直線與圓的位置-教學(xué)設(shè)計

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程基本信息課題2.5.1直線與圓的位置關(guān)系教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解直線與圓的位置關(guān)系，掌握對直線與圓的位置關(guān)系進行判斷的兩種方法.2.類比直線與直線研究位置關(guān)系的方法，探究用方程判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.3.運用直線與圓的方程的不同形式、位置關(guān)系的不同表達方式，實現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.教學(xué)重點：利用方程表達、判斷直線與圓的位置關(guān)系.用坐標(biāo)法解決幾何問題.教學(xué)難點：1.利用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.理解代數(shù)法幾何法的關(guān)系，靈活運用多種方式表達、判斷直線與圓位置關(guān)系.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘（一）梳理提煉引言：前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩條直線的位置關(guān)系，本節(jié)課我們類比用直線的方程研究兩直線位置關(guān)系的方法，運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系.問題1直線與圓有哪些位置關(guān)系？師生活動：學(xué)生回憶思考，教師在黑板呈現(xiàn)、整理三種位置關(guān)系的圖形表示、定義、幾何表示.在平面幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有三種：直線與圓相交、相切、相離.設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系及其定義.追問1：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？師生活動：觀察圖形，我們可以通過直線與圓公共點的個數(shù)，判定直線與圓的位置關(guān)系--直線與圓有兩個公共點，直線與圓相交；只有一個公共點，直線與圓相切，沒有公共點，直線與圓相離.追問2：還有其他判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法嗎？師生活動：將圖中的直線看作是可以平行移動的，直線與圓心距離的改變，出現(xiàn)了不同的位置關(guān)系.首先看相切這種特殊的位置關(guān)系，此時，圓心到直線的距離等于半徑.記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.如果,直線與圓相交；,直線與圓相切；,直線與圓相離.這是第二種判斷直線與圓位置關(guān)系的方法---通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進行判斷.平移直線的過程中，圓心到直線的距離的變化導(dǎo)致位置關(guān)系的變化；反之，位置關(guān)系的變化導(dǎo)致圓心到直線的距離與半徑間大小關(guān)系的變化.以相交為例，直線與圓相交、直線與圓有兩個公共點、,它們之間的關(guān)系都是充分必要的.設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)平面幾何的判斷方法，引導(dǎo)學(xué)生將幾何直觀進行定量表達，通過引言和問題1，回顧初中學(xué)習(xí)的平面幾何知識以及本章前面所學(xué)內(nèi)容，提出本節(jié)研究的問題—利用直線與圓的方程，通過定量計算，判斷直線與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生體會這種研究思路的邏輯必然，能夠在問題的引導(dǎo)下自主提出并研究問題.位置關(guān)系相交相切相離直線與圓公共點個數(shù)210d與r2分鐘（二）探究方案問題2本章我們研究直線、圓的角度是什么?師生活動：在解析幾何中，我們用方程研究幾何圖形.點，我們用有序數(shù)對表示；線，用二元一次方程表示；圓，用二元二次方程表示.研究方法是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，運用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).設(shè)計意圖:學(xué)生結(jié)合問題，回顧高中研究位置關(guān)系問題的方法，通過思考，容易發(fā)現(xiàn)，本章我們在坐標(biāo)系中建立了直線方程、圓的方程,并通過它們的方程研究與直線、圓有關(guān)的幾何問題.