商品的訂購(gòu)與銷售的數(shù)學(xué)模型

1、商品的訂購(gòu)與銷售的數(shù)學(xué)模型陳潤(rùn)鳳1, 何敏洪2, 官金蘭11.韶關(guān)學(xué)院2001級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科（1）班 廣東 韶關(guān) ;2.韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科班 廣東 韶關(guān) 摘要:本問題是有關(guān)商店獲利的運(yùn)籌學(xué)問題.本文通過對(duì)14月4個(gè)月內(nèi)商店銷售商品的總售價(jià)、總成本以及總存貯費(fèi)的計(jì)算，建立了使總利潤(rùn)獲利最大的目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，此模型為一個(gè)二次規(guī)劃的非線性的優(yōu)化模型.對(duì)于所建立的二次規(guī)劃模型，本文把此模型分解為兩個(gè)模型:模型、模型,并利用數(shù)學(xué)軟件（Matlab）分別求解這兩個(gè)模型,得出了14月份每月份的進(jìn)貨量分別為5,10,10,8(單位)；售出量分別為10,10,10,8(單位)；以及每

2、月存貯的商品量分別為0(5),0,0,0(單位).從而解出了14月份商店商品的總售價(jià)為396千元；總成本為213.5千元；總的存貯費(fèi)為2.5千元.通過對(duì)以上部分的計(jì)算求出了4個(gè)月內(nèi)商店所獲的最大利潤(rùn)為180.0千元.關(guān)鍵詞：二次規(guī)劃;非線性優(yōu)化;模型分解1 問題的提出某商店在未來4個(gè)月內(nèi)，準(zhǔn)備利用商店里一個(gè)倉(cāng)庫專門經(jīng)銷某種商品，該倉(cāng)庫最多能存放10單位商品.設(shè)商店每月只能售出倉(cāng)庫現(xiàn)有的貨，而每月所購(gòu)的貨只能在下個(gè)月初到貨，又設(shè)該商品在1月初的存貨為5單位，而14月該商品的售價(jià)分別為12，9，13，7（千元），而進(jìn)貨價(jià)則與進(jìn)貨量有關(guān)，分別為其中為第月份的購(gòu)買量.又設(shè)每個(gè)月月底存貨在下個(gè)月的存貯費(fèi)

3、用每單位為千元.試制訂進(jìn)貨及銷售計(jì)劃，使總利潤(rùn)最大.2 問題的分析本問題是一個(gè)有關(guān)商店獲利的運(yùn)籌學(xué)問題，目的是制訂進(jìn)貨及銷售計(jì)劃，使總利潤(rùn)最大，而由題意可以知道:因此，只要對(duì)售出商品總價(jià)、成本、存貯費(fèi)進(jìn)行計(jì)算優(yōu)化，然后再制訂出商品的進(jìn)貨與銷售計(jì)劃，使商店所獲利潤(rùn)最大即可.3 問題的基本假設(shè)與符號(hào)說明3.1 基本假設(shè)1 該倉(cāng)庫最多能存放10單位商品2 該商店每月只能售出倉(cāng)庫現(xiàn)有的貨3 每個(gè)月所購(gòu)的貨只能在下個(gè)月初到貨4 該商品在1月初的存貨為上年剩下的，1月份所到的貨為上年12月所訂5 每個(gè)月月底存貨在下個(gè)月的貯存費(fèi)用每單位0.5千元3.2 符號(hào)的說明 4 模型的建立4.1 售出商品總價(jià)4.2

4、總成本4.3總的存貯費(fèi)用 由假設(shè)4可知: 去年12月份存貨 1月份商品總數(shù)為 1月份剩余商品數(shù)為 2月份剩余商品數(shù)為 3月份剩余商品數(shù)為 4月份剩余商品數(shù)為 由于4月份的存貨其貯存費(fèi)算在5月份內(nèi) 可忽略4月份的存貨不計(jì)即1-4月份四個(gè)月內(nèi)共存貨 總的存貯費(fèi)用為 4.4 目標(biāo)函數(shù): 總利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù):5 模型的求解 所建立的數(shù)學(xué)模型為二次規(guī)劃模型,含有8個(gè)未知量.為了簡(jiǎn)化計(jì)算,把模型分為兩個(gè)分模型,然后再用數(shù)學(xué)軟件(Matlab)求解出最優(yōu)解.5.1 模型的分解我們把目標(biāo)函數(shù)分解為模型:5.2模型的求解的求解：由于此目標(biāo)函數(shù)為二次非線性規(guī)劃,故可以用數(shù)學(xué)軟件(Matlab)中的二次優(yōu)化中的函數(shù)可求

5、出程序 (見附錄一):可以求出:由于為第月份所購(gòu)買的商品量,所以,即取整數(shù).故有從而求得，5.3 模型的求解的求解易由題意知：易知，此分模型為一次線性規(guī)劃模型，也可用數(shù)學(xué)軟件（Matlab）求得與.程序 (見附錄二)：可得到最優(yōu)解為即當(dāng)時(shí)，5.4 的求解所以商店在14月份4個(gè)月內(nèi)所獲得的總的利潤(rùn)最大為千元.即 當(dāng)商店獲得最大利潤(rùn)時(shí)，14月內(nèi)商店對(duì)商品的進(jìn)貨量、售貨量、存貨量以及所獲得總的利潤(rùn)如表所示：月份1234進(jìn)貨量（單位）510108售貨量（單位）1010108月底存貨量（單位）0 (5)000總利潤(rùn)（千元） 180.0并解得,售出商品的總價(jià)為:千元總成本為:總存貯費(fèi)為:千元.6 結(jié)果的分

