三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、頁(yè)腳頁(yè)腳.1三角函數(shù)的概念知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、角的概念與推廣1任意角的概念：正角、負(fù)角、零角2象限角與軸線角：與a終邊相同的角的集合：卩I卩=2kK+a,keZ兀第一象限角的集合：卩I2k兀卩-+2k兀,keZ兀第二象限角的集合：卩Iq+2k兀卩兀+2k兀,keZ3兀第三象限角的集合：卩I兀+2k卩2+2k兀,keZ3兀第四象限角的集合：卩丨亍+2k兀卩2兀+2k兀,keZ終邊在x軸上的角的集合：卩I卩=k兀,keZ兀終邊在y軸上的角的集合：卩I卩=k兀+keZk兀終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：卩I卩=空，keZ要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂煜と我饨堑母拍?，要注意角的集合表現(xiàn)形式不是唯一的，終邊相同的角

2、不一定相等，但相等的角終邊一定相同，還要注意區(qū)間角與象限角及軸線角的區(qū)別與聯(lián)系.考點(diǎn)二、弧度制1弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式：弧長(zhǎng)1=a*r，扇形面積S=lr=r2(其中r是圓的半徑，a是弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)).TOC o 1-5 h z扇形222角度制與弧度制的換算： HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 兀180180=兀；1=radq0.01745rad；1rad=()57.30=5718 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 180兀ooOOO要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂煜せ《戎婆c角度制的互化以及在弧度制下的有關(guān)公式

3、.考點(diǎn)三、任意角的三角函數(shù)定義：在角U上的終邊上任取一點(diǎn)P(X,y)，記r=OP=Jx2+y2yxyxrr貝ysina=,cosa=,tana=，cota=，seca=，csca=rrxyxy三角函數(shù)線：如圖，單位圓中的有向線段MP，OM，AT分別叫做a的正弦線，余弦線，正切線.兀a|a=刼+kgz;三角函數(shù)的定義域：y=sina，y=cosa的定義域是agR；兀a|a=刼+kgz;y=cota，y=csca的定義域是a|a豐k兀,kgZ.4.三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)：考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1;sec2a=1+tan2a;csc2a=1+cot2

4、a.sinacosa商數(shù)關(guān)系：tana=;cota=cosasina倒數(shù)關(guān)系：tana*cota=1;sinacsca=1;cosa*seca=1要點(diǎn)詮釋?zhuān)和侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系主要用于：(1)已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；(2)證明三角恒等式；(3)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.三角變換中要注意“1”的妙用，解決某些問(wèn)題若用“1”代換，如1=sin2a+cos2a，1=sec2a-tan2a=tan45=，則可以事半功倍；同時(shí)三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)五、誘導(dǎo)公式1.2kK+a(kgZ),-a,兀土a,2k-a的三角函數(shù)值等于a的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)

5、把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在象限的符號(hào).兀3兀2.-a，a的三角函數(shù)值等于a的互余函數(shù)值，前面加上一個(gè)把Q看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在象限的符號(hào).要點(diǎn)詮釋?zhuān)赫T導(dǎo)公式其作用主要是將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為090角的三角函數(shù)值，本節(jié)公式較多，要正確理解和兀記憶，誘導(dǎo)公式可以用“奇變偶不變，符號(hào)看象限（奇、偶指的是-的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍）”這個(gè)口訣進(jìn)行記憶.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1;sec2a=1+tan2a;csc2a=1+cot2a.sinacosa2.商數(shù)關(guān)系：tana=；cota=.cosasina3倒數(shù)關(guān)系：t

6、ana-cota=1;sinacsca=1;cosa-seca=1要點(diǎn)詮釋?zhuān)和侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系主要用于：（1）已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；（2）證明三角恒等式；（3）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.三角變換中要注意“1”的妙用，解決某些問(wèn)題若用“1”代換，如1=sin2a+cos2a,1=sec2a-tan2a=tan45=，則可以事半功倍；同時(shí)三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)二、誘導(dǎo)公式sin（兀+sin（兀+a）=-sina,cos（兀+a）=一cosa,tan（兀+a）=tana.sin（-a）=-sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=-ta

7、na.sin（兀-a）=sina,cos（兀-a）=-cosa,tan（兀-a）=-tana.-a)=cosa,sin(+a)=cosa,sin(3-a)=-cosa,22、/3兀、.+a)=-sina.cos(-a)=-sma./3兀sm(-/3兀sm(-+a)=-cosa,cos(丁+a)=sina.cos(2-a)=sina.兩類(lèi)誘導(dǎo)公式的記憶，經(jīng)常使用十字口決：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。.、兀兀3?！捌孀儭笔侵杆婕暗妮S上角為一的奇數(shù)倍時(shí)(包括4組：a，a)函數(shù)名稱(chēng)變?yōu)樵瓉?lái)函數(shù)222的余函數(shù)；其主要功能在于改變函數(shù)名稱(chēng).血“偶不變”是指所涉及的軸上角為一的偶數(shù)倍時(shí)(包括5組：2k兀+

