第八章多元函數(shù)(第8節(jié)極值)-課件

1、第八節(jié)： 多元函數(shù)的極值一元函數(shù) y = f (x) 的極值概念：總有第八節(jié)： 多元函數(shù)的極值一元函數(shù) y = f (x) 的極值（1）極值是一個(gè)局部概念，它只是對(duì)極值點(diǎn)鄰近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較。（2）（極值存在的必要條件）若 f (x) 在極值點(diǎn)處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定為 0 ，反之不成立。（3）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)存在，則有（1）如果（3）如果，則為 f ( x ) 的極小值；（2）如果，則為 f ( x ) 的極大值；，定理失效。（1）極值是一個(gè)局部概念，它只是對(duì)極值點(diǎn)鄰（2）（極值存在的（一）二元函數(shù)的極值定義 ：設(shè) z = f ( x , y ) 的定義域?yàn)?D，總有總有是

2、 D 的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)是 f ( x , y ) 的極大值；則稱(chēng)是 f ( x , y ) 的極小值。若存在點(diǎn) 的一個(gè)去心鄰域 極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值 ；（一）二元函數(shù)的極值定義 ：設(shè) z = f ( x , y 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn) ； 同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個(gè)局部概念(1)例1 極值點(diǎn)必是 D 的內(nèi)點(diǎn) ； 利用點(diǎn)函數(shù)的概念，上述二元函數(shù)極值的概念可以 推廣到 n 元函數(shù)的情形 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn) ； 同一元函數(shù)一樣，二元(2)例例因?yàn)樵邳c(diǎn) ( 0, 0 ) 處，函數(shù)值為 0，而在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 的任何鄰域內(nèi)，即有使函數(shù)值大于0 的點(diǎn)，也有使函數(shù)值小于

3、 0 的點(diǎn)。(2)例例因?yàn)樵邳c(diǎn) ( 0, 0 ) 處，函數(shù)值為 0，定理 1 : （極值存在的必要條件）如果 在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有問(wèn)題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類(lèi)似因?yàn)?f ( x , y ) 在點(diǎn)有極大值定理 1 : （極值存在的必要條件）如果 定理 1 : （極值存在的必要條件）如果 在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有問(wèn)題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？證明：就極大值的情形給予證明，極小值情形類(lèi)似這表明一元函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，因此同理可證定理 1 : （極值存在的必要條件）如果 凡是能使 具有

4、偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)， 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。同時(shí)成立的點(diǎn) 稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn) 。 極值點(diǎn)也可能是使偏導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)。 極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生。 凡是能使 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，同時(shí)成立例1：解：得駐點(diǎn)該函數(shù)無(wú)極值。例1：解：得駐點(diǎn)該函數(shù)無(wú)極值。定理 2 : （極值存在的充分條件）如果 （1）（2）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且時(shí)具有極值，且當(dāng) A 0 時(shí)，有極小值；時(shí)沒(méi)有是極值；（3）時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。定理 2 : （極值存在的充分條件）如果 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) f ( x , y ) 的極值的求法：第一步

5、：解方程組求出所有實(shí)數(shù)解，即求得函數(shù)的所有駐點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第三步：定出計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)值 A 、B 、 C。的符號(hào)，按定理 2 判定是否是極值，是極大值還是極小值具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) f ( x , y ) 的極值的例2：求 的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C 。（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)所以 ( 1 , 0 ) 為極小值點(diǎn)，為極小值。例2：求 所以點(diǎn) ( 1 , 2 ) 和 ( 3 , 0 ) 不是函數(shù)的極值點(diǎn)。例2：求 的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C 。所以點(diǎn) ( 1 , 2 ) 和

6、 ( 3 , 0 ) 不是函所以 ( 3 , 2 ) 是極大值點(diǎn)。為極大值。例2：求 的極值解：（1）得到四個(gè)駐點(diǎn)：（3）對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，判斷的符號(hào)（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C 。所以 ( 3 , 2 ) 是極大值點(diǎn)。為極大值。例2：求 又在駐點(diǎn)處必有所以將上述方程組兩邊分別再對(duì) x , y 求偏導(dǎo)數(shù)，得解又在駐點(diǎn)處必有所以將上述方程組兩邊解解在駐點(diǎn)處必有所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) 為極值點(diǎn)解在駐點(diǎn)處必有所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) 為極值點(diǎn)解在駐點(diǎn)處必有所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) 為極值點(diǎn)解在駐點(diǎn)處必有所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) （二）最大值和最小值 如果 f ( x , y ) 在

