2024年高考數(shù)學(xué)重難題型突破：數(shù)列綜合應(yīng)用（解析版）

類(lèi)型三數(shù)列綜合應(yīng)用

【典例1][2020濟(jì)南市6月模擬]已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且S

nnn22

⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

⑵設(shè)bJ3",0/巴求數(shù)列｛b｝的前2n項(xiàng)和T.

"〔2a”,n為偶數(shù)，"2n

【答案】⑴因?yàn)镾$+%

n22

所以當(dāng)n=l時(shí),a=S=1,

當(dāng)n22時(shí)，a=S-S=-ns+in-[-(n-l)2+l(n-l)]=n,

nn2222

又n=l時(shí)符合上式，

所以a=n.

n

,\.上(n,n為奇數(shù)，

⑵因?yàn)閎=｛

11(2n,n為偶數(shù)，

所以對(duì)任意的1^叫％“-%_:(21<+1)-(2-1)=2,則｛%,是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)

列；

X=經(jīng)上=4,則｛b｝是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.

限22k2k

所以T=(b+b+b+…+b)+(b+b+b+…+b)

2n1352n~l2462n

=(1+3+5+…+2n-l)+(22+24+26+???+22n)

_n(l+2n-l)+4(l-4n)

21-4

=n2+±l±l-l.

33

【典例2】?[2020全國(guó)卷III,17,12分][理]設(shè)數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足a=3,a=3a-4n.

n1n+1n

(1)計(jì)算a,a,猜想｛a｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

⑵求數(shù)列｛2na｝的前n項(xiàng)和S.

nn

【答案】.⑴4=5巴=7.

猜想a=2n+l.由已知可得

n

a-(2n+3)=3[a-(2n+l)],

n+1n

a-(2n+l)=3[a-(2n-l)],

nn-1

a-5=3(a-3).

21

因?yàn)閍=3,所以a=2n+L

1n

⑵由⑴得2na=(2n+l)2n,

n

所以S=3X2+5X22+7X23+…+(2n+l)X2n①.

n

從而2s=3X22+5X23+7X2，+…+(2n+l)X2?i②.

n+

①-②得-s=3X2+2X22+2X23+—+2X2n-(2n+l)義2肛

n

所以Sn=(2nT)2m+2.

【典例3]已知在等比數(shù)列｛a｝中，a=2,且a,a,a—2成等差數(shù)列.

n1123

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若數(shù)列｛b｝滿(mǎn)足b=—+21oga—1,求數(shù)歹U｛b｝的前n項(xiàng)和S.

nna2nnn

n

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,由a,a,a—2成等差數(shù)列，得2a=a+a—2,

n123213

即4q=2+2q2—2,解得q=2(q=0舍去)，

則a=aqn—i=2n,n￡N*.

n1

(2)b=—+21oga—l=!+21og2n-l=《+2n7,

na2n/n2/n

n

則數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和

n

S----l-T)+(1+3H---|-2n—1)

n4Zn/

2l2nJ11

=---------|--n(l+2n-1)=1——+n2.

INNn

1-2

【典例4](2020?莆田市第一聯(lián)盟體學(xué)年聯(lián)考)設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且S="一2n,

nnn

｛b｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且6=@+3,b=6a+2.

n1134

⑴求數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式；

nn

⑵設(shè)c=-----，求｛c｝的前n項(xiàng)和T.

na,logbnn

n+12n+1

【解析】(1)由S=n2—2n,得當(dāng)n=l時(shí)，a=S=-1,

n11

當(dāng)n22時(shí)，S=(n—1)2—2(n—1)=n2—4n+3,

n—1

所以當(dāng)n22時(shí)，a=S—S—2n—3,a=—1也滿(mǎn)足此式.所以a=2n—3,n￡N*.

nnn—11n

又b=a+3=2,b=6a+2=32,

1134

因?yàn)椋鸼｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)｛b｝的公比為q(q>0).

