2022屆福建省永春縣一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項(xiàng)，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知隨機(jī)變量,且,則與的值分別為A16與0.8B20與0.4C12與0.6D15與0.82在中,為銳角, ,則的形狀為( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D以上都不對(duì)3從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，不放回地任意取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)都是偶

2、數(shù)的概率是（ ）ABCD4用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是（ ）A假設(shè)、都是偶數(shù)B假設(shè)、都不是偶數(shù)C假設(shè)、至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)、至多有兩個(gè)偶數(shù)5將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）A30種B90種C180種D270種6記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則（ ）A2B-4C2或-4D47甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員，在某項(xiàng)測(cè)試中的8次成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（ ）ABCD8如圖 分別是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為

3、圓心，以為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）ABCD9扇形OAB的半徑為1，圓心角為120，P是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）AB0CD10在一次調(diào)查中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的等高條形圖，則（ ）A兩個(gè)分類變量關(guān)系較強(qiáng)B兩個(gè)分類變量關(guān)系較弱C兩個(gè)分類變量無(wú)關(guān)系 D兩個(gè)分類變量關(guān)系難以判斷11若是小于的正整數(shù)，則等于（ ）ABCD12設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上位于軸的兩側(cè)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若的面積是，的面積是，則的最小值是

4、_.14觀察下列等式，從中可以歸納出一個(gè)一般性的等式是：_.15西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_16已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足,則的解集為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知，分別為三個(gè)內(nèi)角,的對(duì)邊，.()求；()若=2，的面積為，求，.18（12分）已知的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)與第二項(xiàng)的系

5、數(shù)的比是（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）求展開式中含的項(xiàng)19（12分）設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，成立，求的取值范圍.20（12分）盒子中放有大小形狀完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球.（1）某人從這盒子中有放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，求至少抽到個(gè)紅球的概率；（2）某人從這盒子中不放回地從隨機(jī)抽取個(gè)球，記每抽到個(gè)紅球得紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，每抽到個(gè)白球得到紅包獎(jiǎng)勵(lì)元，求該人所得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.21（12分）已知函數(shù)在處有極大值（1）求的值；（2）求在處的切線方程22（10分）設(shè)函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（2）在（1）的條件下求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).參考答案一

6、、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，且，解得，故選D.2、A【解析】分析：由正弦定理化簡(jiǎn)并結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.詳解：，則由正弦定理可得：，即，則當(dāng)時(shí)，符合題意，故選：A.點(diǎn)睛：(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦

7、定理和余弦定理3、A【解析】試題分析：從4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)包含的基本事件有:共6個(gè)，其中兩個(gè)都是偶數(shù)的基本事件有共1個(gè)，所以所求概率為故A正確考點(diǎn)：古典概型概率4、B【解析】分析：本題考查反證法的概念，邏輯用語(yǔ)，否命題與命題的否定的概念，邏輯詞語(yǔ)的否定根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，故只須對(duì)“b、c中至少有一個(gè)偶數(shù)”寫出否定即可解答：解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定“至少有一個(gè)”的否定“都不是”即假設(shè)正確的是：假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)故選B點(diǎn)評(píng)：一些正面詞語(yǔ)的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個(gè)”的否定：“至少

8、有兩個(gè)”；“至少有一個(gè)”的否定：“一個(gè)也沒(méi)有”；“是至多有n個(gè)”的否定：“至少有n+1個(gè)”；“任意的”的否定：“某個(gè)”；“任意兩個(gè)”的否定：“某兩個(gè)”；“所有的”的否定：“某些”5、B【解析】對(duì)三個(gè)盒子進(jìn)行編號(hào)1，2，3，則每個(gè)盒子裝球的情況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數(shù)相同.【詳解】先考慮第一類，即3個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)為：1，2，2，則第1個(gè)盒子有：，第2個(gè)盒子有：，第3個(gè)盒子有：，第一類放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.【點(diǎn)睛】考查分類與分步計(jì)算原理，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)是解決問(wèn)題的突破口.6、B【解析】利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出公比，由此能求出結(jié)果【詳解】為等比

9、數(shù)列的前項(xiàng)和，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及其的前項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7、B【解析】根據(jù)莖葉圖看出兩組數(shù)據(jù)，先求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，比較兩組數(shù)據(jù)的方差的大小就可以得到兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的大小【詳解】由莖葉圖可看出甲的平均數(shù)是，乙的平均數(shù)是，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等甲的方差是乙的方差是甲的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差，故選B【點(diǎn)睛】本題考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)的平均水平，而標(biāo)準(zhǔn)差反映波動(dòng)的大小，波動(dòng)越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定8、D【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率的取值范