通過坐標(biāo)系，將幾何元素，用坐標(biāo)、方程表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).比較高中初中研究幾何圖形方法的不同，引導(dǎo)學(xué)生考慮將直線與圓位置關(guān)系中的幾何要素用代數(shù)方法表達.追問：類比兩直線位置關(guān)系的研究方法，怎樣通過代數(shù)方法，研究直線與圓的位置關(guān)系呢?師生活動：如果兩直線相交，交點在“形”上的意義是，既在第一條直線上，又在第二條直線上；從“數(shù)”上理解，交點坐標(biāo)既滿足第一條直線方程，又滿足第二條直線方程，它是兩直線方程聯(lián)立組成的方程組的解.如果兩直線平行，則方程組無解.相交與否這一幾何位置關(guān)系問題，就可以通過方程組有無實數(shù)根的代數(shù)方法來判斷.直線與圓是否有交點的問題，也可以轉(zhuǎn)化為方程組的實根個數(shù)問題來解決.設(shè)計意圖:類比直線與直線的位置關(guān)系問題的解決方法，討論解析幾何研究問題的基本思路，學(xué)生可以自主尋求到將直線與圓的位置關(guān)系中的幾何元素進行代數(shù)表達的思考方向.具體方案也已經(jīng)形成—將交點問題的判斷轉(zhuǎn)化為方程組實根的情況的判斷.逐步體現(xiàn)本節(jié)課問題研究的必要性.由形上的不夠嚴謹，過渡到利用d與r的比較，再過渡到類比直線與直線位置關(guān)系的研究方法，用方程進行判斷.15分鐘(三)方案應(yīng)用例1已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.思路1：將判斷直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解的問題;兩點距離公式求弦長（代數(shù)法）.,消去y,得：，因為，方程有兩個實數(shù)解，所以直線l與圓C有兩個交點，直線l與圓C相交.解方程，得，把分別代入方程（1），得到.所以，直線l與圓C有兩個交點是.直線l被圓C所截得弦AB的長度.設(shè)計意圖：學(xué)生可以類比直線與直線相交的問題，猜想出直線與圓相交問題的代數(shù)解法，從幾何到代數(shù)，再從代數(shù)回歸到幾何，總結(jié)根的判別式的代數(shù)、幾何意義.直線與圓有兩個公共點，相交直線與圓只有一個公共點，相切直線與圓沒有公共點，相離思路2：將判斷直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系的問題；若相交，利用圓的幾何性質(zhì)--垂徑定理，解決弦長問題(幾何法).師生活動：將圓C的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo),半徑，則圓心到直線l的距離為由于d<r,直線l與圓C有兩個公共點，直線l與圓C相交.由垂徑定理，弦AB的長度.設(shè)計意圖：解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，但其本質(zhì)仍是幾何問題.分析、解決問題的首選，是利用幾何圖形的性質(zhì).在學(xué)習(xí)了純代數(shù)的方法，即高中解析幾何給我們提供的解法后，將幾何圖形放在坐標(biāo)系里，用方程研究之后，學(xué)生會產(chǎn)生這樣的疑問，將幾何圖形放在坐標(biāo)系下了，幾何圖形的性質(zhì)仍成立.直線與圓的位置關(guān)系，可以由公共點個數(shù)判斷，也可以綜合使用幾何方法，由d與r的大小關(guān)系判斷.在上述解法中，從幾何圖形上考慮，引導(dǎo)學(xué)生思考利用方程，求出圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系,垂徑定理求弦長.同時比較，方法一、二，都是對同樣的幾何元素進行代數(shù)表達，整理得到的結(jié)論也指向的是同樣的幾何圖形的位置關(guān)系.對用方程研究直線與圓的位置關(guān)系問題的方法進行歸納、整理.例2過點P(2,1)作圓O：的切線l，求切線l方程.追問1：過一點作圓的切線，能做出幾條?師生活動：從幾何圖形上分析，題目中說:過一點做圓的切線，能做出幾條？這首先涉及點與圓的位置關(guān)系，我們可以畫圖判斷，同時把幾何條件整理出來；當(dāng)然，還可以把點的坐標(biāo)代入圓的方程進行判斷.點在圓外.過圓外一點可以作圓的兩條切線.設(shè)計意圖：分析幾何條件，師生一起畫圖、（用代數(shù)、幾何兩種判斷方法進行），判斷點在圓外，回憶.在分析點與圓位置關(guān)系時，又一次利用幾何、代數(shù)兩種思路去解決，不斷提示學(xué)生，在分析幾何問題時可以向兩個方向展開思考.追問2：如何用代數(shù)方法表示直線與圓相切？