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1、專題3 數(shù)列與遞推【高考趨勢】近幾年高考中,數(shù)列問題除在小題中有兩題左右外,大題常在最后兩題之一的位置。小題一般為概念性問題,只要掌握等差、等比的基本屬性便能解決,而大題的綜合性較強(qiáng),常從數(shù)列的遞推關(guān)系式入手,化歸為等差或等比數(shù)列,求出其通項(xiàng)公式,再進(jìn)一步研究其和,構(gòu)造不等式等,在證明不等式時,常利用函數(shù)的思想解決有關(guān)問題。【考點(diǎn)展示】1、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=3n+1-a,則實(shí)數(shù)a的值為 。2、等差數(shù)列an中,a1=1,a3+a5=14,其前n項(xiàng)和Sn=100,則n等于 。3、若f(n)=1+(nN*),則按此形式寫出f(1)的表達(dá)式應(yīng)有f(1)= (不必算出最后結(jié)果)4、設(shè)an為公
2、比q1的等比數(shù)列,若a2004和a2005是方程4x2-8x+3=0的兩根,則a2006+a2007= 5、在等差數(shù)列an中,a5=4, a7=-2,則|a1|+|a2|+|a10|= 【樣題剖析】 例1、設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列。 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)令bn=lna3n+1, nN*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn。例2、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足Sn1,且6Sn=(an+1)(an+2), nN*。 (1)求an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列bn滿足an(2bn-1)=1,并記Tn為b
3、n的前n項(xiàng)和,求證:3Tn+1log2(an+3), nN*。例3、在數(shù)列an中,a1=2, an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*),其中0。 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn; (3)證明:存在kN*,使得對任意nN*均成立。例4、已知函數(shù)f(x)=x2-4,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線與x軸的交點(diǎn)(xn+1,0)(nN*),其中xn為正實(shí)數(shù)。(1)用xn表示xn+1;(2)若x1=4, 記an=lg, 求證:數(shù)列an成等比數(shù)列,并求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;(3)若x1=4, bn=xn-2, Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,求證:Tn3(nN*
4、).【總結(jié)提煉】 1、數(shù)列的基本問題還是等差與等比數(shù)列問題,高考命題一般還是圍繞它們來命題,學(xué)會用基本量求解運(yùn)算是一種通性通法,應(yīng)熟練掌握。2、數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù),因此很多數(shù)列問題又可用函數(shù)的觀點(diǎn)與方法解決,如例2就是利用函數(shù)思想,研究函數(shù)的單調(diào)性而使問題得以解決的。3、數(shù)列的問題除一些定量計算外,常還需對有限項(xiàng)或無限項(xiàng)的和進(jìn)行估計,從而形成不等問題,而化歸為等差或等比數(shù)列求和是根本思想?!咀晕覝y試】1、設(shè)數(shù)列an是遞增的等差數(shù)列,若前三項(xiàng)的和為15、積為80,則它的首項(xiàng)等于 。2、在等比數(shù)列an中,若前n項(xiàng)和Sn=25,前2n項(xiàng)和S2n=100,則前3n和S3n等于 3、設(shè)等差數(shù)列an
5、的公差d不為0,a1=9d,若ak與a2k的等比中項(xiàng),則k等于 4、等差數(shù)列an中,首項(xiàng)a10,3a7=7a12, 記Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sn中最大的項(xiàng)為第 項(xiàng)。5、若一個等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為34,最后3項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為780,則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 。6、若f(x)=, 利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可求得f(-4)+f(-3)+f(0)+f(4)+f(5)= 7、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,則an的公比為 。8、已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列,其中a7=1, 且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列。 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,證明:Sn128(n=1,2,3,)9、已知數(shù)列an中相鄰兩項(xiàng)a2k-1和a2k是關(guān)于x的方程x2-(3k+2k)x+3k2k=0的兩個根,且a2k-1a2k(k=1,2,3,) (1)求a1,a3,a5,a7及a2n(n4)(不必證明);(2)求數(shù)列
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