期權的二叉樹定價模型

1、1、期權的二叉樹價格模型在實際金融市場最重要的問題是，在一定條件下，期權價格的合理值應該是多少，本節(jié)研究了對象資產(chǎn)離散且連續(xù)的情況下的歐元購買期權(call option )價格問題進行期權準確評價的一種常用方法是構建二叉樹圖。 此二叉樹的圖可以描述目標資產(chǎn)(股份)可以在可選的有效期內(nèi)到達的路徑。 2，1，單期二叉樹模型，1 .二叉樹模型的例子先看下面的例子。 假設某股票目前價格為$20，三個月后，股票價格可能為2美元22美元或$18美元。 假設股票不支付獎金，我們將在三個月后以$21的執(zhí)行價格評估購買股票的歐元買入期權。 根據(jù)期權合同的定義，在期權的到期日，如果股價為$22，期權的價值為$1

2、；如果股價為$18，期權的價值為0。 3、股票和期權的取法如圖所示，4、根據(jù)對沖定價的思想，根據(jù)期權定價，對沖定價的前提條件，如何利用二叉樹模型進行期權定價。 我們能構筑股票和期權的投資組合，特別是把股票和期權分別做成合適的頭型，我們能構筑期權和該股票的頭型的無風險組合，無風險組合的價值三個月底就能確定。 因為這個組合沒有風險，所以基于對沖的前提條件，所以這個組合的收益率一定等于沒有風險的收益率，由此，求出關于期權價格的方程式，通過解這個方程式，可以求出期權價格。 組合只有兩種證券(股票和股票期權)，結果只有兩種，所以只要選擇合適的股票和期權的比例，我們就一定能建立沒有風險的組合。 5、建立以

3、下證券組合： 此組合包含股多頭尺寸和購買期權的空頭尺寸。 首先計算的值有多少，結構的組合就成為沒有風險的組合。 股價從$20上升到$22時，股票價值為22，期權價值為$1，在此情況下，該證券組合價值為22-1，股價從$20下降到$18時，股票價值為18，期權價值為0，在此情況下，該證券的選擇特定的值，兩者的組合的最終價值相等的話，證券組合一定是沒有風險的組合。 即，22-1=18，因為求出的：=0.25，6，所以根據(jù)以上求出的值，多頭： 0.25股的股票的賣空：價格上升到$22時，這個組合的價值是，22*0.25-1=4.5股的價格下降到$18 無論股價如何變化，最終上升還是下降，期權的有效期

4、結束后，我們構建的證券組合的價值總是$4.5。 7、在無對沖的假設下，無風險證券組合的收益率一定是無風險的利率。 假定無風險利率為年率12%。 這個組合的現(xiàn)值一定是$4.5，也就是說可以用f來表示期權的價格。 因為我知道股票的當前價格是$20，所以此組合的當前價值是20*0.25-f=5-f，5-f=4.367中求出的f=0.633，除非對沖前提，否則期權的價值一定是$0.633。 8、如果期權價值超過$ 0.633，投資者就會發(fā)現(xiàn)這種組合的成本可能低于$ 4.367，而額外的利潤超過無風險利率，與套期保值的前提條件相矛盾，如果期權價值低于$ 0.633，投資者就會把這種證券組合這與套利的前提

5、條件相矛盾。從9，2期權的二叉樹計算公式中，考慮不支付紅利的股票，把股票的現(xiàn)行價格設為s，把該股票作為目標資產(chǎn)，把有效期設為t，把某期權的價格設為f，在將來的t時股票的價格取2種值的情況下，股票的價格從s上升到新的價格，或從s更新股價向下變化時，股價減少率為1-d。 在期權的有效期t時，我們可以基于股票的獲取情況計算期權的獲取情況。 在股價變化為Su時，我們假定期權收益為fu，在股價變化為Sd時，我們假定期權收益為fd。 利用前面例子的想法，可以利用股票和期權合同建立無風險的證券的組合。 在證券組合中選擇股的多頭尺寸和期權合同的空頭尺寸構成證券組合。 為了使這個證券的組合成為沒有風險的組合，需

6、要計算股票多頭英寸數(shù)的具體取法。 10、股價和期權價格的單步二叉樹圖，SufuSdfd股價從s上漲到su，該組合的價值從Su - fu股價從s下降到sd，該組合的價值從su到sd，該組合的價值從su到sd 11、上述證券組合無風險組合無論股價上升還是下降，在期權的到期日，上述兩個值必須相等，即Su - fu=Sd - fd是整理得到的(1)，12，組合中股票的結構組合一定是沒有風險的組合，根據(jù)沒有對沖的假設條件，組合的收益一定是沒有風險的利率。 如果用r表示無風險的利率，則其組合的現(xiàn)值為S -f，所以在上式中代入，則使用(2)、(3)、13 )單期二叉樹模型公式來估計期權的價值，u=1.1、d

7、=0.9、r=0.12、T=0.25、fu=1、FD=。 由式得到的p=(e0.03-0.9)/(1.1-0.9)=0.6523選項的價值與先前的計算結果相同。 我們注意到，14，3期權的風險中性價格，二叉樹期權的計算公式?jīng)]有利用股票上漲和下降的概率。 例如，在上升概率為0.5時計算的歐元期權價格與在上升概率為0.9時計算的歐元期權價格相等。 直觀上認為，如果股價上升的概率增加，基于股票的收購期權的價值也增加，收購期權的價值也會減少，這是自然的。 事實上，情況并非如此。 雖然沒有必要假定股價上升和下降的概率，但是根據(jù)期權計算公式，變量p可以解釋為股價上升的概率，所以變量1-p是股價下降的概率。

8、 十五、期權的預期收益。 根據(jù)這樣的p的解釋，公式意味著期權的現(xiàn)值是通過無風險利率減去未來期權的期望值的值。 16、假設上升變化的概率，考察股票的預期收益。 t時預測的股價由下式給出：將p式代入上式，簡化：上式的說明，股價平均以無風險的利率增加。 因此，上升變化的概率等價于假定股價收益為無風險利率。 (4)、17、所有投資者都是風險中性的世界，被稱為風險中性世界(risk-neutraldl )。 在這樣的世界里，投資者對風險不要求補償，證券市場的所有證券的預期收益假定為無風險的利率。 公式(4)表示：將上升變化的概率設定為時，假定所有投資者都是風險中立。 公式(2)的說明：在風險中性世界中，

9、設定期權價格時，可以假定證券市場上所有證券的預期收益是無風險利率，期權的價值是用無風險利率減去的值。18、采用風險中性價格法計算上述例題，發(fā)現(xiàn)股價現(xiàn)在為$ 20，3個月末股價有可能上漲到$22或下降到$18。 本例中考慮的期權是實行價格為$21，有效期為3個月的歐元購買期權，無風險利率為年利率12%。 在風險中性假設下股價上升變化的概率是p。 在這樣的世界里，股票的預期收益率一定等于無風險利率的12%。 這意味著必須滿足22p 18 (1- p )=20e 0.12 * 0.25 p=0.6523。 在三個月結束時，期權價值為$1的概率為0.6523，價值為0的概率為0.3477。 因此，期權的預期值與通過用0.6523 1 0.3477 0=$0.6523無風險的利率折扣得到的： 0.6523e-0.12*0.25=0.633的計算結果相同，這是套期保值理論和、19、二、二叉樹模型的應用很明顯，期權有效期內(nèi)的股價變化只由一期或二期構成，不符合金融市場股價的實際變化情況。 因此我們列