自動控制原理第六版課件 第二章

1、本章重點、難點與考點,一、重點：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖變換與簡化、梅遜公式,二、難點：傳遞函數(shù)含義及性質(zhì)的理解、結(jié)構(gòu)圖的簡化、梅遜公式的應(yīng)用等,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,三、考點： 1、求實際系統(tǒng)的微分方程、動態(tài)框圖和傳遞函數(shù)； 2、求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； 3、把方框圖變換成信號流圖。,21 引言,1關(guān)于數(shù)學(xué)模型, 定義：用以描述控制系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的 數(shù)學(xué)表達(dá)式。有靜態(tài)模型與動態(tài)模型之分。（Page21前言）, 形式：,時域模型（t）：微分/差分/狀態(tài)方程等；,復(fù)域模型（s=+j）：傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖；,頻域模型（）：頻率特性。, 特點及建模原則：（略）,2 建模方法及步驟,

2、 方法：分析法（主）和實驗法；, 主要步驟：, 確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量； 從輸入端開始，依次列寫各元件/環(huán)節(jié)的運動方程式（如微分方程）； 消去中間變量，并將其化為標(biāo)準(zhǔn)注形式。,注：標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項放在方程右邊，與輸出量有關(guān)的各項放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列，并將方程中的系數(shù)通過系統(tǒng)的參數(shù)化具有一定物理意義系數(shù)的一種表達(dá)形式。,22 實例分析,例題1：P21例題2-1,例題2：RC無源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u1為輸入量，u2為輸出量列寫該網(wǎng)絡(luò)的微分方程式。,解： u1為輸入量，u2為輸出量；, 設(shè)回路電流分別為i1，i2，如圖所示；,則有：,i1 R1+（i1i2）dt/C

3、1 = u1,i2 R2+ (i2dt) /C2=（i1i2）dt /C1,(i2dt) /C2 = u2, 消去中間變量i1，i2后，化為標(biāo)準(zhǔn)形式：,R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1,23 非線性數(shù)學(xué)模型線性化,1 線性系統(tǒng)的特性：,1）能夠用線性微分方程來描述。,2）不同類型的元件或系統(tǒng)可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。,3）可應(yīng)用疊加原理，即具有可疊加性和均勻性（齊次性）。,2小偏差線性化 （自學(xué)）,24 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),1. 線性定常系統(tǒng)微分方程的求解：,目的：尋求系統(tǒng)輸出隨時間t 變化的規(guī)律。 （求輸出響應(yīng)）,方

4、法：, 經(jīng)典法：微分方程 - 時域解 c（t）, 拉氏變換法：微分方程 -復(fù)域解 C（s）, 計算機求解法。,例題1：右圖所示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。,解: 設(shè)輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)， 寫出電路微分方程,其中：T=RC, 且,故有,解得,由于Ur(s)= uo / s , 故,所以,例題2： 在下圖中，已知L=1H，C=1F，R=1，uc（0）=0.1V, i(0)=0.1A, ur(t)=1V。試求電路在通電瞬間uc（t）的變化規(guī)律。 (P26例2-6),解：在教材P21例題2-1中已求得該電路的微分模型：,對上式兩邊求拉氏變換：,

5、LCs2Uc（s）-suc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s）= Ur（s）,由于 u c（0）= u c（t）t=0 =i（0）/C,將已知各條件代入后有：,（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2),即,通電瞬間, ur（t）=1 或 Ur（s）=Lur（t）=1/s,故,再對上式兩邊求反拉氏變換：,=1+1.15e-0.5tsin(0.866t-120)+ 0.2e-0.5tsin(0.866t+30),例題3：已知某系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為,其中x（t）, y（t）分別為輸入、輸出量,且知x（t）=(t), y(0-)= y (0-)=0， 求y（

6、t）的表達(dá)式.,解: 對微分方程兩邊求拉氏變換：,s2Y（s）-s y (0-)- y(0-)+2sy（s）- y (0-)+2Y（s）= X（s）,代入已知條件，注意X（s）=Lx（t）=L(t)=1,整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）,故 y（t）= L-1Y（s）= L-11/（s2+2s+2）,=(1/2j) L-1 1/（s+1-j）-1/（s+1+j）,=(1/2j) e-（1-j）t- e-（1+j）t = e-tsint,拉氏變換法求解微分方程的過程：P27, 考慮初始條件，對微分方程中的各項求拉氏變換；, 求取輸出量的拉氏變換式；, 再求取輸出量的拉氏變換式的反拉氏變

