天津市高中數(shù)學 第7講 函數(shù)的綜合應用寒假課程學案 新人教版（通用）

1、第七講 函數(shù)的綜合應用一、知識梳理函數(shù)的綜合應用函數(shù)的解析式函數(shù)的圖象和性質函數(shù)的值域和最值函數(shù)與方程函數(shù)與不等式函數(shù)與實際問題（數(shù)學模型）二、方法歸納1. 函數(shù)綜合應用的重點函數(shù)的綜合應用重點解決好四個問題：準確深刻地理解函數(shù)的有關概念；揭示函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系；把握數(shù)形結合的思想和方法；認識函數(shù)思想的實質，強化應用意識.準確、深刻理解函數(shù)的有關概念概念是數(shù)學的基礎，函數(shù)概念是數(shù)學中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學代數(shù)的始終.數(shù)、式、方程、不等式、初等函數(shù)等都是以函數(shù)為中心的代數(shù).揭示函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學概念，是變量數(shù)學的基礎，利用函數(shù)觀點可

2、以從較高的角度處理數(shù)、式、方程、不等式、直線與圓的方程等內容.所謂函數(shù)觀點，實質是將問題放到動態(tài)背景上去加以考慮.在利用函數(shù)和方程的思想進行思維中，動與靜、變量與常量生動的辯證統(tǒng)一，揭示了函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.把握數(shù)形結合的思想和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質的數(shù)量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想與方法.因此，既要從定形、定性、定理、定位等方面精確地觀察圖形、繪制簡圖，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的常規(guī)變換，體現(xiàn)了“數(shù)”變換與“形”變換的辯證統(tǒng)一.認識函數(shù)思想的實質，強化應用意識函數(shù)思想的實質就是應用聯(lián)系

3、與變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)模型，求得問題的解決.函數(shù)思想方法的應用不但重要，而且廣泛，必須強化函數(shù)建模思想的應用，學會運用函數(shù)建模的思想方法解決實際問題.2.高中上學期函數(shù)的應用（1）函數(shù)圖象、性質與最值的綜合應用；（2）函數(shù)與方程、不等式的綜合應用；（3）函數(shù)模型的綜合實際應用. 三、典型例題精講【例1】已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則（ ）A. B.C.D.解析：由條件，由此解得，.所以，故選B技巧提示：這是函數(shù)的解析式與函數(shù)的奇偶性的綜合，屬于函數(shù)自身性質間的綜合，難度不大，高考常作選擇題.又例：設函數(shù)和分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論恒成立的是（）

4、 A.+|是偶函數(shù) B.-|是奇函數(shù)C.| +是偶函數(shù) D.|- 是奇函數(shù)解析：因為是R上的奇函數(shù)，所以是R上的偶函數(shù)，從而是偶函數(shù)，故選A.【例2】已知函數(shù)，若關于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是_.解析： 單調遞減且值域為(0，1，單調遞增且值域為（，1），有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（0，1）.技巧提示：這是函數(shù)與方程的綜合.根據(jù)函數(shù)的單調性可以作出函數(shù)的簡圖，數(shù)形結合時，把方程視為常數(shù)函數(shù)，問題被等價轉換為兩函數(shù)圖象有兩交點，容易得到的取值范圍.又例：已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值等于（）A.3 B.1 C.1 D.3解析：顯然，問題轉化為求方程的解.由函數(shù)，得，.故選A.

5、再例: 設函數(shù)， 若，則實數(shù)（）A.4或2 B.4或2 C.2或4 D.2或2解析：由，得；由，得，.故選B.【例3】函數(shù)的值域是（ ）A. B.C. D.解析：0，即 .故選C.技巧提示：由求函數(shù)的值域，轉化為解簡單的指數(shù)不等式，題目并不難.若改為函數(shù)的定義域，有0，即.而函數(shù)是上的增函數(shù)，定義域為.又例：設函數(shù)則滿足2的的取值范圍是（）A. 1，2 B. 0，2 C. 1，） D. 0，）解析：2時，01； 又2時，1.滿足2的的取值范圍是0，），故選D.再例: 若，則定義域為（ ）A. B. C. D. 解析：由解得，故，選A.【例4】函數(shù)，（1）若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.（2）若

6、的定義域為2，1，求實數(shù)的值.解析：（1）若，即.當1時，定義域為R，適合；當1時，定義域不為R，不符合. 若，記為二次函數(shù).定義域為R，對恒成立.；綜合、得的取值范圍. （2）命題等價于不等式的解集為2，1，顯然.且、是方程的兩根，解得的值為2.技巧提示：這是二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式的綜合問題，需要靈活地進行等價轉換.在第一問中，需要對進行分類討論.又例：設函數(shù)，求使成立的的取值范圍.解析：由于是增函數(shù)，等價于（1）當1時，2，式恒成立.（2）當11時，2，式化為 2，即1.（3）當1時，2，式無解.綜上的取值范圍是.再例：設函數(shù)，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .解析：依

