離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（六大題型）

7．3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征【題型歸納目錄】題型一：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值題型二：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)題型三：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用題型四：求離散型隨機(jī)變量的方差題型五：方差的性質(zhì)的應(yīng)用題型六：均值與方差的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望正確地求出離散型隨機(jī)變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為…………則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱為期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．2、兩點(diǎn)分布的期望一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么；3、離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)設(shè)X的分布列為．一般地，下面的結(jié)論成立：．4、離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………考慮所有可能取值與的偏差的平方，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機(jī)變量X取值與其均值的偏離程度，我們稱為隨機(jī)變量的方差，有時(shí)也記為，并稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記為．5、幾個(gè)常見的結(jié)論（1）．（2）若服從兩點(diǎn)分布，則．【典型例題】題型一：利用定義求離散型隨機(jī)變量的均值【方法技巧與總結(jié)】求隨機(jī)變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：（1）確定X的可能取值；（2）計(jì)算出P（X＝k）；（3）寫出分布列；（4）利用E（X）的計(jì)算公式計(jì)算E（X）．例1．（2023春·河南洛陽·高三欒川縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某市有四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量表示該游客游覽的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，錯(cuò)誤的是（

）A．該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為 B．C． D．【答案】C【解析】的所有可能取值為0，1，2，3，4．則，，所以該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為，故A正確．，故B正確．，故C錯(cuò)誤．又，所以，故D正確．故選：C．例2．（2023秋·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┰O(shè)，隨機(jī)變量的分布是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知：，結(jié)合題干條件可解得：，而，于是.故選：B例3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個(gè)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，小明從中無放回地取出3個(gè)小球，摸到一個(gè)白球記1分，摸到一個(gè)紅球記2分，則小明總得分的數(shù)學(xué)期望等于（

）A．分 B．4分 C．分 D．分【答案】C【解析】由題意的取值是3，4，5，，，，，故選：C．A． B． C． D．【答案】B【解析】記李明這3道題得分為隨機(jī)變量，則的取值為0，5，10，15，，，，，所以．故選：B例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某實(shí)驗(yàn)測試的規(guī)則如下：每位學(xué)生最多可做3次實(shí)驗(yàn)，一旦實(shí)驗(yàn)成功，則停止實(shí)驗(yàn)，否則做完3次為止.設(shè)某學(xué)生每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，的所有可能取值為1,2,3，，所以，令，解得或，又因?yàn)?，所以，即的取值范圍?故選：B題型二：離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【方法技巧與總結(jié)】離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機(jī)變量與的關(guān)系為為常數(shù)，一般思路是先求出，再利用公式求．也可以利用的分布列得到的分布列，關(guān)鍵是由的取值計(jì)算的取值，對(duì)應(yīng)的概率相等，再由定義法求得．例5．（2023·廣東廣州·高二期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P（X=0）=0．2，P（X=1）=0．6，P（X=2）=0．2，則=（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【解析】因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的分布列為P（X=0）=0．2，P（X=1）=0．6，P（X=2）=0．2，所以，所以．故選：C例6．（2023·北京·人大附中高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列是，則（

）123A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，解得，所以，所以；故選：C例7．（2023·河北保定·高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，則（

）A．或4 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得或（舍去），故選：D例8．（2023·山西·晉中新大陸雙語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：X01Pab則a，b的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，則有，解得．故選：C．例9．（2023春·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列如下所示，則（