nn

b

所以q2=^=16,即q=4,

bi

所以b=b?qn—1=2?4nT=22n-i,n￡N*.

n1

(2)因?yàn)閍=2(n+l)—3=2n—l,b=22n+i.

n+ln+1

所以C=---------7—=—^------「1-5-

na,logbzn—1,logZ2n+i

n+l2n+l2

1If1__11

2n—12n+l2k2n-l2n+l/

所以T=c+c+cH------Fc

n123n

或1―2n+J=2n+1所以T?=2n+1'

【典例5】已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,a=2,a>0,且我—2aa—3a2=0.

nn1nn+ln+lnn

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)b=log(1+S),求數(shù)列｛ab｝的前n項(xiàng)和T.

n3nnnn

【解析】⑴由a—2aa—3a2=0及a>0,

n+ln+lnnn

.Ja\a

得一上—2X一一3=0,

\a/a

解得U=3或U=—1(舍)，

aa

nn

所以｛a｝是等比數(shù)列，且公比q=3,

n

又a=2,所以a=2?3n—i,n￡N*.

1n

/\E、/21—3n

(2)因?yàn)镾=———=3n-l,

n1—J

所以b=log(1+S)=n,則ab=2n?3n-i,

n3nnn

所以T=2X30+4X3+6X32、----卜(2n-2)?3向+2n?3i,①

n

所以3T=2X3I+4X3Z+6X33H---卜(2n—2)?3i+2n?3”,②

n

21—3n

①一②，得(1—3)T=2+2X3i+2X32+2X33d------1-2?3n-i-2n?-----------------2n?3n

n1-3

—(1-2n)?3n—1,

所以『卜一』3名

【方法總結(jié)】(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的數(shù)列通項(xiàng)的

和差.

(2)裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng).

(3)錯(cuò)位相減法求和，主要用于求｛ab｝的前n項(xiàng)和，其中｛a｝,｛b｝分別為等差數(shù)列和等比

nnnn

數(shù)列.

[n2,n為奇數(shù)，

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知函數(shù)f(n)=*/田姑且a=f(n)+f(n+l),貝lja

〔一a,n為偶數(shù)，n12

+aH----Fa等于()

38

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】C

【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，則a=口2—(n+l)2=—2n—l,所以a+a+a+

n135

a=—(3+7+11+15)=—36.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，則a=—112+(n+l)2=2n+l,

7n

則a+a+a+a=5+9+13+17=44.所以a+a+a+…+a=—36+44=8,故選C.

24681238

9

(2)(2020?武漢江夏一中、漢陽(yáng)一中聯(lián)考)若首項(xiàng)為鼻的數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足2(2n+l)aa+a^

Jnnn+1n+1

—a，則a+a+a+…+a等于()

n1232020

8080407840404039

A，4041B,4040C,4041D-4040

【答案】C

【解析】依題意得aWO,由2(2n+l)aa=a—a，

nnn+1nn+1

等式兩邊同時(shí)除以aa可得二一一-=4n+2,

nn+1aa

n+1n

)111111

則當(dāng)n22時(shí)，------=4n-2,--------=4n—6,…，------=6,

aaaaaa

nn—1n—1n—221

以上式子左右兩邊分別相加可得

116+4n—2n-l

aa2

n1

l12n-l2n+l

a即nI=2nL/=--------2-------

n

21______1

所以a=2n-l2n+l

n2n-l-2n+l，

9

當(dāng)n=l時(shí)，滿(mǎn)足上式.

故a+a+a+…+a=1-—=+?,?+-八”—「=1—“八)1=「八…

12320203354039404140414041

⑶已知數(shù)列缸｝和｛bj滿(mǎn)足a=2,b=l,an+=2a(neN*).4+最+錄+…+*=*

—1(n￡N*).

①求數(shù)列｛a｝與｛b｝的通項(xiàng)公式；

nn

②記數(shù)列｛ab｝的前n項(xiàng)和為T(mén),求T.

nnnn

【解析】①由a=2,a=2a,得a=2n(n￡N*).

