考點(diǎn)02整式與因式分解-2022年中考數(shù)學(xué)與題型全歸納（原卷版）

考點(diǎn)02整式與因式分解

1cH

命題趨勢

以考查整式的加減、乘除、乘法公式、幕的運(yùn)算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點(diǎn)，年年考查,

是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2022年各地中考還將繼續(xù)考查基的運(yùn)算性質(zhì)、因式分解、

整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

，知識(shí)梳理

1)代數(shù)式

代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號(hào)"x”用表示或省略不寫；分?jǐn)?shù)不要用帶分?jǐn)?shù)；除號(hào)用分?jǐn)?shù)線表示等.

2)整式

1.單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，

數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

注：①單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如這種表示

3

1Q

就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成-②一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如一5a3)2。

3

是6次單項(xiàng)式。

2.多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的

次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

3.整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

4.同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).

5.整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).

+nn

6.幕的運(yùn)算:a"'-a"=a"'i(d")"="""；Cab)"=〃%"；a"'^a"=a"''.

7.整式的乘法：(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里

含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(a+Hc)=ma+mb+mc.

(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nh.

8.乘法公式：（1）平方差公式：①+份①一份=（2）完全平方公式：（a±?2=/±2"+/.

9.整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的基分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除

式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)

式，再把所得的商相加.

3）因式分解

1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.

2.因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：ma+mh+mc^m（a+b+c）.

（2）公式法：運(yùn)用平方差公式：/—爐=（a+h）（a一份.運(yùn)用完全平方公式：a2+2ab+h2=（a+h）2.

3.分解因式的一般步驟：

（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；

（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方

公式；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；

（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

以上步驟可以概括為“一提二套三檢查"。

重點(diǎn)考向

考向1代數(shù)式及相關(guān)問題

1.用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.

2.用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

典例引領(lǐng)

1.（2021?青海中考真題）一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是X,個(gè)位數(shù)字是V,那么這個(gè)兩位數(shù)是（）.

A.x+yB.10xyC.10（x+y）D.lOx+y

2.（2021?浙江臺(tái)州?中考真題）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合,混合后的糖水含糖（）

A.20%B.世xlOO%C,把型xlOO%D.x100%

22010x+10y

變式拓展

1.（2021?浙江金華市?中考真題）某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后

售價(jià)最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價(jià)5（）%,再打六折

C.先提價(jià)30%,再降價(jià)30%D.先提價(jià)25%,再降價(jià)25%

2.（2021?重慶中考真題）某銷售商五月份銷售A、B、C三種飲料的數(shù)量之比為3：2：4,A、B、C三種飲

料的單價(jià)之比為1:2：1.六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據(jù)季節(jié)對(duì)三種飲料的價(jià)格作了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，

預(yù)計(jì)六月份三種飲料的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的5,8、C飲

料增加的銷售額之比為2：1.六月份A飲料單價(jià)上調(diào)20%且A飲料的銷售額與B飲料的銷售額之比為2：3,

則A飲料五月份的銷售數(shù)量與六月份預(yù)計(jì)的銷售數(shù)量之比為.

考向2整式及其相關(guān)概念

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

觀察判斷法:要準(zhǔn)確理解和辨認(rèn)單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)；判斷是否為同類項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵要看所含的字母是否相同，

相同字母的指數(shù)是否相同.

多項(xiàng)式的次數(shù)是指次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù).同類項(xiàng)一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指數(shù)

是否相同.

考慮特殊性:單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式;單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)

的次數(shù)是0.

典例引領(lǐng)

1.（2021?上海中考真題）下列單項(xiàng)式中，//的同類項(xiàng)是（）

3223

A.ahB.2a汨C.abD.ab

2.（2021?海南中考真題）下列整式中，是二次單項(xiàng)式的是（）

2

A.x+lB.盯C.巧D.一3尤

3.（2021山東?中考模擬）如果整式x"-2_sf+zc是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，那么〃等于

A.3B.4C.5D.6

變式拓展

1.（2021?青海中考真題）已知單項(xiàng)式2優(yōu)/2"，+7與3a2,%"+2是同類項(xiàng)，則加+〃=

2.（2020?四川綿陽市?中考真題）若多項(xiàng)式（n-2*丁+1是關(guān)于X,的三次多項(xiàng)式，則“〃=.

