48頁/共67頁第四十八頁，共67頁。;22:.102221面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程和在和在面的投影柱面面的投影柱面對對求曲線求曲線xoyxoyxzyxzL 解：解：投影柱面方程為：投影柱面方程為：平面的平面的得曲線關于得曲線關于消去消去由由xoyzxzyxzL,22:2221 平面上的投影曲線為：平面上的投影曲線為：于是得曲線在于是得曲線在 xoyyx, 122 0122zyx第49頁/共67頁第四十九頁，共67頁。影區(qū)域，并會出圖形；影

29、區(qū)域，并會出圖形；面上的投面上的投在在之間的部分之間的部分與平面與平面面面夾在平夾在平軸旋轉一周而成的曲面軸旋轉一周而成的曲面繞繞求曲線求曲線xoyzzzxzy 8202.112解：解：易知旋轉曲面的方程為易知旋轉曲面的方程為zyx222 ,82所截所截與與平面平面它是旋轉拋物面，被兩它是旋轉拋物面，被兩 zz兩個平面上的園：兩個平面上的園：與與拋物面的交線是拋物面的交線是顯然這兩個平面與旋轉顯然這兩個平面與旋轉82 zz 416242222zyxzyx與與第50頁/共67頁第五十頁，共67頁。個圓：個圓：面上的兩面上的兩面的投影曲線分別是面的投影曲線分別是這兩條交線在這兩條交線在xoyxoy

30、 016042222zyxzyx與與環(huán)形區(qū)域：環(huán)形區(qū)域：面上為這兩個圓所界的面上為這兩個圓所界的平平是是平面上的投影區(qū)域平面上的投影區(qū)域在在故所求曲面故所求曲面xoyDxoy .16422 yx第51頁/共67頁第五十一頁，共67頁。，試求此柱面的方程；，試求此柱面的方程；向向量為向向量為為準線，而母線的方為準線，而母線的方設柱面以設柱面以)1 , 1 , 1(01.12222 zyxzyx解：解：，相交于點相交于點點所在母線與點所在母線與為為設所求柱面上任一動點設所求柱面上任一動點),(),(1111zyxMMzyxM ,)1 , 1 , 1(1平行平行與與則則MM111111zzyyxx

31、:1上，故有上，故有在在又又 M 01111212121zyxzyx直線的方程為：直線的方程為：故故1MM第52頁/共67頁第五十二頁，共67頁。代入上述方程組，解得代入上述方程組，解得將將tzztyytxx 111,2223.2xyzxyyzxz )2(31)2(31)2(31111zyxzzyxyzyxx)(31zyxt 第53頁/共67頁第五十三頁，共67頁。的方程；的方程；軸旋轉而得的旋轉曲面軸旋轉而得的旋轉曲面繞繞：空間曲線空間曲線zIttztytx , )(),(),(.13 解：解：),(),(),(tttMt 上一點上一點，得，得固定一個固定一個 軸的距離為軸的距離為該點到該點

32、到 zIttzttyxzM ,)()()(2222 軸得一空間圓周軸得一空間圓周繞繞.即可即可去去消消有點所滿足的關系式，有點所滿足的關系式，上式即為旋轉曲面上所上式即為旋轉曲面上所t)()(22ttd 第54頁/共67頁第五十四頁，共67頁。曲面的方程；曲面的方程；軸旋轉所得的旋轉軸旋轉所得的旋轉繞繞：求直線求直線zzyxL21101.14 解：解：,21, 1tztyxL 寫成：寫成：直線直線旋轉曲面的參數方程為旋轉曲面的參數方程為:得得消去消去 t., 121222為單葉雙曲面為單葉雙曲面 zyx ttztyx,121222第55頁/共67頁第五十五頁，共67頁。.01.15222化為參

33、數方程化為參數方程將曲線將曲線 yxzyx解：解：面上的投影為：面上的投影為：曲線在曲線在 yoz即即,01)(222 xzyytyxcos21 從而從而.sincos21cos21 tztytx)20(sin,cos21 ttzty令令第56頁/共67頁第五十六頁，共67頁。的圓心與半徑；的圓心與半徑；求園求園 0192210.16222zyxyzyx解：解：25)5(222 zyx將球面化為標準方程：將球面化為標準方程：且與平面且與平面過球心過球心)0 , 5 , 0(A直線方程為：直線方程為：垂直的垂直的01922 zyx2251zyx 解方程組：解方程組：BA35r第57頁/共67頁第

34、五十七頁，共67頁。 01922225zyxzyx)2 , 7 , 1(B為所求圓心，為所求圓心，即即為平面與直線的交點為平面與直線的交點BB,，故，故，球半徑球半徑35 ABR所求圓的半徑為：所求圓的半徑為：22ABRr . 4 BA35r第58頁/共67頁第五十八頁，共67頁。001117.:210111,.xyzlxyzlly 求求直直線線在在平平面面上上上上的的投投影影直直線線的的方方程程 并并求求繞繞周周旋旋轉轉一一周周所所成成曲曲面面的的方方程程解：解：其法向量其法向量的平面的平面做一垂直于做一垂直于過直線過直線解法解法,. 11 l，可得：，可得：向量向量的法的法又垂直于又垂直于的方向向量的方向向量即垂直于即垂直于2 , 1, 1,11 , 1 nsl nsn 1211111 kji231 ，第59頁/共67頁第五十九頁，共67頁。上，則上，則平面