指數(shù)函數(shù)的概念-高一數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念學習目標1.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.在解決實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象1.根式定義：如果xn=a（n>1,且n∈N*

），那么x

叫做a

的n

次方根.復習：

n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù).叫根式，式子2.根式的性質：3.有理數(shù)指數(shù)冪

問題1：

某種細胞分裂時,由1個分裂為2個,2個分為4個,……,

一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關系式是什么？

新知導入：細胞分裂過程第1次第2次第3次第x次問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了x次后繩子剩余的長度為y米,試寫出y與x之間的函數(shù)關系.以上兩個實例得到的函數(shù)：定義域：定義域：兩個的共同形式：思考：對于怎樣的是一個函數(shù),且定義域R.探究：指數(shù)函數(shù)是如何定義的？定義:

函數(shù)

叫指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.說明：(2)想一想：為什么要規(guī)定底數(shù)a>0且a≠1呢？如果a=0，當x>0時，

當x≤0時，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比式子名稱

a

x

y指數(shù)函數(shù):y=a

x

冪函數(shù):y=x

a

底數(shù)指數(shù)指數(shù)底數(shù)冪值冪值判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)注意（3）答:(1)，(5)，(9)是指數(shù)函數(shù)；

問下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)嗎？

解：∵

y=(a2－3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，∴

例1.函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，求a的值，并寫出這個指數(shù)函數(shù)．即故所求指數(shù)函數(shù)為：例2.截止到1999年底，我國人口約13億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經過20年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？（參考數(shù)據(jù)：）解：設今后人口年平均增長率為1%，經過年x后，我國人口數(shù)為y億.1999年底我國人口約為13億；經過1年人口約為13(1+1%)億；經過2年人口約為13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2億；經過3年人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億;……經過x年人口約為13(1+1%)x

億.當x=20時，答：經過20年后，我國人口數(shù)最多為16億.例3（P3問題2+P114例2（2）當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．（1）按照上述變化規(guī)律，生物體內碳14含量y與死亡年數(shù)x的有怎樣的關系式?（2）某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？解：設死亡生物體內碳14含量的年衰率為p,把則死亡的生物體內碳14含量看成一個單位，則死亡5730年后，生物體內碳14含量為由己知條件，設生物體死亡年數(shù)為x,

死亡的生物體內碳14含量為y，則（2）設生物死亡x年后，它體內碳14含量為.當利用計算工具求得所以，生物死亡10000年后，它體內碳14含量衰減為原來的約30%.

例3.（教材P114例1）已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象，過點(3,π)，求f(0)、f(1)、f(－3)的值.解：∵

f(x)=ax的圖象過點(3，π)，例4：求下列函數(shù)的定義域

【解】(1)

(2)

素養(yǎng)提升（備選）

2.光線通過1塊玻璃,強度要損失10%,設光線原來的強度為k,通過x塊這樣的玻璃以后強度變?yōu)閥.(1)寫出y關于x的函數(shù)解析式;(2)通過20塊這樣的玻璃后,光線強度約為多少?(參考數(shù)據(jù):0.919≈0.14,0.920≈0.12)解析

(1)光線通過1塊玻璃后強度變?yōu)?1-10%)·k=0.9k;光線通過2塊玻璃后強度變?yōu)?1-10%)·0.9k=0.92k;光線通過3塊玻璃后強度變?yōu)?1-10%)·0.92k=0.93k;……光線通過x塊玻璃后強度變?yōu)?.9xk,∴y=0.9xk(x∈N*).(2)將x=20代入函數(shù)解析式,得y=0.920k≈0.12k