直線與平面垂直的判定【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練Word含答案

直線與平面垂直的判定一、知識(shí)梳理1.直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的________直線都垂直，就說(shuō)直線與平面互相垂直。2.點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線____________.過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的_____叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離。3.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的________直線垂直，那么該直線與此平面垂直。4.直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的______所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。直線和平面所成角的范圍為___________.二、重要題型知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面垂直的判定1.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()①點(diǎn)到平面的距離是指這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段；②過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線不一定只有一條；③若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面；④若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面；⑤若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面．A．1B．2C．3D．42.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩條對(duì)角線AC,BD的關(guān)系是 ()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交知識(shí)點(diǎn)二：直線與平面所成的角3.線段AB的長(zhǎng)等于它在平面α內(nèi)的射影長(zhǎng)的2倍，則AB所在直線與平面α所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．120°4.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA的長(zhǎng)和兩條對(duì)角線AC,BD都相等,且E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為________.

知識(shí)點(diǎn)三：直線與平面垂直的證明5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA＝PC，PB＝PD，AC∩BD＝O.求證：(1)PO⊥平面ABCD；(2)AC⊥平面PBD.6.如圖,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上任意一點(diǎn),求證:BC⊥PC.三、鞏固練習(xí)1．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?βD．m⊥n，且n∥β2．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()\f(\r(2),3)\f(\r(3),3)\f(2,3)\f(\r(6),3)3.(多選題)設(shè)l,m,n為三條不同的直線,α為一個(gè)平面,下列命題正確的有()A.若l⊥α,則l與α相交B.若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥αC.若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥αD.若α∥β,l⊥α則l⊥β4．在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心(如圖)，則EF與平面BB1O的關(guān)系是________．5.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1B與直線AC所成角的大小為;直線A1B和平面A1B1CD所成角的大小為.

6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等．若點(diǎn)A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成的角的正弦值等于________．7.如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過(guò)點(diǎn)A且垂直于SC的平面分別交SB,SC,SD于點(diǎn)E,F,G.求證:AE⊥SB,AG⊥SD.8.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D,E分別是BC,AB1的中點(diǎn).(1)求證:DE∥平面ACC1A1;(2)若BB1=1,求證:C1D⊥平面ADE.9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD,PO=2,M為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB∥平面ACM;(2)證明:AD⊥平面PAC;(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.（1）直線與平面垂直的判定答案一、知識(shí)梳理1.任意一條.2.有且只有一條，長(zhǎng)度.3.兩條相交4.射影，。二、重要題型由點(diǎn)到平面的距離的概念及直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是③④。.取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC異面,所以選C.如圖所示，AC⊥α，AB∩α＝B，則BC是AB在平面α內(nèi)的射影，則BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，它是AB與平面α所成的角．4.連接EF,根據(jù)題意,BC⊥AF,BC⊥DF.因?yàn)锳F∩DF=F,所以BC⊥平面ADF.所以∠BEF是直線BE和平面ADF所成的角,設(shè)則,,.5.證明：(1)∵四邊形ABCD為菱形，AC∩BD＝O，∴O為AC的中點(diǎn)，又PA＝PC，∴PO⊥AC.同理可證PO⊥BD.又AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.(2)由(1)知AC⊥PO，又四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又BD?平面PBD，PO?平面PBD，PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD.6.證明:因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因?yàn)锳B是☉O的直徑,所以BC⊥AC.而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因?yàn)镻C?平面PAC,所以BC⊥PC.三、鞏固練習(xí)A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，B符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B.畫出圖形，如圖所示，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐D－ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的垂心即中心H，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3)..A顯然正確;對(duì)B,只有當(dāng)m,n相交時(shí),才有l(wèi)⊥α,故B錯(cuò)誤;對(duì)C,由l∥m,m∥n?l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故C正確;對(duì)D,α∥β,l⊥α則l⊥β正確.4.垂直由正方體性質(zhì)知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.5.連接A1C1,BC1,△BA1C1為等邊三角形,所以直線A1B與直線AC所成角的大小為,因?yàn)樗倪呅蜝CC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C,又DC⊥平面BCC1B1,所以BC1⊥CD,又因?yàn)?所以BC1⊥平面A1B1CD.設(shè)BC1交B1C于O,則∠OA1B為直線A1B和平面A1B1CD所成的角,在Rt△OA1B中,,所以直線A1B和平面A1B1CD所成角的大小為QUOTE.\f(\r(2),3)如圖，設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，O為△ABC的中心，OA＝OB＝OC，則AA1＝A1B＝A1C.連接AB1，A1B，設(shè)AB1∩A1B＝E，則E為A1B的中點(diǎn)．取OB的中點(diǎn)D，連接ED，AD，則ED∥A1O.由題意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC.則∠EAD即為AB1與底面ABC所成的角．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1的棱長(zhǎng)為a，則OA＝OB＝eq\f(\r(3),3)a.在Rt△AA1O中，A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝eq\f(\r(6),3)a，ED＝eq\f(1,2)A1O＝eq\f(\r(6),6)a.在正三角形AA1B中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，在Rt△ADE中，sin∠EAD＝eq\f(ED,AE)＝eq\f(\f(\r(6),6)a,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(\r(2),3)，即AB1與底面ABC所成的角的正弦值為eq\f(\r(2),3).7.證明:因?yàn)镾A⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.又AE?平面SAB,所以BC⊥AE.因?yàn)镾C⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SB.同理可證AG⊥SD.8.證明:(1)連接A1B,A1C,因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是矩形,點(diǎn)E是AB1的中點(diǎn),所以點(diǎn)E是A1B的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以DE∥A1C,因?yàn)镈E?平面ACC1A1,A1C?平面ACC1A1,所以DE∥平面ACC1A1.(2)連接B1D,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)锽B1⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以BB1⊥AD,又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形,D為BC的中點(diǎn),所以BC⊥AD,又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面B1BCC1,又C1D?平面B1BCC1,所以AD⊥C1D,由BC=2,得BD=1,又BB1=CC1=1,所以DB1=C1D=QUOTE,所以,所以C1D⊥DB1,DB1∩AD=D,所以C1D⊥平面ADB1,即C1D⊥平面ADE.9.解:(1)如圖,連接BD,MO.在平行四邊形ABCD中,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn),又M為PD的中點(diǎn),所以PB∥MO.因?yàn)镻B?平面ACM,MO?平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因?yàn)椤螦DC=45°,且AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC∩PO=O,所以AD⊥平面PAC.(3)取DO的中點(diǎn)N,連接