考向3規(guī)律探索題

解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、

比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.

典例引領(lǐng)

1.（2021?山東濟(jì)寧市?中考真題）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：:1，3□,7—,9—,1一1，…，其中口內(nèi)應(yīng)

25172637

填的數(shù)是（）

A.-B.—C.-D.-

31192

2.（2021?湖北隨州市?中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第〃個(gè)圖中的q=143,則。的值為（）

3.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1,

3,6,10,……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第

33個(gè)數(shù)為.

①

變式拓展

1.（2021?湖北十堰市?中考真題）將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列

的數(shù)為27,則位于第32行第13列的數(shù)是（）

A.2025B.2023C.2021D.2019

2.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）將一些相同的"O”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的"O"的個(gè)數(shù),

則第30個(gè)，龜圖”中有個(gè)“O”.

O

ooooOOO

OOO

OOOOOOOO

OOo°oooooo

(1)(2)(3)(4)

3.（2021?山東臨沂市?中考真題）實(shí)驗(yàn)證實(shí)，放射性物質(zhì)在放出射線后，質(zhì)量將減少，減少的速度開始較快,

后來較慢，實(shí)際上，物質(zhì)所剩的質(zhì)量與時(shí)間成某種函數(shù)關(guān)系.下圖為表示鐳的放射規(guī)律的函數(shù)圖象，據(jù)此

可計(jì)算32mg鐳縮減為Img所用的時(shí)間大約是（）

8100年D.9720年

4.（2021?安徽中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而

成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列.

［觀察思考］當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地質(zhì)有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰

直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推,

圖2圖3

［規(guī)律總結(jié)］（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；

（2）若一條這樣的人行道一共有〃（〃為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為一（用含

〃的代數(shù)式表示）.

［問題解決］（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地彼，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚

剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？

考向4幕的運(yùn)算

累的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時(shí)要明確運(yùn)算的類型，正確運(yùn)用法則；在運(yùn)算

的過程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處理.

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖北襄陽市?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A./+/=〃B.。3.〃3=〃6C.（4，=〃6D.（蘇力6

2.（2021?廣東中考真題）已知9'〃=3,27〃=4,則32〃計(jì)3〃=（

A.1B.6C.7D.12

3.（2021?湖南永州市?中考真題）若x,y均為實(shí)數(shù)，43*=2021，47v=2021，則43-’?47個(gè)=;

11

—I—=_______

xy

變式拓展

1.（2021?陜西中考真題）計(jì)算：（/4一=（）

1

AB.6b2D.-2a3b

-焉ac/

13

2.（2021?四川瀘州市?中考真題）已知10"二=20，100〃=50,則一。+/?+—的值是（）

22

59

A.2B.-C.3D.一

22

3.（2020?河南中考真題）電子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作為單位，其中

1GB=2'°MB,1MB=210KB,\KB=2WB,某視頻文件的大小約為1GB,1GB等于（）

A.23OBB.830fiC.8xl0'°BD.2X1030B

考向5整式的混合運(yùn)算

整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號(hào)的，先去括號(hào)，只要算式中沒有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果；

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算，另外去括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變

化，最后把所得式子化簡，即合并同類項(xiàng).

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇常州市?中考真題）計(jì)算：2a2-（/+2）=.