8、a,-a,兀土a,2k-a),函數(shù)名2稱(chēng)不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)及某些證明問(wèn)題.誘導(dǎo)公式的引申：sin(kk+a)=(-1)ksina,cos(kk+a)=(-1)kcosa,tan(kK+a)=tana.(keZ)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】3正弦、余弦的圖象和性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】3正弦、余弦的圖象和性質(zhì)考點(diǎn)一、“五點(diǎn)法”作圖k在確定正弦函數(shù)y=sinx在0,2k上的圖象形狀時(shí)，最其關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是(0,0),(-,1),3k(k,0)，(=,-1)，(2k,0)2考點(diǎn)二、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)名稱(chēng)y=sinxy=cosxy=tanx定義域xeRxeRkx1x豐kK+,keZ21,1(一

9、8,+s)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)域I廠.Tl71!?IysJL-1,1(一8,+s)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)域I廠.Tl71!?IysJL-0,30）的圖象的作法五點(diǎn)作圖法：兀3作y=Asingx+申）的簡(jiǎn)圖時(shí)，常常用五點(diǎn)法，五點(diǎn)的取法是設(shè)t=3x+9，由t取0、亍、71、2兀、2兀來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。2圖象變換法：（1）振幅變換:把y=sinx的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（Al）或縮短（0A1）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=Asinx的圖象；（2）相位變換：把y=Asinx的圖象上所有點(diǎn)向左（90）或向右（90）或向下（b0,30)的性質(zhì)1.2.3.定義域：xeR，值域:yW-A

10、,A.2兀周期性：T=-3,兀,奇偶性:9=k兀+-時(shí)為偶函數(shù)；9=k兀時(shí)為奇函數(shù),keZ.4.2k一92k兀+一9單調(diào)性:單調(diào)增區(qū)間訂2,2,33 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 兀3兀2k兀+一92冊(cè)+一9 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 22，33單調(diào)減區(qū)間:keZkeZk兀_95.對(duì)稱(chēng)性:對(duì)稱(chēng)中心（,0），3k兀keZ；對(duì)稱(chēng)軸x=兀+一923，keZ“兀兀6最值：當(dāng)3x+9=2k兀6最值：當(dāng)3x+9=2k兀+即x=2-時(shí)，y取最大值A(chǔ)3兀2k兀一一一9兀當(dāng)3x+9=2k兀即x=時(shí)，y取

11、最小值-A.（keZ）.23要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵笾芷?、單調(diào)區(qū)間、最值時(shí)一般先將函數(shù)式化為y=Asin（ex+申），要特別注意A、的正負(fù)，再把ex+*看作一個(gè)整體，并結(jié)合基本三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解出即可；利用單調(diào)性比較三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；整體代換和數(shù)形結(jié)合是三角函數(shù)學(xué)習(xí)中重要的思想方法，在學(xué)習(xí)中，很多三角函數(shù)的問(wèn)題都是通過(guò)整體代換并觀察基本三角函數(shù)的圖象而得到的。三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、三角函數(shù)的最值求三角函數(shù)的值域，除了判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法之外，結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn)，還有如下常用方法：b1.涉及正、余弦函數(shù)以及asin0+bcos

12、0=：a2+b2sin（0+p），其中tan申=，都可以考慮利用有界a性處理.2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x+C型，經(jīng)過(guò)降次、整理,得至ij得至ijy二Asin2x+Bcos2x+C二.A2+B2sin（2x+申）+C,B其中tan申，再利用有界性處理.3.形如y二asin2x+bsinx+c或y二acos2x+bsinx+c的函數(shù)求最值時(shí)都可以通過(guò)適當(dāng)變換，通過(guò)配方來(lái)求解.4.形如sinx土cosx，sinx-cosx在關(guān)系式中時(shí)，可考慮換元法處理，如令t二sinx+cosx,則sinx-cosx=與1，把三角問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題解決.形如y=型的函數(shù)的最值，可考慮數(shù)形結(jié)