7、換，求解之。,2. 傳遞函數(shù), 定義: 在零初始條件 *下，線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。表示為：,* 零初始條件：指當(dāng)t0時，系統(tǒng)輸入r（t）、輸出c（t）以及它們的各界階導(dǎo)數(shù)均為零，即：,r(0-)=c (0-)= r(0-)=c(0-) = r（n）(0-)=c（n）(0-)=0, 傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)：, 它是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)。具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；, 它只與系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號的形式（大小、性質(zhì)）無關(guān)；, 其拉氏反變換是脈沖(t)輸入下的響應(yīng)函數(shù)g(t)；, 它與S平面上一定的零、極點圖相對應(yīng)。, 傳遞函數(shù)的局限性：,只適用于描述線性定常SI

8、SO系統(tǒng)，也只直接反應(yīng)系統(tǒng)在零初始條件下的動態(tài)特性。,25 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),1. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其單位階躍響應(yīng),2. 傳遞函數(shù)的求取,例題1：RC無源網(wǎng)絡(luò)電路如下圖所示，試以u1為輸入量，u2為輸出量,試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。,解： u1為輸入量，u2為輸出量；, 設(shè)回路電流分別為 i1，i2，如圖所示，,則有：R1R2C1C2u2+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2+ u2= u1,在零初始條件下對上式求拉氏變換,得:,R1R2C1C2s2U2(s)+( R1C1+ R1C2+ R2C2) sU2(s)+ U2(s) = U1(s),例題2： 在下圖中，已知L=1

9、H，C=1F，R=1。試求該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。,解：在教材P21例題2-1中已求得該電路的微分模型：,對上式兩邊求拉氏變換：,LCs2Uc（s）-suc（0）-u c（0） +RCsUc（s）-uc（0）+ Uc（s） = Ur（s）,即: LCs2Uc（s） + RCsUc（s）+ Uc（s） = Ur（s）,故: G(s) = Uc（s）/ Ur（s）=1/ LCs2 + RCs+ 1 = 1/(s2+s+1),3 . 無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取-復(fù)阻抗法,無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容和電感組成。,無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取,一般有兩種方法：, 復(fù)阻抗法: 依據(jù)電路理論復(fù)阻抗概念有,電阻R的復(fù)阻

10、抗為: ZR=R,電容C的復(fù)阻抗為: ZC=1/Cs,電感L的復(fù)阻抗為: ZL=Ls,例題3: 求下圖所示電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)G(s)。,解： 將電源等效為復(fù)阻抗電路, Z1=ZR1ZC1/（ZR1+ZC1）=R1/（R1C1s+1）；,Z2= ZR2+ZC2 =（R2C2s+1）/C2s；, G（s） =U2/U1= Z2 /（Z1 +Z2）,=（R1C1s+1）（R2C2s+1）/（R1C1s+1）（R2C2s+1）+ R1C2s,注：請用“傳遞函數(shù)定義法”求解該例題。,4 . 有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)求取,例題4：有源網(wǎng)絡(luò)如圖（1）所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果.直接用于圖（

11、2）所示調(diào)節(jié)器，寫出其傳遞函數(shù)。,圖（1）,圖（2）,解： 1）對于圖（1）,Zi和Zf分別表示放大器外部電路的輸入支路及反饋支路的復(fù)阻抗，,設(shè)A點虛地，即UA=0，則I1=I2,所以, 上述求得的傳遞函數(shù)表達(dá)式可以看做計算運算放大器傳遞函數(shù)的一般公式。,2）對于圖（2）,因為,所以,例題5：求下圖有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)（結(jié)構(gòu)圖）。,(1)、根據(jù)基爾霍夫列寫出網(wǎng)絡(luò)的微分方程式,(2) 、在零初始條件下對上述方程組求拉氏變換,(3) 、消除中間變量，得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù),試建立以下各圖所示系統(tǒng)的微分方程。圖中電壓ur和uc為輸入量和輸出量。（傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖）,（a）,（c）,（b）,（d）,補

12、充習(xí)題一、無源網(wǎng)絡(luò),求取下圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的微分方程及傳遞函數(shù)，并畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,（a）,（c）,（b）,（d）,補充習(xí)題二、有源網(wǎng)絡(luò),26 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其簡化,1. 結(jié)構(gòu)圖,、 定義: 由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的、并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)框圖。, 、構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖的基本要素：, 相加點（比較點、綜合點）：多個信號疊加。, 分支點（引出點、測量點）：同一信號分成多個信號。,2. 結(jié)構(gòu)圖的繪制 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的繪制, 與傳遞函數(shù)求取一樣，亦相應(yīng)地有兩種方法。, 繪制步驟：,A、列寫每個元件的運動方程式或傳遞函數(shù)；,B、畫出相應(yīng)的局部框圖；,C、將這些方框圖按信號流向連接起來，得到系統(tǒng)框圖。, 舉