1n+1nn

由題意知：

當(dāng)n=l時(shí)，b=b—1,故b=2.

122

當(dāng)n22時(shí)，-b=b—b.

nnn+1n

bb

整理得

n+1n

又與=巳所以b=n(n￡N*).

Z1n

②由①知ab=n?2n,

nn

因此T=2+2?2Z+3?23H----|-n?2”

n

2T=22+2?23+3?24H——Fn?2n+i,

n

所以T-2T=2+2?+23-|----|-2?-n?2n+i.

nn

故T—(n—1)2n+i+2(n￡N*).

n

【典例6】(1)(2020?日照模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A(a「a?)出發(fā)

沿圖中路線(xiàn)依次經(jīng)過(guò)B(a,a),C(a,a),D(a,a),…，按此規(guī)律一直運(yùn)動(dòng)下去，則a

3456782017

+a+

2018

a+a等于()

20192020

【答案】C

【解析】由直角坐標(biāo)系可知，A(l,1),B(-l,2),C(2,3),D(-2,4),E(3,5),F(—3,6),

即3=1,a=1,a=-l,a=2,a=2,a=3,a=-2,a=4,->

由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)是從1開(kāi)始逐漸遞增的，且都等于其項(xiàng)數(shù)除以2；每四個(gè)數(shù)中有一

個(gè)負(fù)數(shù)，且為每組的第三個(gè)數(shù)，每組的第一個(gè)數(shù)為其組數(shù)，每組的第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)是互

為相反數(shù)，

因?yàn)?020+4=505,所以a=505,a=1009,a=—505,a=1010,

2017201820192020

a+a+a+a—2019.

2017201820192020

(2)(2020?洛陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)月考)已知數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足a+ia+-+-a=n2+n(neN*),設(shè)

n122nn

數(shù)列｛b｝滿(mǎn)足b=型±1,數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為T(mén),若T〈士X(nGN*)恒成立，則X的取

nnaannnn十1

nn+1

值范圍是()

A.gB.J,+[

C-[?+8)D.g+8；

【答案】D

【解析】因?yàn)?+a+…+，r=n2+n(nGN*),

所以%+%2+…+占a-=(n—l)z+(n—l)(ndN*,n>2),

故一a=2n,即a=2n2(n22).

nnn

當(dāng)n=l時(shí)，8]=1.2+1=2,滿(mǎn)足上式,

故a=2n2(n￡N*).

n

故［<注7入(nGN*)恒成立等價(jià)于4」匯=〈3人,即4I：21〈入恒成立,化簡(jiǎn)，制+

因?yàn)?4nilW+H，故屋,

易錯(cuò)提醒(1)公式a=S—S適用于所有數(shù)列，但易忽略n，2這個(gè)前提.

nnn-1

(2)數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題，要注意條件ndN*,求最值要注意等號(hào)成立的條件，放縮不等

式要適度.

【拓展訓(xùn)練】2(1)(2020?中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)模擬)在數(shù)列｛a｝中，已知a=n2+、n,

nn

nGN*,貝U“a〈a”是“｛a｝是單調(diào)遞增數(shù)列”的()

12n

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若在數(shù)列｛a｝中，已知a=r)2+入n,n￡N*,a<a,則1+入<4+2入，解得人)

nn12

-3,若數(shù)列｛a｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的neN*都滿(mǎn)足a—a=(n+l)z+入(n+1)—

nn+1n

n2—Xn=2n+l+入>0,

?二人〉一1—2n,即人>(—1—2n)——3,

因此，“a〈a”是“{a}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件.