師生活動：如何表達直線與圓相切？（板書）過一個點，做圓的切線，又回到了線圓位置關(guān)系問題上.上面我們一起分析處理了直線與圓的三種位置關(guān)系，從不同角度去刻畫位置關(guān)系，是解決這一問題的關(guān)鍵.相切，有幾種方式表示？--公共點的個數(shù)，根的判別式，d與r的比較.設(shè)計意圖:鞏固代數(shù)方法解決幾何問題的思路，引出本題，指明聯(lián)系，分析區(qū)別.追問3：直線方程選擇什么形式？已知直線過一定點，表達它還需要確定一個要素，要么補充直線的斜率，要么補充另一個點，都可確定直線的方程.無論選擇哪種形式的直線方程，都可以用兩種思路--思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線斜率，進而確定直線方程.思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點與切點連線與過切點的半徑垂直等幾何特征，從而確定直線的方程.設(shè)計意圖：課標(biāo)在本章的發(fā)展要求中明確指出，需要學(xué)生根據(jù)給定的條件，靈活選取適當(dāng)形式的直線方程，熟練運用待定系數(shù)法求直線方程.無論選擇用哪種代數(shù)形式表示直線，都可以用以下兩種思路--思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線方程中的參數(shù).（代數(shù)法）；思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點與切點連線與過切點的半徑垂直等等幾何特征，從而確定直線方程中的參數(shù).（幾何法）在設(shè)兩點式的過程中由于參數(shù)是兩個，因此計算過程比設(shè)點斜式要繁復(fù)，那么如果利用切點的其他幾何性質(zhì)是否可以簡化運算呢？我們知道，由于直線與圓相切，設(shè)切點A，則,可以利用斜率之間的等量關(guān)系去翻譯，也可以規(guī)避斜率是否存在的問題，轉(zhuǎn)化為向量進一步刻畫，.或由于，直線與圓的兩個切點，可以看作是以O(shè)P中點為圓心，長為半徑的圓相交得到，因此也可以聯(lián)立兩個圓方程，求兩圓公共弦所在直線方程，再聯(lián)立找到切點，確定；同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)，兩切點的連線方程是可求的，通過這條直線與圓的交點，也可以計算出切點坐標(biāo)，從而得到切線方程.思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線方程中的參數(shù).（代數(shù)法）思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑，從而確定直線方程中的參數(shù),也可以通過與圓外一點連線垂直于過切點的半徑；或兩切點的連線被圓外一點于圓心連線垂直平分等幾何性質(zhì)，建立方程.（幾何法）下面我們以設(shè)立點斜式，利用的方法為例，將題目完整解決.首先考慮切線斜率不存在的情況，易知直線與圓外離，因此切線l斜率存在.設(shè)切線l斜率為k，則切線方程為：.解法1：消元得：直線與圓相切方程有一個實數(shù)解由解得：切線l的方程為：或.解法2：直線與圓相切圓心到直線l的距離等于圓的半徑切線方程轉(zhuǎn)化為一般式：，，解得.切線l的方程為：或.追問4：直線與圓相切，是一種特殊的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組只有一組解，或者轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑，從而確定直線的方程.你能比較這兩種方法的差異嗎？表示直線時，點斜式最直接；計算上用比較簡潔，這提醒我們在處理直線與圓的位置關(guān)系問題中，除了運用解方程組的方法外，還可以充分結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，一定程度上簡化運算，最后得到圖形之間的位置關(guān)系.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生比較例2的解決方法，利用對幾何性質(zhì)的分析簡化代數(shù)運算,比如可以利用圓的切線垂直于過切點的半徑，兩切點的連線被圓外一點與圓心連線垂直平分，等等這些幾何性質(zhì)，建立方程，確定切線斜率.3分鐘(四)歸納小結(jié)問題3總結(jié)研究思路，用方程判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.本節(jié)課，我們經(jīng)歷了：回顧、梳理、類比、遷移，通過兩個問題，對直線與圓的位置關(guān)系問題展開了充分的討論.你都學(xué)會了哪些判斷直線與圓位置關(guān)系的方法呢?從畫圖觀察