13、例說明,例題1 畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。,解：）列寫運動方程式或用復(fù)阻抗法,） 繪制各元件框圖,） 繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號點）,U1（s）,I（s）,I（s）,U2（s）,U2（s）,解：）用復(fù)阻抗法列寫方程,） 繪制各元件框圖,例題2 試畫出下圖所示四端網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。,） 繪制系統(tǒng)框圖（連接等信號點）,例題3，RC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖下，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。,解：）用復(fù)阻抗法列寫運動方程式時，依據(jù)是廣義的歐姆定律,ii）用復(fù)阻抗法列寫復(fù)域方程式如下,iii）結(jié)構(gòu)圖如下（分步過程略）, 串聯(lián)連接,結(jié)論1： 串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。,3.

14、 結(jié)構(gòu)圖的簡化,結(jié)構(gòu)圖的簡化原則：簡化前后保持“信號等效”的原則。, 結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。, 并聯(lián)連接,其中 G（s）= G1（s） G2（s）,結(jié)論2： 并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。, 反饋連接,當(dāng) H（s）=1時 系統(tǒng)為單位反饋：, 開環(huán)傳遞函數(shù)：,定義： 反饋信號B（s）與誤差信號E（s）之比?；颍?前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)之乘積。,表示為： B（s）/ E（s）= G（s）H（s） 其中 G（s）-為前向通道傳遞函數(shù)； H（s）-為反饋通道傳遞函數(shù)。,注意： 1） 開環(huán)傳遞函數(shù)指的是閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)時的傳遞函數(shù)，而不是開環(huán)系統(tǒng)

15、的傳遞函數(shù)； 2） 它與梅遜公式中回路增益的含義不同，因為它不包含反饋的極性，回路增益則包含反饋的極性。, 閉環(huán)傳遞函數(shù)（教材P55-56）：,（） 消去中間變量E、B、 X1 、X2后，得到系統(tǒng)的總輸出為：,G1（s）G2（s） G2（s） C（s）= R（s） + N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,上式說明：C（s）是 R（s）與 N（s）共同作用的結(jié)果。,討論如下：, R（s）0，N（s）=0時，則有 :,G1（s）G2（s） C（s）= R（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,C（s） G1（s）G2（s） （s） = = R（s）

16、 1+ G1（s）G2（s）H（s）,-輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。, N（s）0，R（s）=0時，則有,G2（s） C（s）= N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,C（s） G2（s） n（s） = = N（s） 1+ G1（s）G2（s）H（s）,-擾動信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,綜上所述，系統(tǒng)的總輸出為：,C（s）= （s）R（s）n（s）N（s）,其等效結(jié)構(gòu)圖為：,（） 消去中間變量C、B、 X1 、X2后，得到系統(tǒng)的總誤差為：,上式說明：E（s）也是R（s）與N（s）共同作用的結(jié)果。,討論如下：, R（s）0，N（s）=0時，則有,-輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù)。, N（

17、s）0，R（s）=0時，則有,-擾動信號作用下的誤差傳遞函數(shù)。,綜上所述，系統(tǒng)的總誤差為：,E（s）=e（s）R（s）en（s）N（s）,同樣地，其等效結(jié)構(gòu)圖為：, 相加點的移動：根據(jù)信號等效的原則，可以將相加點順著或逆著信號傳遞的方向移動。, 前往后移,（X1X2）G（s）= X3,X1G（s）X2G（s）= X3,X1 G（s）X2= X3,X1X2/G（s） G（s）= X3,小結(jié)，相加點的移動規(guī)則為：,a、從前往后移動相加點時，要在移動支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框； b、從后往前移動相加點時，要在移動支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框；, 后往前移, 分支點的移動：移動原則同“相加點的

18、移動”。, 前往后移, 后往前移, 從前往后移動分支點時，要在移動支路中串入相同傳遞函數(shù)之倒數(shù)的方框； 從后往前移動分支點時，要在移動支路中串入相同傳遞函數(shù)的方框；,小結(jié)，分支點的移動規(guī)則為：, 相鄰相加點之間、相鄰分支點之間可以互相調(diào)換位置。, 相鄰相加點與分支點之間不可以互相調(diào)換位置，而需要按照“信號等效原則”進(jìn)行變換。,4結(jié)構(gòu)圖的簡化例題分析,例題 1 利用結(jié)構(gòu)圖等效簡化方法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。,解：在簡化過程中，可以有多種形式，比如此例：,采用第種情況簡化：,再簡化橢圓區(qū)域的局部正反饋，得：,再依次逐步簡化：,系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,解：,方法1：A移動到B, A移動到B后 ，