91

2.（2021?湖南長沙市?中考真題）先化簡，再求值：（x—3）-+（x+3）（x-3）+2x（2-x）,其中x=—

變式拓展

1.（2021?湖北荊州市?中考真題）若等式2a2.。+（）=3/成立，則括號(hào)中填寫單項(xiàng)式可以是（）

2

A.aB.aC./D./

2.（2021?貴州中考真題）（I）有三個(gè)不等式2x+3〈-l,-5?15,3（x-l）＞6,請(qǐng)?jiān)谄渲腥芜x兩個(gè)不等式，

組成一個(gè)不等式組，并求出它的解集：

（2）小紅在計(jì)算a（l+a）—（a—廳時(shí)，解答過程如下：

a（l+a）-（a-l）2

=a+a2-(a2-1)第一步

—a+a2-a2-]第二步

=。-1第三步

小紅的解答從第步開始出錯(cuò)，請(qǐng)寫出正確的解答過程.

考向6因式分解

因式分解的概念與方法步驟

①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.符合因式分解的等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形

式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）運(yùn)用公式法.

③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解

必須有平方項(xiàng)，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如

果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟記公式的特點(diǎn)，兩項(xiàng)式時(shí)考慮平方差公式，三項(xiàng)式時(shí)考慮完全

平方公式.

典例引領(lǐng)

1.（2021?山東荷澤市?中考真題）因式分解：—。3+24—.

[x-2y=-2,,

2.（2021?四川廣安市?中考真題）若x、y滿足<二°,則代數(shù)式Y(jié)—4y2的值為_____.

x+2y=3

3.（2020?四川內(nèi)江市?中考真題）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可以進(jìn)行這樣的分解：x=mxn（m,n

是正整數(shù)，且mW"）,在X的所有這種分解中，如果相，"兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱〃2X〃是X

的最佳分解.并規(guī)定：/（%）=-.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因?yàn)?8-1>9一2>6—3,所以3x6是18的最佳分解，所以

/（18）=fa=-1.⑴填空：/（6）=；/（9）=；

o2

（2）一個(gè)兩位正整數(shù)f（7=l（）a+。，a,6為正整數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)

字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54,求出所有的兩位正整數(shù)；并求/（/）的最大值；

（3）填空：①/（22X3X5X7）=；②/（23X3X5X7）=

③/（24x3x5x7）=；?/（25X3X5X7）=.

變式拓展

1.（2021?黑龍江綏化市?中考真題）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：ab2-2a=.

2.（2020?柳州市柳林中學(xué)中考真題）下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）

A.a2-Z?2B.-*-〃C.a2+b2D.a2+2ab+b2

3.（2021?湖北十堰市?中考真題）已知移=2,x—3y=3,則2/丫一12丁丁十必孫3=

考向7乘法公式的幾何背景與運(yùn)用

完全平方公式的運(yùn)用主要考查是“知二求二”、參數(shù)問題與最值問題，乘法公式的幾何背景為素材的題型

近年來考查也比較多。

典例引領(lǐng)

1.（2021?浙江臺(tái)州市?中考真題）已知（a+b）』49,d1+b2=25,則ob=（）

A.24B.48C.12D.276

2.（2021.安順?中考模擬）若/+2（根一3）8+16是關(guān)于x的完全平方式，則機(jī)=.

3.（2020?寧夏中考真題）2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾

股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1）,且大正方形的

面積是15,小正方形的面積是3,直角三角形的較短直角邊為“，較長直角邊為尻如果將四個(gè)全等的直角

三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為一.

b

a

圖1圖2

變式拓展

1131

1.（2021?廣東中考真題）若XH———且0＜尤＜1,則X?----=.

x6x

2.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖1，將邊長為X的大正方形剪去一個(gè)邊長為1的小正方形（陰影部分）,

并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個(gè)長方形，再將這兩個(gè)長方形拼成圖2所示長方形.這兩個(gè)圖能解釋下列

哪個(gè)等式（）

x1

X-1

(圖2)

A.x?—2x+1=(x—1)-B.x~—(x+l)(x—1)C.x~+2x+1=(x+1)"D.x~—x=x(x—1)

3.(2021?河北中考真題)現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片(邊長如圖).

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形,

先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片塊.

考向8代數(shù)整體求值與程序圖問題

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）若機(jī)+2“=1,則3加2+6m”+6〃的值為.