10、圍，即可求得橢圓的離心率【詳解】由題意知A，把A代入橢圓(ab0)，得，整理，得，0e1，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題9、C【解析】首先以與作為一組向量基底來(lái)表示和，然后可得，討論與共線同向時(shí)，有最大值為1，進(jìn)一步可得有最小值.【詳解】由題意得, ，所以因?yàn)閳A心角為120，所以由平行四邊形法則易得，所以當(dāng)與共線同向時(shí)，有最大值為1，此時(shí)有最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，選擇合適的基底表示相關(guān)的向量是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10、A【解析】分析：利用等高條形圖中兩個(gè)分類變量所占

11、比重進(jìn)行推理即可.詳解：從等高條形圖中可以看出2，在中的比重明顯大于中的比重，所以兩個(gè)分類變量的關(guān)系較強(qiáng).故選A點(diǎn)睛：等高條形圖，可以粗略的判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無(wú)法精確的給出所得結(jié)論的可靠程度，考查識(shí)圖用圖的能力.11、D【解析】利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12、D【解析】將作為基向量，其他向量用其表示，再計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的乘

12、法，將作為基向量是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)，則，利用，可得出，并設(shè)直線的方程為，將此直線與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求出的值，可得出直線過(guò)定點(diǎn)，再利用三角形的面積公式以及基本不等式可求出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)，則，則，易知，得，.設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程得，則，得，所以直線的方程為，直線過(guò)軸上的定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立，因此，的最小值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題，常規(guī)思路就是設(shè)出直線方程，將其與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，另外在求最值時(shí)，充分利用基本不等式進(jìn)行求解，難點(diǎn)在于計(jì)算

13、量較大，屬于難題.14、【解析】通過(guò)觀察前幾個(gè)式子的變化規(guī)律，總結(jié)規(guī)律即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，第一個(gè)式子從1開始，左邊按順序加有1項(xiàng)；第二個(gè)式子從2開始，有3項(xiàng)；第三個(gè)式子從3開始，有5項(xiàng)，于是可歸納出，第n個(gè)式子從n開始，有項(xiàng)，于是答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納法，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)感，難度不大.15、【解析】由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).16、【解析】令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)條件可得單調(diào)遞增，且單

14、調(diào)遞增，進(jìn)而利用單調(diào)性和奇偶性求解【詳解】的解集為的解集，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有，所以，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以的解集為的解集，由單調(diào)性可知， 又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以解集為【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、 (1)(2)=2【解析】()由及正弦定理得由于，所以，又，故.()的面積=,故=4，而故=8，解得=218、（1）1；（2）【解析】（1）由條件求出，然后令即得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和（2）寫出通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為-1，即可得出答案【詳解】解：第四項(xiàng)系數(shù)為，

15、第二項(xiàng)的系數(shù)為，則，化簡(jiǎn)得，即解得，或（舍去）（1）在二項(xiàng)式中令，即得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為（2）由通式公式得，令，得故展開式中含的項(xiàng)為【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識(shí)，屬于基本題型.19、（1），（2）【解析】（1）求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)和正負(fù)，即得解.（2）由于，轉(zhuǎn)化為：，成立，參變分離，分，三種情況討論，即得解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)， 或 在和上單調(diào)增，在上單調(diào)減 （2）設(shè)函數(shù)，要使，都有成立，只需函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，于是只需，成立， 當(dāng)時(shí)，令，則；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，令，關(guān)于單調(diào)遞增，則，則，于是. 又當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，而，則當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因此

16、當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意. 綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.20、（1）；（2）42元.【解析】（1）分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，概率相加得到答案.（2）隨機(jī)變量可能的取值為，計(jì)算每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)概率，得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)記至少抽到個(gè)紅球的事件為, 法1：至少抽到個(gè)紅球的事件，分為三種情況，即抽到個(gè)紅球，抽到個(gè)紅球和抽到個(gè)紅球，每次是否取得紅球是相互獨(dú)立的，且每次取到紅球的概率均為， 所以， 答：至少抽到個(gè)紅球的概率為. 法2：至少抽到個(gè)紅球的事

17、件的對(duì)立事件為次均沒(méi)有取到紅球（或次均取到白球），每次取到紅球的概率均為（每次取到白球的概率均為），所以 答：至少抽到個(gè)紅球的概率為. (2) 由題意,隨機(jī)變量可能的取值為，所以隨機(jī)變量的分布表為：所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（元）.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、（1）；（2）.【解析】（1）先由得出或，然后就和時(shí)，函數(shù)在處取得極大值進(jìn)行檢驗(yàn)，從而可得出實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）得出函數(shù)的解析式，計(jì)算出和的值，然后利用點(diǎn)斜式可寫出所求切線的方程.【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，由或，函數(shù)單調(diào)遞增；由，函數(shù)單調(diào)遞減，可得為極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由或，函數(shù)單調(diào)遞增；由，函數(shù)單調(diào)遞減，可得為極大值點(diǎn).綜上可得；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，可