）．X012PaA． B． C． D．【答案】D【解析】由分布列的性質(zhì)得，∴，故選：D題型三：離散型隨機(jī)變量均值的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】解答實(shí)際問題時(shí)，（1）把實(shí)際問題概率模型化；（2）利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相應(yīng)均值．例10．（2023春·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.(1)求樣本容量是多少？第六小組的頻數(shù)是多少？(2)求a，b，c，d的值；(3)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，（i）求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；（ii）在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為，又因?yàn)榈谖逍〗M的頻數(shù)為2400，所以樣本容量.因?yàn)榈诹〗M的頻率為，所以第六小組的頻數(shù)是.（2）由頻率之和為1，得，所以.因?yàn)轭l率分布直方圖中的滿足，所以.所以代入中，得，得，解得.所以.（3）（i）因?yàn)榍?組的頻率之比為，且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，所以在應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是.（ii）由題意，隨機(jī)變量的所有可能取值是.則故隨機(jī)變量的分布列為0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.例11．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考期末）在2022年9月貴陽市疫情防控期間，某學(xué)校高一學(xué)生居家學(xué)習(xí)，為了解學(xué)生的自主學(xué)習(xí)狀況，隨機(jī)抽取了該年級(jí)40名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上問卷調(diào)查，獲得了他們一周（五天）平均每天自主學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并分組整理得到如下頻率分布表：組別分組頻數(shù)頻率4108(1)學(xué)校要進(jìn)一步研究學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性，在這5組內(nèi)的40名學(xué)生中，用分層抽樣的方法再選取20人進(jìn)行對(duì)照研究，求從組中抽取的人數(shù)；(2)若組中男生有3人，現(xiàn)從該組中隨機(jī)抽取3人，以表示其中抽取男生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【解析】（1）因?yàn)椋裕虼?，設(shè)從組的學(xué)生中選取的人數(shù)為，則有，所以從組的學(xué)生中選取的人數(shù)為3（2）由題意可知：，，，，．所以的分布列如下：0123．例12．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行、第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進(jìn)過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽.小胡、小陳兩位同學(xué)參加學(xué)校組織的世界杯知識(shí)答題拿積分比賽游戲，規(guī)則如下：小胡同學(xué)先答2道題，至少答對(duì)一道題后，小陳同學(xué)才存機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次答題機(jī)會(huì)，每答對(duì)一道題獲得5積分，答錯(cuò)不得分.小胡同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為，小陳同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為，每道題是否答對(duì)互不影響.(1)求小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題的概率；(2)記為小胡和小陳同學(xué)一共拿到的積分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記“小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題”為事件，所以，所以小陳同學(xué)有機(jī)會(huì)答題的概率是.（2）的所有可能取值為0，5，10，15，20，所以，，，，，所以的分布列為：X05101520P所以.例13．（2023春·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）2021年國慶期間，某縣書畫協(xié)會(huì)在縣宣傳部門的領(lǐng)導(dǎo)下組織了慶國慶書畫展，參展的200幅書畫作品反映了該縣人民在黨的領(lǐng)導(dǎo)下進(jìn)行國家建設(shè)中的艱苦卓絕，這些書畫作品的作者的年齡都在之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，作出如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這200位作者年齡的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)縣委宣傳部從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出6人參加縣委組織的表彰大會(huì)，現(xiàn)要從6人中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是X，求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）這200位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，.（2）根據(jù)分層抽樣的原理，可知這6人中年齡在內(nèi)有2人，在內(nèi)有4人，故X可能的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學(xué)期望為.例14．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知一個(gè)盒子里裝有兩種顏色的小球，其中有紅球6個(gè)，黃球3個(gè)．(1)現(xiàn)從中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，且每次取球后都放回盒中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取到黃球”發(fā)生的概率；(2)若從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)小球，記取到黃球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題可知，從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到黃球的概率為．設(shè)連續(xù)從盒中取球三次，取到黃球的次數(shù)為，則，∴．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，∴X的分布列為：X0123P∴．例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：(1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望【解析】（1）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式種，從而恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為（2）ξ的所有可能值為1，2，3.(或)（或）.綜上知，ξ有分布列為：ξ123P.題型四：求離散型隨機(jī)變量的方差【方法技巧與總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法（1）已知分布列型（非兩點(diǎn)分布）：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．（2）已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式求解．（3）未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成（1）中的情況．例16．（2023·上海市奉賢中學(xué)高二期末）已知一個(gè)隨機(jī)變量的分布為，且，則______．【答案】0．4【解析】由題意得，解得，故答案為：0．4例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布如下表：02Pab若隨機(jī)變量的期望值，則______．【答案】11【解析】由表中數(shù)據(jù)得：，解得，又，，所以，所以．故答案為：11．例18．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，記為遇到紅燈的次數(shù)，若，則Y的方差______．【答案】【解析】同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的．記為遇到紅燈的次數(shù)，則，，，．故答案為：．題型五：方差的性質(zhì)的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】求隨機(jī)變量方差的方法求隨機(jī)變量的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式求解．例19．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望和方差，下列所有正確的序號(hào)是______．①是反映隨機(jī)變量的平均取值；