7、有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則它在 D 上 必定取得最大值和最小值。 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)即可能在 D 的 內(nèi)部，也可能在 D 的邊界上。 假定函數(shù)在 D 上連續(xù)、在 D 的內(nèi)部可微且僅有有限 個(gè)駐點(diǎn)，這時(shí)如果函數(shù)在 D 的內(nèi)部取最大或最小值， 則它也是函數(shù)的極大或極小值，并且一定在某個(gè)駐點(diǎn) 上取得。（二）最大值和最小值 如果 f ( x , y ) 在有界 求函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（2）求函數(shù)在 D 的邊界上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的 最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在 D 上 的最大值，最小者

8、就是最小值。 在實(shí)際問(wèn)題中，如果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最 大或最小值存在且一定在 D 的內(nèi)部取得，而函數(shù)在 D 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在 D 上的最大或 最小值點(diǎn)。 求函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在 D 內(nèi)的例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解：24cm梯形的上底長(zhǎng)為高為其中例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，解：例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為求面積函數(shù) A =

9、A ( x , ) 在區(qū)域 D上的最大值（1）求 A = A ( x , ) 在 D 內(nèi)的駐點(diǎn)例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，解：例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解：D注意到得唯一駐點(diǎn)例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，解：例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解：得唯一駐點(diǎn)（2）在 D 的邊界上D例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，解：例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)

10、方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問(wèn)怎樣折法才能使斷面的面積最大？ 解：得唯一駐點(diǎn)（2）在 D 的邊界上D所以當(dāng)斷面的面積最大。例1：有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來(lái)，解：例1：要造一個(gè)容量一定的長(zhǎng)方體箱子，問(wèn)選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最?。拷猓?設(shè)箱子的長(zhǎng)、寬、高分別為 x , y , z , 容積為 V , 表面積為 S ，則例1：要造一個(gè)容量一定的長(zhǎng)方體箱子，問(wèn)選擇解： 設(shè)箱子的長(zhǎng)、解上述方程組得唯一駐點(diǎn) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知 S 一定存在最小值 ，并且一定在 D 的內(nèi)部取得，所以駐點(diǎn)即當(dāng)表面積 S 取得最小值 ，此時(shí)用料最省。是使 S 取得最小值的

11、點(diǎn)解上述方程組得唯一駐點(diǎn) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知 S 一（三）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法例：求表面積為解： 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 x , y , z , 體積為 V , 則問(wèn)題可描述為：求體積 在約束條件下的最大值轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。而體積為最大的長(zhǎng)方體體積（三）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法例：求表面積為解： 設(shè)長(zhǎng)方體的問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱(chēng)為條件極值問(wèn)題）。假設(shè)為一極值點(diǎn)，則又進(jìn)一步假設(shè) ( x , y )在 的某一鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則 ( x , y ) = 0 確定了一個(gè)隱函數(shù) 代入目標(biāo)函數(shù) z = f

12、 ( x , y ) 中得它在處取得極值，故必有問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件假設(shè)為一極值點(diǎn)，則則 ( x , y ) = 0 確定了一個(gè)隱函數(shù) 又由隱函數(shù)求導(dǎo)公式有所以問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱(chēng)為條件極值問(wèn)題）。假設(shè)為一極值點(diǎn)，則則 ( x , y ) = 0 確定假設(shè)為一極值點(diǎn)，則所以則有此即為問(wèn)題1 在取極值的必要條件問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱(chēng)為條件極值問(wèn)題）。假設(shè)為一極值點(diǎn)，則所以則有此即為問(wèn)題1 取極值的

13、必要問(wèn)題 1引入輔助函數(shù)則問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱(chēng)為條件極值問(wèn)題）。拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子引入輔助函數(shù)則問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y 拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：其中， 為參數(shù)，稱(chēng)之為拉格朗日乘子。（2）聯(lián)解方程組，求出問(wèn)題 1 的所有可能的極值點(diǎn)。問(wèn)題 1：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱(chēng)為條件極值問(wèn)題）。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判斷。拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：其

14、中， 為參數(shù)，稱(chēng) 問(wèn)題 2：求函數(shù) u = f ( x , y , z ) 在約束條件 ( x , y , z ) = 0 , ( x , y , z ) = 0 下的條件極值。（1）作拉格朗日函數(shù)其中 ， 稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)。 （2）聯(lián)解方程組，求出問(wèn)題 2 的所有可能的極值點(diǎn)。（3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判斷。 問(wèn)題 2：求函數(shù) u = f ( x , y ,例1：求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體體積解： 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 x , y , z , 體積為 V , 則問(wèn)題可描述為在約束條件下，求體積函數(shù)的最大值。（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（2