12n

(2)設(shè)曲線(xiàn)y=2020k+“1162)在點(diǎn)(1,2020)處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,令a

nn

=logx,則a+aH----Fa的值為()

2020n122019

A.2020B.2019C.1D.-1

【答案】D

【解析】因?yàn)閥'—2020(n+l)xn,所以切線(xiàn)方程是y—2020=2020(n+1)(x—1),所

以X,=若，

所以a+a-I----\-a=log(x,x....x)

122019202012.2019

fl22019)1

=log=log=~l-

2QoX2o-\zX-3X202072ozo2n0o2n0

專(zhuān)題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.：2021石家莊市重點(diǎn)高中模擬］已知1,a『a2,3成等差數(shù)歹l］,1,6214成等比數(shù)歹山則

』的值為（）

b2

A.2B.-2C.±2D.S

4

【答案】A

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知l+3=a+a=4.由等比數(shù)列的性質(zhì)知燧=1X4=4,，b『±2.由于等

比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，；.b=2,.?.3k2,故選A.

2b2

2.［2021蓉城名校聯(lián)考］已知數(shù)列｛a｝對(duì)任意m,nGN*都滿(mǎn)足a=a+a,且a=1,若命題“Vn

nm+nmn1

GN*,AaWa^+12”為真,則實(shí)數(shù)人的最大值為

【答案】7

【解析】令m=l,則a=a+a,a-a=a=1,所以數(shù)列｛a｝為等差數(shù)歹!j,所以a二n,所以入aW

n+ln1n+1n1nnn

a2+12=＞入nWn2+12=＞入Wn+工,又函數(shù)y二x+型在（0,2b）上單調(diào)遞減,在［2遮,+°°）上單調(diào)

nnX

遞增，當(dāng)n=3時(shí)，入W3+是7,當(dāng)n=4時(shí)，入W447,所以n+0的最小值為7,所以人的最大值

34n

為7.

b

3.已知數(shù)列｛a｝,｛b｝a=b=1,a—a=二中=3,n￡N*,則數(shù)列｛ba｝的前10項(xiàng)和

nn11n+1nQn

為（）

1/、1/、

A.-X(310-1)B-X(910-1)

o

1/、1/、

k(27T)一(271)

【答案】D

【解析】因?yàn)閍—a=1=3,

n+1nb

n

所以｛a｝為等差數(shù)列，公差為3,｛b｝為等比數(shù)列，公比為3,

nn

所以a=1+3(n—1)=3n—2,b=lX3n-i=3n-i,

nn

所以b=33n-3=27nT,

an

所以治｝是以1為首項(xiàng)，27為公比的等比數(shù)列，

所以3｝的前10項(xiàng)和為1義=]義(27i。一1).

a1—2726

4.已知數(shù)列｛a｝和｛b｝的首項(xiàng)均為1,且a2a(n》2),a》a,數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為

nnn—1nn+1nn

S,且滿(mǎn)足2ss+ab=0,則S等于()

nnn+1nn+12021

11

A.2021B.eC.4041D,^

【答案】D

【解析】由a2a(n22),a2a可得a=a,

n-1nn+1nn+1n

即數(shù)列｛a｝是常數(shù)列，

n

又?jǐn)?shù)列匕｝的首項(xiàng)為1,所以a=l,

nn

所以當(dāng)SSWO時(shí)，2SS+ab=0可化為2ss+b=0,

nn+1nn+1nn+1nn+1n+1

因?yàn)閟為數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和，

nn

所以2ss+b=2SS+(S—S)=0,

nn+1n+1nn+1n+1n

所以^~=2,又三=「=],

SSSb

n+1n11

因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

所以J=l+2(n—1)=2n—1,

n

故SSPSSwo.

n2n-1nn+1

所以S=T■二.

20214041

5.定義在［0,+8)上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)0Wx<2時(shí)，f(x)=2x—x2；當(dāng)x22時(shí)，f(x)

=3f(x—2).記函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)從小到大依次為a,a,???,a,…，并記相應(yīng)的極大

12n

值依次為b,b,…，b,???,則S=ab+abH----Fab的值為()