2.（2020?江蘇徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=3（x>0）與y=的圖像交于點(diǎn)p（a,6）,

X

則代數(shù)式的值為（）

ab

3.（2021?四川達(dá)州市?中考真題）如圖是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖，若開始輸入X的值為3,則輸出丁值為

變式拓展

1.（2020?山東濰坊市?中考真題）若〃J+2機(jī)=1，則4機(jī)2+8加一3的值是（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2021?貴州銅仁市?中考真題）如圖所示：是一個(gè)運(yùn)算程序示意圖，若第一次輸入1,則輸出的結(jié)果是

3.（2020?浙江嘉興市?中考真題）比較N+1與您的大小.

（1）嘗試（用“<”，"=”或“>”填空）：

①當(dāng)x=l時(shí)，/+12x；②當(dāng)x=0時(shí)，f+l2x；③當(dāng)x=-2時(shí)，x2+l2x.

（2）歸納：若x取任意實(shí)數(shù)，片+1與〃有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

考向9新定義與閱讀類問題

典例引領(lǐng)

1.（2021?甘肅武威市?中考真題）對(duì)于任意的有理數(shù)如果滿足@+=土吆，那么我們稱這一對(duì)數(shù)。力

232+3

為“相隨數(shù)對(duì)“，記為（a,。）.若（加，”）是“相隨數(shù)對(duì)”，則3m+2[3加+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

2.（2021?湖北鄂州市?中考真題）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和

與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過程并解決問題.

猜想發(fā)現(xiàn)：由5+5=27^=10；-+-=2J-xi=-；0.4+0.4=20.4x0.4=0.8；

33V333

—1-5>2./—x5=2；0.2+3.2>2j0.2x3.2=1.6;—I—>2.-x—=—

5V528\282

猜想：如果a>0,b>0,那么存在a+0N2瘋（當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)等號(hào)成立）.

猜想證明：—揚(yáng)了20

，①當(dāng)且僅當(dāng)G—北=0，即。=力時(shí)，a-24ah+b=0,:?a+b=2y[ab;

②當(dāng)&一霸w0,即〃6時(shí)，4一2而+〃>0,???a+b>2\[ab.

綜合上述可得：若。>0,/?>0,則〃石成立（當(dāng)日僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立）.

猜想運(yùn)用：（1）對(duì)于函數(shù)）=》+』（％>0）,當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

X

變式探究：（2）對(duì)于函數(shù)丁=『與+》（彳>3）,當(dāng)X取何值時(shí)，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？

拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題.高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測

站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖.設(shè)每間離房的

面積為S（米2）.問：每間隔離房的長、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？

/////////////////////1//（墻）

變式拓展

1.（2021?涼山州?中考真題）閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.1550—1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)

始人，他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（&/〃.1707—1783年）才發(fā)現(xiàn)指

數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.

對(duì)數(shù)的定義：一般地.若/=N（。>0且OH1），那么x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，

記作x=log?N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216,對(duì)數(shù)式2=log,9可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式

32=9.我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：

log“（M-N）=log"M+log?N（a>0,N>0）,理由如下：

設(shè)logoM=m,logaN=n,則M=a'",N=a".

:.M-N=am-a"=am+n.由對(duì)數(shù)的定義得m+n=log”（M-N）

又根+〃=log“M+logaN

.1.logJM-N）=log?M+log?N.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：

（1）填空：①log232=；②log；,27=,?log7l=:

M

（2）求證：log"—=logaM-logaN（a>0,a1,Af>0,?/>0）；

(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算logs125+logs6-logs30.

2.(2021?重慶中考真題)如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0,且能分解成AxB，其中A與8都是兩位

數(shù)，A與5的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為1(),則稱數(shù)M為“合和數(shù)”，并把數(shù)M分解成A/=Ax8的

過程，稱為“合分解

例如?.?609=21x29,21和29的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,二609是“合和數(shù)”.