②越小，說明X越集中于；③；

④．【答案】①②③【解析】離散型隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機(jī)變量的取值越集中于均值，則①②正確；，，則③正確，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．例20．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的分布為：01245若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為______．①；②；③；④．【答案】①③【解析】由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)，可得，則，，所以①③正確；又由離散型隨機(jī)變量Y滿足，所以，，所以②④錯(cuò)誤，故答案為：①③．例21．（2023·四川眉山·高二期末（文））若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．【答案】8【解析】由題設(shè)，，故，所以新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8．故答案為：8例22．（2023·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二階段練習(xí)（文））某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的方差為________．【答案】【解析】將沒有發(fā)芽的種子數(shù)記為，則，，又，．故答案為：．題型六：均值與方差的綜合應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】（1）均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛啵?）離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡化問題的解答過程．例23．（2023春·北京大興·高三?？奸_學(xué)考試）為了解高三學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（1）班~（8）班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，y軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高三年級(jí)學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（3）班的10名學(xué)生中抽出2人，設(shè)X表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀.寫出方差，，，的大小關(guān)系并說明理由.【解析】（1）抽取的人中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀有人，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測人，該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率.（2）由散點(diǎn)圖可知：高一（）班的名學(xué)生中，身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為9人，所以所有可能的取值為，所以；；則的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（3）由散點(diǎn)圖知：，，；，，；，，；，，；.例24．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）某經(jīng)營禮品花卉的店主記錄了去年當(dāng)中100天的A，B兩種花卉每枝的收益情況，如表所示：A種花齊：收益x（元）02天數(shù)103060B種花齊：收益y（元）012天數(shù)303040(1)如果店主向你咨詢，明年就經(jīng)營一種花卉，你會(huì)給出怎樣的建議呢？(2)在實(shí)際中可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤?jīng)營這兩種花卉，假設(shè)兩種花卉的進(jìn)貨價(jià)都是每枝1元，店主計(jì)劃投入10000元，請(qǐng)你給出一個(gè)經(jīng)營方案，并說明理由．【解析】（1）記A種花卉方差為，B種花卉方差為，A種花卉收益X為-1,0,2，，，，所以，所以；B種花卉收益Y為0,1,2，，，，所以，所以,因?yàn)椋訠種花卉收益穩(wěn)定，選擇B種花卉經(jīng)營；（2）設(shè)投入a元經(jīng)營A種花卉，則投入元經(jīng)營B種花卉，所以元，，當(dāng)時(shí)，兩種花卉收益方差最小，收益最穩(wěn)定，10000-3485=6515元，故投入3485元經(jīng)營A種花卉，則投入6515元經(jīng)營B種花卉.例25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列如表所示：甲種股票：收益x（元）02概率乙種股票：收益y（元）012概率(1)如果有人向你咨詢：想投資其中一種股票，你會(huì)給出怎樣的建議呢？(2)在實(shí)際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票，假設(shè)兩種股票的買入價(jià)都是每股1元，某人有10000元用于投資，請(qǐng)你給出一個(gè)投資方案，并說明理由．【解析】（1）由題知：，，，由題可知，兩種股票的期望相同，但乙種股票的方差較小，所以，投資乙種股票相對(duì)于甲種股票更穩(wěn)妥.（2）設(shè)投資甲種股票元，投資乙種股票元，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小，所以，應(yīng)當(dāng)投資甲種股票元，乙種股票元，例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我市擬建立一個(gè)博物館，采取競標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層師選，甲?乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲?乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．(1)求甲公司至少答對(duì)2道題目的概率；(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲?乙兩家哪家公司競標(biāo)成功的可能性更大？【解析】（1）由題意可知，甲公司至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)兩題或者答對(duì)三題；所求概率（2）設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為，則的取值分別為．．則的分布列為：123，；設(shè)乙公司正確完成面試的題為，則取值分別為．，，，則的分布列為：0123．．由可得，甲公司競標(biāo)成功的可能性更大．例27．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考開學(xué)考試）根據(jù)國家高考改革方案，普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試科目包括政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門，考生可根據(jù)報(bào)考高校要求和自身特長，從6門等級(jí)性考試科目中自主選擇3門科目參加考試，在一個(gè)學(xué)生選擇的三個(gè)科目中，若有兩個(gè)或三個(gè)是文史類（政治、歷史、地理）科目，則稱這個(gè)學(xué)生選擇科目是“偏文”的，若有兩個(gè)或三個(gè)是理工類（物理、化學(xué)、生物）科目，則稱這個(gè)學(xué)生選擇科目是“偏理”的．為了了解同學(xué)們的選課意向，從北京二中高一年級(jí)中隨機(jī)選取了20名同學(xué)（記為，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同學(xué)都各自獨(dú)立的填寫了擬選課程意向表，所選課程統(tǒng)計(jì)記錄如表：學(xué)生科目政治111111111歷史1111111111地理1111111111物理1111111111111化學(xué)111111111生物111111111(1)從上述20名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，求恰有2名同學(xué)選擇科目是“偏理”的概率；(2)從北京二中高一年級(jí)中任選兩位同學(xué)，以頻率估計(jì)概率，記為“偏文”女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)記隨機(jī)變量，樣本中男生的期望為，方差為；女生的期望為，方差為，試比較與；與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．【解析】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則偏理共有11人，偏文共有9人，設(shè)恰有2名同學(xué)選擇科目是“偏理”為事件，則（A）．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名學(xué)生，這個(gè)學(xué)生是偏文女生的概率為，則，1，2，，，，所以的分布列為：012．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則，，故，．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知甲、乙兩名員工分別從家中趕往工作單位的時(shí)間互不影響，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲、乙一個(gè)月內(nèi)從家中到工作單位所用時(shí)間在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率如下：時(shí)間/分鐘10~2020~3030~4040~50甲的頻率乙的頻率0某日工作單位接到一項(xiàng)任務(wù)，需要甲在30分鐘內(nèi)到達(dá)，乙在40分鐘內(nèi)到達(dá)，用表示甲、乙兩人在要求時(shí)間內(nèi)從家中到達(dá)單位的人數(shù)，用頻率估計(jì)概率，則的數(shù)學(xué)期望和方差分別是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)事件表示甲在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，表示乙在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，，相互獨(dú)立，，，，．故選：D.2．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量（i＝1，2）的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】因?yàn)?，所以；，因?yàn)?，所以?故選：A.3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：12若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得解得故選：B.4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果是離散型隨機(jī)變量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因?yàn)?，又，所以，，則，.故選：D.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：01則當(dāng)在上增大時(shí)（