6、析與檢驗(yàn)6.1 結(jié)果的分析用軟件求得,當(dāng)且時(shí),商店能獲得的最大利潤(rùn)為180.0千元,即是說能把商店的倉(cāng)庫里所有的存貨與所進(jìn)的貨能全售出去的時(shí)候,這時(shí),可不計(jì)月底存貨的存貯費(fèi)用以及用多余的錢去進(jìn)可能售出去的貨.此時(shí),商店獲得的利潤(rùn)最大 .6.2 結(jié)果的檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),而上年的12月份存貨到1月份有5單位的貨,即1月份共有貨 單位.我們知道,即1月份就把貨全售了出去,沒貨存到2月份.此時(shí),1月份的總售價(jià)為千元,存貯費(fèi)用為千元,總的進(jìn)貨價(jià)為千元.1月份所獲利潤(rùn)為千元.同理,2月份共有貨單位,而售出單位,此時(shí)存貨為0單位.這時(shí),2月份的總售價(jià)為千元,存貯費(fèi)為0,進(jìn)貨價(jià)為千元即 2月份所獲的利潤(rùn)為千元同理,我

7、們可得,3月份所獲利潤(rùn)為千元.4月份共有貨單位,而售出單位,此時(shí)不考慮存貨量,也同時(shí)不存在有貨剩余的情況.這時(shí)4月份的總售價(jià)為千元,進(jìn)貨價(jià)為千元,則4月份所獲利潤(rùn)為56-56=0千元.即是說4月份是個(gè)對(duì)商品的訂購(gòu)與銷售的結(jié)束期,并不能使商店獲利.由上述可知,該商店在14月份4個(gè)月內(nèi)工獲利潤(rùn)為千元此時(shí)我們很清楚地知道,檢驗(yàn)的結(jié)果與求解出來的結(jié)果相一致.通過驗(yàn)證,事實(shí)證明,當(dāng)達(dá)到上述方案時(shí),商店能獲得最大的總利潤(rùn).所以我們?cè)撋痰陮?duì)某種商品制訂的進(jìn)貨與銷售的計(jì)劃如下:前3個(gè)月進(jìn)貨的量盡量接近倉(cāng)庫的最大容納的貨量,而第4個(gè)月通過調(diào)查,須適當(dāng)?shù)販p少進(jìn)貨量.即:由于1月初有存貨,因而1月只要進(jìn)貨5單位即可

8、(上年的12月須訂貨),而2、3月份需增加進(jìn)貨量到10單位,然而,考慮到顧客對(duì)同一種商品用久了會(huì)膩,4月須減少進(jìn)貨量到8單位.7 模型的評(píng)價(jià)與推廣在我們所建立的模型的基礎(chǔ)上提出的商品的訂購(gòu)與銷售計(jì)劃可以很好地驗(yàn)證該商店對(duì)某種商品的進(jìn)貨與銷售情況.我們認(rèn)為，這種模型，很好地考慮了商家的利益，同時(shí)也部分地顧慮到顧客的意愿，具有相當(dāng)?shù)膶?shí)際背景.此模型除了適用于商店對(duì)某種商品的進(jìn)貨與銷售的計(jì)劃，同時(shí)還適用于某公司對(duì)某種產(chǎn)品要制訂個(gè)階段的生產(chǎn)計(jì)劃，等等.參考文獻(xiàn)：1 洪毅等. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型M. 廣州:華南理工大學(xué)出版社,1998.62 王沫然. MATLAB6.0與科學(xué)計(jì)算M. 北京:電子工業(yè)出版社,2

9、001.93 程理民等. 運(yùn)籌學(xué)模型與方法教程M. 北京:清華大學(xué)出版社,19994 葉其孝. 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材(三)M. 湖南教育出版社.附錄:一.求解模型一的程序 二.求解模型二的程序 for a1=0:10 for a2=0:10 for a3=0:10 for a4=0:10if a1+a2=10 & a1+a2+a3=20 & a1+a2+a3+a4=27.0833s=13.5*a1+10*a2+13.5*a3+7*a4-10a1,a2,a3,a4,sendendendendendThe order of the merchandise and the mathematic

10、s model of the sale ( 1. Undergraduate course of Department of Mathematics ,2001 gradeclass one ,Shaoguan College,Shaoguan ,Guangdong,China 2. Undergraduate course of Department of Mathematics ,2002 grade,Shaoguan College,Shaoguan ,Guangdong,China )Abstract: This problem is a relevant store strategy

11、 knowledge that make a profit mathematics model for mathematics model for calculation for the fee of total selling price, total cost. This text passing rightly 1 to April in 4 months store sale merchandise and total stockpile, making the total profits the biggest target of the accrual for the functi

12、on, establishing an two- programming of not line optimize model. T his text resolve this model to two cent models:model、, and make use of the mathematics software( Matlab) to beg to solve these two cent models ofs, and have to out 1to 4 monthly of measure respectively for 5,10,10,8 into goods;( unit

13、)Sell to measure respectively for 10,10,10,8;( unit)and the merchandise of the monthly stockpile measure respectively for 0(5),0,0,0( unit). Finally we solve out 1to Aprils total selling price for store merchandise is 396 thousand yuan;the total cost is 213.5 thousand yuan;the total of calculation for stockpiling fee is 2.5 thousand yuan. By