12n2011222020

A.19X320+IB.19X319+1

C.20X319+1D.2OX32O+1

【答案】A

【解析】當(dāng)0Wx<2時(shí)，f(x)=2x—X2=l—(x—1)2,可得a=l,4=1；當(dāng)2Wx<4時(shí)，

有OWx—2<2,可得f(x)=3f(x—2)=3[1—(x—3)2],可得a=3,b=3；當(dāng)4Wx<6時(shí)，

22

有0Wx—4<2,可得f(x)=9f(x—4)=9[1—(x—5)2]，可得a=5,b=9；…；a=39,

3320

b=3曲….故S=ab+abH----Fab=1X1+3X3+5X9H---F39X319,3S=1X3+3

20201122202020

X9+5X27H----339X32。,兩式相減可得-2S=1+2(3+9+27H---13嶗-39X320=1+2

20

3X1-319_

X--------------39X320,化簡(jiǎn)可得S=1+19X32。.故選A.

1?J20

6.若數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n,｛a—a｝為遞減數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列｛a｝為“差遞減數(shù)

nn+1

列”.給出下列數(shù)列｛a｝(ndN*),其中是“差遞減數(shù)列”的有()

n

A.a=3nB.a=n2+l

nn

n

C.a=>JnD.a=ln—―

nVnn+1

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,若a=3n,則a—a=3(n+1)—3n=3,所以｛a—a｝不為遞減數(shù)列，

nn+1nn+1n

故數(shù)列｛a｝不是“差遞減數(shù)列”；對(duì)于B,若a=n2+l,則a—a=(n+l)2—n2=2n+l,

nnn+1n

所以｛a—a｝是遞增數(shù)列，故數(shù)列｛a｝不是“差遞減數(shù)列”；對(duì)于C,若a=3,則a—

n+1nnn'n+1

產(chǎn)尸"扁+*,所以｛ae

—a｝為遞減數(shù)列，故數(shù)列｛a｝是“差遞減數(shù)列”;

nn

什nn+1n(n+1n+A(1)

對(duì)于D,右a=ln—ry,則a—a=ln-rr—In-rr=ln-TT----=lnH-TT",

nn+1n+1nh+2n+1Vl+211J\皿+？"

由于函數(shù)y=ln(l+—=)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以｛a—a｝為遞減數(shù)列，故數(shù)列｛a｝

\X2-rZX/n+1nn

是“差遞減數(shù)列”.

7.(2020?浙江改編)已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S.，公差dWO,號(hào)Wl而b=S/1

=S—S，n￡N*,下列等式可能成立的是()

2n+22n

A.2a=a+aB.2b=b+b

426426

C.3.2^3.a,D.b2=bb

428428

【答案】ABC

【解析】由題意,知b=S1—a+a,

i212

b=S-S=a+a

n+12n+22n2n+l2n+2

可得b=a+a(n>l,n￡N*).

n2n—12n

由｛a｝為等差數(shù)列，可知｛b｝為等差數(shù)列.

nn

選項(xiàng)A中，由a■為a,a的等差中項(xiàng)，得2a—a+a,成立.

426426

選項(xiàng)B中，由b為b,b的等差中項(xiàng)，得2b=b+b,成立.

426426

選項(xiàng)C中，a=a+d,a=a+3d,a=a+7d.

214181

由a2=aa，可得(a+3d)2=(a+d)(a+7d)，

428111

化簡(jiǎn)得ad=d2,

i

又由dWO,可得a=d,符合與Wl,成立.

id

選項(xiàng)D中，b=a+a=2a+5d,b=a+a=2a+13d,

23414781

b=a+a=2a+29d.

815161

由b2=bb，知(2a+13d)2=(2a+5d)(2a+29d),

428111

化簡(jiǎn)得2ad=3d2,

i

又由d#0,可得號(hào)=|.