又如?「234=18x13,18和13的十位數(shù)相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于10,234不是“合和數(shù)

(1)判斷168,621是否是“合和數(shù)”？并說明理由；

(2)把一個(gè)四位“合和數(shù)”M進(jìn)行“合分解"，即加=4*3.A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與B的各個(gè)數(shù)位數(shù)字

之和的和記為尸(M)；A的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和與8的各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對(duì)值記為Q(M).令

P(M)

G(M)當(dāng)G(M)能被4整除時(shí)，求出所有滿足條件的M.

Q(W'

熱點(diǎn)必刷

1.（2021?浙江溫州市?中考真題）某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過17立方米，每立方米。元；

超過部分每立方米（。+1.2）元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應(yīng)繳水費(fèi)為（）

A.20a元B.（20。+24）元C.（17。+3.6）元D.（20a+3.6）元

2.（2021?湖南?中考模擬）觀察下列等式：7°=1,71=7,7?=49,7'=343,74=2401,7$=16807,…，根據(jù)

其中的規(guī)律可得7°+7]+72+…+7239的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）

A.0B.1C.7D.8

3.（2021?山東張店?一模）下列說法正確的是（）

A.-3岫2的系數(shù)是一3B.4?%的次數(shù)是3

C.24+。-1的各項(xiàng)分別為2a,b,1D.多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式

4.（2021?浙江浙江?九年級(jí)期末）如圖，函數(shù)y=’（x>0）與y=x-3的圖象交于點(diǎn)尸（凡公，則的值為

X

（）

C.2月D.V13

5.（2021?四川雅安市?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.(X2)3=X6B.3X2-2X=XC.(-2X)3=-6X3D.

6.（2021?湖南婁底市?中考真題）下列式子正確的是（）

32b5

A.o,-er-aB.(/)=/C.a-a-aD.(/)-a

7.（2021?江蘇南京市?中考真題）計(jì)算（4）二。-3的結(jié)果是（

235

A.aB.aC.aD./

8.（2021?湖北十堰市?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.。3.。3=2。3B.（—2。）2=4/C.（a+Z?）2=/+/D.（。+2）（。-2）=/-2

9.（2021?四川成都市?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A.3mn—2mn—1B.（加方）=C.（-m）3-m=m4D.（m+n）2=m2+n2

10.（2020?西藏中考真題）觀察下列兩行數(shù)：

1,3,5,1,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現(xiàn)：第1個(gè)相同的數(shù)是1,第2個(gè)相同的數(shù)是7,…，若第n個(gè)相同的數(shù)是103,則n等于（）

A.18B.19C.20D.21

11.（2021?浙江杭州市?中考真題）因式分解：1-4：/=（）

A.（l-2y）（l+2y）B.（2-y）（2+y）C.（l-2y）（2+y）D.（2-y）（l+2y）

12.（2021?廣西賀州市?中考真題）多項(xiàng)式213-4片+2%因式分解為（）

A.2x（x-l）~B.2x（x+1）-C.x（2x-\yD.x（2x+l）~

13.（2020?廣西賀州市?中考真題）多項(xiàng)式2//+8/從因式分解為（）

A.a2b2（2h+8a2）B.2ab2^ab+4a3^C.2a2b2（Z?+4a2）D.2a。乂〃+4a%）

14.（2020?西藏中考真題）下列分解因式正確的一項(xiàng)是（）

A.x2-9=（x+3）（x-3）B.2xy+4x=2（xy+2x）

C.x2-2x-1=（x-1）2D.x2+y2=（x+y）2

15.（2020?河北中考真題）若IT）（"T）=8X10X12,貝必=（）

k

A.12B.10C.8D.6

16.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）已知兩個(gè)不等于0的實(shí)數(shù)。、方滿足a+b=0,則2+：等于（

）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

17.（2020?山東棗莊市?中考真題）圖（1）是一個(gè)長為2m,寬為2n（m>n）的長方形，用剪刀沿圖中虛線

（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中

間空的部分的面積是（）

18.（2020?湖北中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中出現(xiàn)數(shù)字396,則〃=（）