7、據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立.當時函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或【例5】已知.（1）求的定義域；（2）證明為奇函數(shù)；（3）求使0成立的的取值范圍.解析：（1），即.，即的定義域為.（2），為奇函數(shù). （3）當1時，0，則，即，.因此，當1時，使的的取值范圍為（0，1）.當時，由，有，則，解得.因此，當時，使的的取值范圍為（1，0）.技巧提示：（1）、（2）小題為對給定函數(shù)性質的綜合研究，需要對基本初等函數(shù)性質的牢固掌握；（3）小題是函數(shù)與不等式的綜合問題，需要利用函數(shù)的性質對不等式進行等價轉換.又例：已知函數(shù)， 且， （1）求函數(shù)的定義域； （2）求使的的取值范圍.解析：（1）由0且，

8、得 0，函數(shù)的定義域為. （2）由0，知當1時，1；當時，1且0.【例6】設函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有.（）試判斷函數(shù)的奇偶性；（）試求方程在閉區(qū)間2020，2020上的根的個數(shù)，并證明你的結論.解析：（）由于在閉區(qū)間0，7上，只有，故.若是奇函數(shù)，則，矛盾.所以不是奇函數(shù).由，從而知函數(shù)是以為周期的函數(shù).若是偶函數(shù)，則.又，從而.由于對任意的（3，7上，又函數(shù)的圖象的關于對稱，所以對區(qū)間7，11）上的任意均有.所以，這與前面的結論矛盾. 所以，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（）由第（）小題的解答，我們知道在區(qū)間（0，10）有且只有兩個解，且.由于函數(shù)是以為周期的函數(shù)，故.所以在區(qū)間2000

9、，2000上，方程共有個解.在區(qū)間2000，2020上，方程有且只有兩個解.因為，所以，在區(qū)間2000，2020上，方程有且只有兩個解.在區(qū)間2020，2000上，方程有且只有兩個解.因為，所以，在區(qū)間2020，2000上，方程無解.技巧提示：函數(shù)圖象的對稱性與函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的周期性密切相關.第（1）小題需要綜合利用所給函數(shù)的對稱性及零點，再根據(jù)奇偶函數(shù)的特征作出判斷.事實上由就能判斷不是奇函數(shù).又如果的圖象關于對稱，那么因為的圖象關于和對稱，可知4，10，14都是函數(shù)的周期.于是由得，這就產生了矛盾，所以的圖象不能關于對稱，不是偶函數(shù).第（2）小題是根據(jù)函數(shù)周期性和函數(shù)在一個周期內的零點

10、，數(shù)出函數(shù)在給定區(qū)域內的零點.又例：偶函數(shù)的定義域為，且對于任意，都有，又當時，則當時， .解析：偶函數(shù)滿足，得的周期為4.又偶函數(shù)當時，得時，.當時，.綜上所述，方程個解?！纠?】如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是O的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長和腰長間的函數(shù)式，并求出它的定義域.解析：如圖所示，AB2R，C、D在O的半圓周上設腰長ADBC，作DEAB，垂足為E，連結BD，那么ADB是直角，由此RtADEABD.2RE即所以即再由解得周長與腰長的函數(shù)式為： ，定義域為：.技巧提示：從問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系式，

11、再研究函數(shù)關系式的定義域，并結合問題的實際意義做出回答，這個過程實際上就是建立數(shù)學模型的一種最簡單的情形.B CD又例：用長為m的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2，求此框架的面積與的函數(shù)式，并寫出它的定義域.解析：如圖設，則CD弧長，于是AD ， 因此，再由 解之得.即函數(shù)式是：，定義域是：.四、課后訓練1.函數(shù)的定義域是（ ）A. B. C. D.2.設奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D.3.設是R上的任意實值函數(shù)，如下定義兩個函數(shù)和：對任意，；.則下列等式恒成立的是（ ）A. B.C. D.4.已知，（是常數(shù)，2），且.（1）

12、求；（2）若.求.5.已知是定義在上的奇函數(shù)，且1，若， 時，有0.（1）判斷函數(shù)在1，1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結論；（2）解不等式：.6.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若1，求的值. 7已知二次函數(shù)為常數(shù)，且滿足條件：，且方程有等根.（1）求的解析式；（2）函數(shù)在的最大值為，求解析式.8.一家報刊攤點從報社進報的價格是每份0.12元，賣出的價格是每份0.20元，賣不掉的報紙還可以以每份0.04元的價格退回報社，在一個月（以30天計算）里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天能賣出250份.但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，他應該每天從報社買進多少份，才能使每月所獲得的利潤最大？并計算他一個月最多賺得多少元.五、參考答案1.2.D3.4.解析 （1）， 于是，有， ，解之，.（2）， ，. 5.（1）在1，1上是增函