19、A、B互相調(diào)換位置,例題2 試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（s）/ R（s）。,A,B,系統(tǒng)的C（s）/ R（s）,方法2：B移動到A （略）, 局部簡化,例題3 試?yán)媒Y(jié)構(gòu)圖等效變換原則，簡化下述結(jié)構(gòu)圖，并求取系統(tǒng)的C（s）/ R（s）。,解：（1） 同時將B處相加點前移、C處分支點后移：,（2） 同時進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián),A,B,C,（3）系統(tǒng)的C（s）/ R（s）,C（s） G1(s)G2(s) = R（s） 1+ G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)H(s),例題4 教材P45：例2-11、P46：例2-12。,例題5在保持系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)不變的條件下將圖(a)

20、所示框圖變換成圖(b)、(c)，并求H(s)、G(s)的表達(dá)式。,解：(1)、框圖（a）變換為圖（b）的變換過程如下,比較圖（b）可得,框圖（a）,比較圖（c）可得,（2）、框圖（a）變換為圖（c）的變換過程如下,框圖（a）,例題4求取下述結(jié)構(gòu)圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。,為了求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，先計算下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：,解：方法一,由上圖可得,即,故有,因此，上述系統(tǒng)可等效為,所以，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,將,代入上式，得,方法二：信號流圖法利用梅遜公式求取(后續(xù)內(nèi)容),該圖有5個回路，4條前向通路。,L1=G1，L2=G1G2，L3=G2，L4=G2G1，L5=G1G2,5

21、個回路分別是,4條前向通路及對應(yīng)的特征余子式分別為,P1=G1， P2=G1G2， P3=G2， P4=G2G1,1=1， 2=1， 3=1 ， 4=1,特征式為,同樣，將G1、G2代入下式可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù), 信號流圖的構(gòu)成, 構(gòu)成信號流圖的基本元素是：節(jié)點 和 支路,節(jié)點： 表示變量或信號的點。以“ o ”表示，并標(biāo)明變量名。,支路： 連接兩個節(jié)點的定向線段。以“ ”表示。,其中，節(jié)點又分為三種：,2.7 信號流圖及梅遜公式,1 信號流圖, 定義：指由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)?；蛑敢环N表示一個線性代數(shù)方程組的網(wǎng)絡(luò)圖。,開通道：通道與任何一個節(jié)點只相交一次。 閉通道（回環(huán)）：通

22、路的終點回到起點，而通道與任何其它節(jié)點只相交一次。“自環(huán)”即閉通道的一種特殊情況。 前向通道：從源點開始到匯點結(jié)束的開通道。,（）、傳輸：兩個節(jié)點之間的增益，即支路增益。,通道傳輸：通道中各支路傳輸?shù)某朔e。 回環(huán)傳輸（回路增益）：閉通道中各支路傳輸?shù)某朔e。 自環(huán)傳輸：自回環(huán)所具有的傳輸。, 信號流圖的性質(zhì) （教材P48）（1）（4）, 信號流圖中常用術(shù)語,（）、通道（通路）：從一個節(jié)點開始，沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。,2 信號流圖的運算, 加法（并聯(lián)）, 乘法（串聯(lián)）, 分配法（消去混合節(jié)點）, 自回路簡化,a1 X1+ a2 X2 = X2, 反饋回路簡化,X2 = a1 X1 a

23、3 X3 X3 = a2 X2,3 信號流圖的繪制,例題1 設(shè)有某線性系統(tǒng)的性能可由下列方程組來描述，試?yán)L制該系統(tǒng)的信號流圖。,解： 畫出節(jié)點（變量）：y1、 y2 、y3 、y4 、y5 。, 分別繪制各方程的信號流圖。, 整理系統(tǒng)信號流圖。,B). 以s域代數(shù)方程中的每一個變量為一個節(jié)點，各系數(shù) 為支路增益，繪制各方程的信號流圖。,例題2 見下頁。,例題2已知控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。繪出相應(yīng)的信號流圖。,解：系統(tǒng)信號流圖為（先確定各個節(jié)點、支路及其增益）,例題3 試?yán)L制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖。(教材P50例2-13),1 2 3 4 5 6,解：1） 選取節(jié)點如圖所示；,2） 支路中的傳遞函數(shù)即為支路增益；,3） 注意符號并整理得到系統(tǒng)信號流圖如下：,1 2 3 4 5 6,4 梅遜公式,1） 梅遜公式表達(dá)式： （其分析過程 P55-57：略）,1 n P = Pkk k=1,說明:,P系統(tǒng)總增益（系統(tǒng)傳遞函數(shù)）；PK第K條前向通道的傳輸；n 從源點到匯點的前向通道總條數(shù)； 特征式： =1LaLbLcLdLeLf ,其中：La 所有不同回路的增益之和；