A.17B.18C.19D.20

19.（2020?湖南中考真題）如圖，將一枚跳棋放在七邊形A8CCE尸G的頂點(diǎn)A處，按順時(shí)針方向移動(dòng)這枚

跳棋2020次.移動(dòng)規(guī)則是：第人次移動(dòng)々個(gè)頂點(diǎn)（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在8處，第二次移動(dòng)

2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在。處），按這樣的規(guī)則，在這2020次移動(dòng)中，跳棋不可能停留的頂點(diǎn)是（）

A.C、EB.EyFC.G、C、ED.E、C、F

20.（2020?廣東中考真題）已知x=5-y,xy=2,計(jì)算3x+3y-4盯的值為.

21.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）若單項(xiàng)式/.2〃+7與單項(xiàng)式-的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，

貝I]m-n=.

22.（2021?山東?中考模擬）單項(xiàng)式6乃//的次數(shù)是.

6萬姓戶23.（2020?四川中考真題）將正偶數(shù)按照如下規(guī)律進(jìn)行分組排列,依次為（2）,（4,6）,（8,10,

12）,（14,16,18,20）我們稱“4”是第2組第1個(gè)數(shù)字，“16”是第4組第2個(gè)數(shù)字，若2020是第機(jī)組

第n個(gè)數(shù)字，則m+n=.

24.（2021?江蘇連云港市?中考真題）分解因式：9f+6x+l=.

25.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖，輸出的值為.

26.（2021?遼寧本溪市?中考真題）分解因式：2/一?+2=

27.（2021?廣東?佛山市華英學(xué)校一模）當(dāng)x=3時(shí),^1=2020,則當(dāng)犬=-3時(shí),p^+gx+l的值為.

28.（2021?浙江嘉興市?中考真題）觀察下列等式：1=/—（）2,3=22-12?5=3?-2?,…按此規(guī)律,則

第〃個(gè)等式為2〃-1二

29.（2021?江西中考真題）下表在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人

們把這個(gè)表叫做楊輝三角，請(qǐng)你根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補(bǔ)全下表第四行空缺的數(shù)字是.

1

11

121

131

14641

30.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6

個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)

32.（2021?四川南充市?中考真題）先化簡，再求值：（2x+l）（2x—1）-（21一3）2,其中x=-1.

33.（2021江蘇?中考模擬）如圖1,從邊長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，再沿著線段

AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形.

（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S”圖2中陰影部分面積為S2,請(qǐng)直接用含a,b的代數(shù)式表示Si和S2;

（2）請(qǐng)寫出上述過程所揭示的乘法公式.

34.（2021?吉林長春市?中考真題）先化簡，再求值：（。+2）3—2）+。（1一。），其中。=6+4.

35.（2021?湖南永州市?中考真題）先化簡，再求值：（X+1Y+（2+X）（2—X）,其中x=l.

36.（2021?北京中考真題）已知/+2/一1=（）,求代數(shù)式（。一人丫+人仁4+與的值.

37.（2020?安徽中考真題）觀察以下等式:

第1個(gè)等式：+1j=2-13/2、1

第2個(gè)等式：-x1+-=2--

4I2J2

第3個(gè)等式：+—j=2--7(2、1

第4個(gè)等式：-x1+T=2--

6I4J4

=2-1.?…按照以上規(guī)律.解決下列問題:

第5個(gè)等式：y9xl1+-2

（1）寫出第6個(gè)等式___________；（2）寫出你猜想的第"個(gè)等式:（用含〃的等式表示），并證明.