）A．單調(diào)遞增，最大值為B．先增后減，最大值為C．單調(diào)遞減，最小值為D．先減后增，最小值為【答案】D【解析】由題知，解得，所以所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列是（

）X01Pb則當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí)，（

）A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大【答案】C【解析】解折：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，增大增大，當(dāng)時(shí)，減小減小.故選：C.7．（2023秋·上?！じ叨虾＝淮蟾街行？计谀┮阎?，隨機(jī)變量、相互獨(dú)立，隨機(jī)變量的分布為，的分布為，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．減小，增大 B．減小，減小C．增大，增大 D．增大，減小【答案】C【解析】由題意可得：，，所以.所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大.；.所以.所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，增大.故選：C8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在課外閱讀時(shí)了解到概率統(tǒng)計(jì)中的馬爾可夫不等式，該不等式描述的是對(duì)非負(fù)的隨機(jī)變量和任意的正數(shù)，都有，其中是關(guān)于數(shù)學(xué)期望和的表達(dá)式.由于記憶模糊，該同學(xué)只能確定的具體形式是下列四個(gè)選項(xiàng)中的某一種.請(qǐng)你根據(jù)自己的理解，確定該形式為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量的所有可能取值按從小到大依次為,對(duì)應(yīng)的概率分別為設(shè)滿足的有,,,因?yàn)?所以故選：D二、多選題9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234q若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，則，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．（2023·全國·高二專題練習(xí)），隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（）A．的值最大 B．C．隨著概率的增大而減小 D．隨著概率的增大而增大【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，，，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，B正確，，因?yàn)?，所以隨著的增大而增大，C錯(cuò)誤，D正確，故選：BD.11．（2023·全國·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，隨機(jī)變量，的分布列如下表所示：0101下列說法中正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】依題意，，則，又，，所以，，所以，對(duì)于A：因?yàn)榍遥?，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，由于無法確定與的大小關(guān)系，即無法判斷的正負(fù)，故無法確定與的大小關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，，所以，即，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，但是無法確定與的大小關(guān)系，即無法判斷的正負(fù)，故無法確定與的大小關(guān)系，故D錯(cuò)誤；故選：AC12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年冬奧會(huì)在北京舉辦，為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，某市多所中小學(xué)開展了冬奧會(huì)項(xiàng)目科普活動(dòng)．為了調(diào)查學(xué)生對(duì)冰壺這個(gè)項(xiàng)目的了解情況，在該市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校中了解這個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行這個(gè)項(xiàng)目的科普活動(dòng)，記為被選中的學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校所數(shù)，則（

）A．的可能取值為0，1，2，3 B．C． D．【答案】BD【解析】根據(jù)題意，的可能取值為0，1，2，其中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校有4所，了解冰壺的人數(shù)在30以下的學(xué)校有6所，所以，，，所以，的概率分布列為：所以，，，所以，BD選項(xiàng)正確，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BD．三、填空題13．（2023·全國·高三對(duì)口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則_________.X－101Pab【答案】5【解析】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.14．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知X的分布列如下表所示，設(shè)，則的值為_________．X－101P【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：.15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知某隨機(jī)變量滿足，其中為常數(shù)，則______．【答案】0【解析】某隨機(jī)變量滿足，則隨機(jī)變量的取值只有，所以，故.故答案為：0.16．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)為ξ，則方差D(ξ)的最大值為_________．【答案】【解析】由題意可得分布的分布列為：ξ01P則，故當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：.四、解答題17．（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某校在2018年11月份的高三期中考試后,隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并進(jìn)行了分析,結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)拷橛?0分到140分之間.現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組,第一組,第二組,．．．第六組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)這50名學(xué)生中成績?cè)?20分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人,該3人在130分(含130分)以上的人數(shù)記為,求的分布列和期望.【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖,得成績?cè)诘念l率為,所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?所以該校的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?07.（2）根據(jù)頻率分布直方圖得,這人中成績?cè)诜忠陨?包括分)的有0.08×50=4人,而在的學(xué)生共有,所以的可能取值為、、、,所以,

,,

,所以的分布列為數(shù)學(xué)期望值為.18．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人.(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列及期望.【解析】（1）由題意可知，從推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，基本事件總數(shù)，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人，設(shè)事件A表示“選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)”，表示“恰好選出1名數(shù)學(xué)教師和2名英語教師”，表示“恰好選出2名數(shù)學(xué)教師”，則彼此互斥，且，∴選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率.（2）由題可知，X的所有可能取值為；從6名教師中任選3人，恰有名數(shù)學(xué)教師的概率所以，即X的分布如下：012期望值.19．（2023春·上海嘉定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）.若將這100臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件