這與已知條件矛盾.

d

8.已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,點(diǎn)(n,S+3)(nGN*)在函數(shù)y=3X2*的圖象上，等比數(shù)

nnn

列｛b｝滿(mǎn)足b+b=a(nGN*),其前n項(xiàng)和為T(mén),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

nnn+1nn

A.S=2TB.T=2b+1

nnnn

C.T>aD.T<b

nnnn+1

【答案】ABC

【解析】由題意可得S+3=3X2n,S=3X2n—3,a=S—S=3X2n-i(n22),當(dāng)n=l時(shí)，

nnnnn—1

a=S=3X21-3=3,滿(mǎn)足上式,所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=3X2-(n?N*).設(shè)等比數(shù)列

11nn

｛b｝的公比為q,則bqn-i+bqn=3X2n-1,解得b=1,q=2,數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式為b=2n-i(n

n111nn

GN*),由等比數(shù)列的求和公式有T=2“一1.則有S=3T,T=2b—1,T<a,T<b.

nnnnnnnnn+1

9.[2021南昌市高三測(cè)試]無(wú)窮數(shù)列｛a｝滿(mǎn)足:只要a=a(p,q￡N*),必有a=a，則稱(chēng)｛a｝為

npqp+1q+1n

“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.若｛a｝為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，S為其前n項(xiàng)和,且a=1,a=2,a=l,a+a=6,

nn12468

貝!Ja=;S.

7-----------------------2021-----------------------

【答案】14714

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛a｝是“和諧遞進(jìn)數(shù)列"，且a=a=l,a=2,所以a=a=2,同理有

n14252

a=a,a=a=1,a=a-2,又a+a=6,所以a二a二4,則數(shù)列

3674856836

｛a｝:a=l,a=2,a=4,a=1,a=2,a=4,a=1,a=2,???,故數(shù)歹U｛a｝是以3為周期的數(shù)列,所以S

nl2345678n2

=S=(1+2+4)X673+(1+2)=4714.

021673X3+2

10-數(shù)列⑷的通項(xiàng)公式為『而加若該數(shù)列的前k項(xiàng)之和等于9,則k=——

【答案】99

1

【解析】a=\jn+l—y[n9故前n項(xiàng)和S“=(地一娘)+(小一小)H------F

nyjn+yjn+l

(Kn+1—/)=、n+l—l,令5卜=怖+1-]=9,解得k=99.

n.設(shè)數(shù)列｛aj滿(mǎn)足『1,且｝=4|(nGN*),則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式a=------------，數(shù)

歹！1的前10項(xiàng)和為_(kāi)_______

Iaa

lnn+1」

n+15

【答案】~2~3

【解析】因?yàn)?=斗1,

所以2=1a4a5an+l

T=J，T=一，(n22),

aza3a4an

i23

n+1.

把它們左右兩邊分別相乘,得a=-5-(n，2),

nN

當(dāng)n=l時(shí)，a=1也符合上式，所以a=F-(n￡N*).

1n/

所以aan+ln+2\n+ln+2〉

nn+l

所以數(shù)列[」一]的前10項(xiàng)和為

aa

Inn+l)

<11,11,,1<11>5

4X6一/廠(chǎng)/…十五一旬=4X《一回下

12.已知數(shù)列｛a｝,拈｝滿(mǎn)足@=1,且a,a是函數(shù)f(x)=X2—bx+2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則

nn1nn+ln

a=,b=.

5---------------------10---------------------

【答案】464

【解析】因?yàn)閍,a,是函數(shù)f(x)=X2—bx+2n的兩個(gè)零點(diǎn)，

nn+ln

所以a,a是方程X2—bx+2n=0的兩個(gè)根，

nn+ln

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得a-a=2",

nn+l

a+a—b,

nn+ln

由a?a=2j可得a,a=2n+i,

nn+ln+ln+2

兩式相除可得j=2,

a

n

所以a,a,a,…成公比為2的等比數(shù)列，a,a,a,…成公比為2的等比數(shù)列，

135246

又由a=l,得a=2,所以a=1X22=4,a=2X24=32,a=1X25=32,

1251011

所以b=a+a=32+32=64.

101011

13.在數(shù)列｛aj中，a]+/+*H---l~^=2n—l(n￡N*),且@]=1,若存在n￡N*使得n尸11(11

+1)人成立，則實(shí)數(shù)人的最小值為.