15、）聯(lián)解方程組例1：求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體體積解： 例1：求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體體積（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組解：由對(duì)稱(chēng)性知，x = y = z ，代入最后一個(gè)方程解得這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)唯一可能的極值點(diǎn)處取得。例1：求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體體積（1）例1：求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體體積解：這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)唯一可能的極值點(diǎn)處取得。結(jié)論：表面積為的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為的正方體的體積最大，且最大體積為例1：求表面積為 而體積為

16、最大的長(zhǎng)方體體積解：這例2：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為問(wèn)題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。 由于 d 中含有絕對(duì)值，為便于計(jì)算，考慮將問(wèn)題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問(wèn)題例2：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè) ( x問(wèn)題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問(wèn)題1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組問(wèn)題2：在條件下，求函數(shù)的最大最小值。問(wèn)題1：在約束條件下，（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方

17、程組求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離例2：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：?jiǎn)栴}1：在約束條件下，求距離 d 的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的距離為（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最遠(yuǎn)距離為例2：在橢球面上，求距離平面的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：?jiǎn)栴}1：在例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。（1）作拉格朗日函數(shù)（2）聯(lián)解方程組由對(duì)稱(chēng)性知，x = y = z ，代入最后一個(gè)方程解得這是唯一可能的極值點(diǎn)例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 0 , z

18、 0 , a 0。這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：設(shè)條件所確定的隱函數(shù)為代入目標(biāo)函數(shù)中得它有唯一駐點(diǎn) ( 3 a , 3 a ),經(jīng)計(jì)算可得例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：它有唯一駐點(diǎn) ( 3 a , 3 a ),所以， ( 3a , 3a ) 是函數(shù) u = x y ( x , y ) 的極小值點(diǎn)從而原條件極值問(wèn)題有極小值點(diǎn) ( 3a , 3a , 3a)對(duì)應(yīng)的極小值為例3：求在條件解：下的極值，其中，x 0 , y 多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件

19、、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結(jié)多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）第八章多元函數(shù)(第8節(jié)極值)-課件平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極 限 運(yùn) 算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容平面點(diǎn)集多元函數(shù)多元函數(shù)極 限 運(yùn) 算多元連續(xù)函數(shù)多元函數(shù)概全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念全微分高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)復(fù)合函數(shù)全微分形式微分法在方向?qū)?shù)多元（四）最小二乘法問(wèn)題描述： 通過(guò)實(shí)驗(yàn)、測(cè)量或調(diào)查，得到自變量 x 和因變量 y 之間的 n 對(duì)數(shù)據(jù)從而可用 y = f

20、 ( x ) 作為 x 和 y 之間函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式，稱(chēng)之為經(jīng)驗(yàn)公式。 要求尋找一個(gè)適當(dāng)類(lèi)型的函數(shù) y = f ( x )，使與實(shí)際觀測(cè)值在某種尺度意義下 “最接近 ”它在觀測(cè)點(diǎn)的函數(shù)值（四）最小二乘法問(wèn)題描述： 建立經(jīng)驗(yàn)公式常用的方法就是最小二乘法。首先將 n 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)看作直角坐標(biāo)系中的 n 個(gè)點(diǎn)，并將其描出如果這些點(diǎn)幾乎分布在一條直線附近，就認(rèn)為 x 和 y 之間存在線性關(guān)系，如圖所示直線 L 的方程即為所求經(jīng)驗(yàn)公式。其中 a , b 為待定參數(shù)。設(shè) L 的方程為：建立經(jīng)驗(yàn)公式常用的方法就是最小二乘法。首先將 n 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)直線 L 的方程為：其中 a , b 為待定參數(shù)。直線上與

21、點(diǎn)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)設(shè)為設(shè)直線 L 的方程為：其中 a , b 為待定參數(shù)。叫作實(shí)測(cè)值與理論值的誤差，問(wèn)題：確定一組參數(shù) a , b ，使誤差的平方和最小。這種方法叫作最小二乘法。注意：在上式中， 故上述問(wèn)題即為求一個(gè)二元函數(shù)的最小值問(wèn)題和是已知的，所以 S是參數(shù) a 和 b 的二元函數(shù)。叫作實(shí)測(cè)值與理論值的誤差，問(wèn)題：確定一組參數(shù) a , b ，從標(biāo)準(zhǔn)方程中解出a 和 b代如直線方程即得經(jīng)驗(yàn)公式從標(biāo)準(zhǔn)方程中代如直線方程即得經(jīng)驗(yàn)公式例1：兩個(gè)相依的量 與 ， 由 確定，經(jīng) 6 次測(cè)試，得數(shù)據(jù)如下表8101214161881010.4312.7814.416試建立 依賴(lài) 的線性關(guān)系: 解：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程例1：兩個(gè)相依的量 與 ， 由 確定，經(jīng) 6986.48108471.6178288230.4178.92125.161006432425619614410064654321i1614.412.7810.43108181614121089