直通中考

1.（2021?湖北宜昌市?中考真題）從前,古希臘一位莊園主把一塊邊長為。米（a>6）的正方形土地租給

租戶張老漢.第二年，他對(duì)張老漢說：“我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形土

地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會(huì)（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

2.（2021?重慶中考模擬）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出y值為1的是（）

A.AW=1,n—\B.m=\,n=0C.m=\,n=2D.m=2,幾=1

3.（2020?江蘇泰州?中考真題）點(diǎn)P（a,Z?）在函數(shù)y=3無+2的圖像上，則代數(shù)式6a-2"1的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

4.（2021?綿陽市?中考模擬）已知4"'=a，8"=人，其中〃？，〃為正整數(shù)，則22'"6"=（）

A.ab~B.a+b2C.a2b3D.a2+b3

5.（2021?浙江蘭溪?一模）一幢房子一面墻的形狀由一個(gè)長方形和一個(gè)三角形組成（如圖），若把該墻面設(shè)

計(jì)成長方形形狀，面積保持不變，且底邊長仍為a,則這面墻的高度應(yīng)該為（）

A.2b+hB.b+—hC.b+2hD.b+h

2

6.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

,1Q2

A.3〃2+4〃2=7。4B.yfcT—=1C.-18+124-（—）=4D.-----a—l=

,1,1

7.（2020?四川眉山市?中考真題）已知/+—/=2。一人—2,貝——〃的值為（）

42

A.4B.2C.-2D.-4

8.（2021?福建?中考模擬）若（a-c+加2=21,（a+c+加2=2019,則/+〃十。2%為活的值是

A.1020B.1998C.2019D.2040

2

9.（2021?河北?中考模擬）若x-工=3,

則()

Xx4+l

A.11B.7C.—D.-

117

10.（2020?湖南婁底市?中考真題）下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律,x的值為（）

26

1438

29320435

A.135B.153C.170

11.（2020?山東日照市?中考真題）用大小相同的圓點(diǎn)擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第10

個(gè)圖案中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

n=ln=2n=3n=4

A.59B.65C.70D.71

12.（2021?廣西玉林市?中考真題）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個(gè)圖樹枝數(shù)用，表示，則乂-匕=

（）

第1個(gè)囹K=1第2窗K=3第3個(gè)囹K=7第4個(gè)窗匕=1日

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

13.（2021?柳州市?中考模擬）定義:形如。+萬的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（其中。和b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位,規(guī)定i2=-1）,

“稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，。稱為復(fù)數(shù)的虛部.復(fù)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)復(fù)數(shù).例如

（1+3z）2=F+2x1x3i+（3z）2=1+6i+9/=1+6i-9=—8+6"因此，（1+3z）2的實(shí)部是-8,虛部是6.已

知復(fù)數(shù)（3-機(jī)。2的虛部是12,則實(shí)部是（）

A.-6B.6C.5D.-5

14.（2020?內(nèi)蒙古包頭?初三二模）若，=3,則，〃2+」=

min"

15.（2020?山東臨沂?中考真題）若a+b=l,則小一。匕一2=.

16.（2021?陜西中考真題）分解因式：X3+6X2+9X=.

17.（2021?咸寧市?中考模擬）若整式/+加）2（”為常數(shù)，且加。0）能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則”？

的值可以是（寫一個(gè)即可）.

2

18.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）因式分解：—+ax+a^.

4

19.（2021?成都市?中考模擬）已知（2019-a）2+（a-2017）2=7,則代數(shù)式（2019-a）（a-2017）的值

是.

20.（2020?湖南中考真題）閱讀理解：對(duì)于V-（層+］）x+〃這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：

x3-（n2+l）x+n=xi-n2x-x+n=x（x2-n2）-（x-n）=x（x-〃）（x+n）-（,x-n）=Cx-ri'）-1）.

理解運(yùn)用：如果x3-（M2+1）x+n=0,那么（x-n）（jr+nx-1）=0,即有x-〃=0或f+nx-1=0,

因此，方程x-〃=0和必+加-1=0的所有解就是方程x3-（"+1）""=0的解.

解決問題：求方程%3-5x+2=0的解為.

21.（2021?湖南?中考模擬）我們知道，很多數(shù)學(xué)知識(shí)相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)