【答案】I

【解析】依題意得，數(shù)列]，的前n項(xiàng)和為20一1,當(dāng)n\2時(shí)，^二⑵一1)—⑵t—1)=

aaa2n-i2n-ib

2n-i,且才=21-1=2-1,因此f=2n—i(n￡N*),----匚一=—rr,記b=-77,貝ljb>0,

1nnn+1n十1nn+1nb

n

=2"-=%+n).=i,b>b,數(shù)列｛b｝是遞增數(shù)列，數(shù)列｛b｝的最小項(xiàng)是

n十2n十2n十2n+1nnn

1o11

b=-依題意得，存在ndN*使得X2——r—=b成立，即有X2b=-,X的最小值是5.

12nn+1n122

14.[2021河北六校第一次聯(lián)考]已知數(shù)列｛a｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，a=l,數(shù)列｛b｝滿(mǎn)足

n1n

b=3,ab+ab+ab+…+ab=3+(2n-3)2n.

2112233nn

⑴求a；

n

⑵求｛^—｝的前n項(xiàng)和T.

bb

nn+l0

【答案】(1)令n=l,得aR=3+(2-3)X2=1,所以b=l.

令n=2,得ab+ab=7,所以ab=6,又b=3,所以a=2.

11222222

設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q,則q=^=2,所以a=2"1.

n0n

31

(2)當(dāng)n22時(shí)，ab+ab+…+ab=3+(2n-5)2—①

1122n-1n-1

又ab+ab+ab+…+ab=3+(2n-3)2%②

112233nn

所以②-①得ab=3+(2n-3)2。-[3+(2n-5)2?-i]=(2n-l)2f

nn

得b=2n-l,n=l時(shí)也成立,所以b=2n-l.

nn

1=____1____=工(，-_J^),

bnbn+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l'

所以T=-(l--)+工(工一工)+…+!(―——--)

n2323522n-l2n+l

=1(1-1+工一耳???+，-，)

23352n-l2n+l

三(1—-

22n+l

2n+l

15.[原創(chuàng)題]記S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，已知a=1,S+l=2a+n+S,數(shù)列｛b｝滿(mǎn)足b=a+n.

nn1n+1nnnnn

⑴求｛b｝的通項(xiàng)公式；

n

⑵令c=(1+b)logb,求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和T.

nn2nnn

【答案】(1)由s+l=2a+n+S,得S-S=a=2a+n-l,

n+1nnn+1nn+1n

所以a+(n+l)=2(a+n),即b=2b,b=a+1=2,

n+1nn+1nil

所以數(shù)列｛b｝是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，

n

所以b=2,2n-l=2n.

n

(2)由(1)得c=(l+2n)log2n=n(l+2n)=n+n?2%

n2

所以T—c+c+…+c=(1+2+…+n)+[2+2X22+3X23+…+(n—1)X2n-i+nX2n]=[2+2X22+3

n12n2

X23+…+(n-l)X2n-i+nX2n].

設(shè)M=2+2X22+3X23+-+(n-1)X2n-i+nX2%①

n

則2M=22+2X2B+3X24+—+(n-1)X2n+nX2叫②

n

①一②，得一M=2+22+23+???+2n—nX2n+i,

n

所以M=(nT)X2ni+2.

n+

所以T=n￡n±l｝+(n-l)X2n+i+2.

n2

16.[2020天津，19,15分]已知｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝為等比數(shù)

nn

列,ajbjl,曠5(a)%),b=4包也).

⑴求｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式；

nn

⑵記｛a｝的前n項(xiàng)和為S,求證:SS<S2(nGN*);

nnnn+2fl+11

(空辿刀為奇數(shù)，

aa

⑶對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)cXn?+2求數(shù)列｛C｝的前2n項(xiàng)和.

nj,n為偶數(shù)，。

5+1

【答案】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,等比數(shù)列｛b｝的公比為q.

nn

由a=1,a=5(a-a),可得d=l,從而｛a｝的通項(xiàng)公式為a=n.

1543