13、合（常用到直線斜率的幾何意義）.bcosx+da形如x+型或能確定所給函數(shù)在某些區(qū)間上單調(diào)，可考慮利用單調(diào)性求解x要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝呛瘮?shù)的最值問(wèn)題，其本質(zhì)是對(duì)含有三角函數(shù)的符合函數(shù)求最值，因此求函數(shù)最值的方法都能使用當(dāng)然也要掌握上述的特殊的方法.考點(diǎn)二、y=Asin(x+申)(A0,0)的性質(zhì)1.23.定義域：xgR，值域:yW-A,A.2兀周期性：T=-,兀,奇偶性:1.23.定義域：xgR，值域:yW-A,A.2兀周期性：T=-,兀,奇偶性:申=k兀+時(shí)為偶函數(shù)；申=k兀時(shí)為奇函數(shù),42k一q2k兀+一q22單調(diào)性:單調(diào)增區(qū)間訂2一,2一,“3兀2k+一q,“兀2k兀+一q2單調(diào)減區(qū)間訂2一k

14、gZkgZk兀_甲5.對(duì)稱(chēng)性:對(duì)稱(chēng)中心（,0），k兀kgZ；對(duì)稱(chēng)軸x=，kgZ6.最值：當(dāng)x+申=2kn+即x=2“兀2k兀+一申-時(shí),“兀y取最大值A(chǔ)2k兀一一一甲兀2當(dāng)x+q=2k兀一即x=2時(shí)，y取最小值-A.(kgZ).要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂⒁饣瘹w思想的運(yùn)用，通過(guò)恒等變換轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期，及判斷函數(shù)的奇偶性為基本三角函數(shù)類(lèi)型，注意變形前后的等價(jià)性.考點(diǎn)三、用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)的知識(shí)產(chǎn)生于測(cè)量、航海和天文學(xué)，還在機(jī)械制造、電工學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用.要注意化歸思想的運(yùn)用，通過(guò)恒等變換轉(zhuǎn)化對(duì)于測(cè)量中的問(wèn)題，要理解有關(guān)仰角、俯角、方位角、方向角的概念；對(duì)幾

15、何問(wèn)題，特別是立體幾何中的問(wèn)題，要依據(jù)題意，畫(huà)出示意圖或立體直觀圖，將問(wèn)題歸結(jié)到三角形中去處理.一般情況下，只要構(gòu)成三角形就可直接應(yīng)用三角函數(shù)的概念和解三角形的知識(shí)解決問(wèn)題，對(duì)于一些較為復(fù)雜的應(yīng)用題則需綜合應(yīng)用代數(shù)、立體幾何或解析幾何知識(shí)來(lái)解.此外，有些應(yīng)用題在解答過(guò)程中使用三角代換可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使對(duì)數(shù)值的處理更為方便.三角恒等變換知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、兩角和、差的正、余弦公式TOC o 1-5 h zsin（a土卩）=sinacos卩土cosasin卩（S）（a土卩）cos（a土卩）=cosacos卩sinasin卩（C）（a土卩）tanatan卩、tan（aB）=（T

16、）1一tanatan卩（a土卩）要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗降倪m用條件（定義域）：前兩個(gè)公式S,C對(duì)任意實(shí)數(shù)a,B都成立，這表明該公式是R（a土卩）（a土卩）上的恒等式；公式T中a,卩uR，且a、隊(duì)a土卩+k兀（keZ）（a土卩）2正向用公式S,C，能把和差角（a0）的弦函數(shù)表示成單角a,B的弦函數(shù)；反向用，能把（a土卩）（a土卩）右邊結(jié)構(gòu)復(fù)雜的展開(kāi)式化簡(jiǎn)為和差角（a0）的弦函數(shù)。公式T正向用是用單角的正切值表示和差角（a土卩）（a0）的正切值化簡(jiǎn)?？键c(diǎn)二、二倍角公式1.在兩角和的三角函數(shù)公式S,C,T中，當(dāng)a=p時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式（a+卩）（a+卩）（a+卩）TOC o 1-5 h zS,C

17、,T：2a2a2asin2a=2sinacosa_(S)；2acos2a=cos2a-sin2a(C)；2atan2a=2tantan2a=2tana1一tan2a(T)。2a要點(diǎn)詮釋?zhuān)贺兀兀、“一、1.在公式S,C中，角a沒(méi)有限制，但公式T中，只有當(dāng)a-+和a-+k兀（keZ）時(shí)才成2a2a2a422立；2.余弦的二倍角公式有三種：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；解題對(duì)應(yīng)根據(jù)不同函數(shù)名的需要，函數(shù)不同的形式，公式的雙向應(yīng)用分別起縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用。aa3a二倍角公式不僅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，是的一倍，3d是可的二倍等等，要熟悉這多種形式的兩個(gè)角相對(duì)二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵?？键c(diǎn)三、二倍角公式的推論1降冪公式：sinacosa=sin2a；1一cos2asin2a=21+cos2acos2a2萬(wàn)能公式：2t