微分方程模型人口增長數(shù)學(xué)模型.ppt

1、第四章：微分方程模型 第一次：人口增長數(shù)學(xué)模型,華僑大學(xué)信息系,一：實(shí)際問題：1：問題：當(dāng)今人類面臨五大問題,人口問題 工業(yè)化的資金問題 糧食問題 不可再生資源問題 環(huán)境問題,人口問題,（人口太多） 人均糧食不足 人均資源不足 工業(yè)化資金有限 生態(tài)平衡被嚴(yán)重破壞 （人口太少） 人口老化 勞動力短缺 問題：人口預(yù)測；制定政策；控制人口,2：研究情況：,1798年，MALTHUS 人口論人口呈現(xiàn)幾何級數(shù)增長 1838年，VERHUST的logistic模型。 1924年，YULE用概率觀點(diǎn)的模型。 1945年，LESLIE模型。 1959年，F(xiàn)POERSTER連續(xù)人口模型。,3:影響人口增加的因素

2、:,人口的基數(shù); 出生率、死亡率的高低； 人口男女比例大??；人口年齡組成情況； 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低； 營養(yǎng)條件；醫(yī)療條件；人口素質(zhì)；環(huán)境污染等情況； 各地風(fēng)俗習(xí)慣；傳統(tǒng)觀念； 自然災(zāi)害； 戰(zhàn)爭； 人口遷移。,4：問題的簡化：,只考慮人口增長的主要因素-增長率及基數(shù)； 并假定人口總數(shù)是時間的連續(xù)函數(shù)，甚至可微函數(shù)。（在人口總數(shù)很大時，可近似）（離散變量連續(xù)化處理-掌握。),5：假設(shè)變量：N（t),r(t,N(t)為t時刻人口總數(shù)和增長率,6：建立模型（微元法）：在(t,t+t)這段時間內(nèi)人口增長為 N(t+t)-N(t)=r(t,N)N(t)t (N(t+t)-N(t)/t=r(t,N)N(t

3、) 令t0dN/dt=r(t,N)N(t) (1),二：MALTHUS模型,1：假定：（1）式中令r(t,N)=r(常數(shù)） 2：建模：dN/dt=rN(t) (2) N(t)|t=t0=N0 (3) r(t-t0) 3: 求解： N(t)=N0e 結(jié)論：人口呈現(xiàn)幾何級數(shù)增長,4：適應(yīng)性：,（1）17001964世界人口總數(shù)增長一致。 （2）t時不再合適。,5:離散模型（見混沌）,三：logistic模型：,1：假定：r(t,N)=r-kN(t) 2:建立模型：,4：模型分析：,（3）如圖：,5：模型檢驗(yàn)： -12估計出r=0.029,k=2.941*10 每35年翻一番。17001961年世界

4、人口形勢比較吻合6：模型應(yīng)用：（1）：美Pearl和Reed利用Logistic模型，得出美國人口增長模型為,預(yù)測美國17901950人口情況良好（見P11表） （2）：中、法也類似。,7：模型的優(yōu)缺點(diǎn)： （1）r,k會隨著時間改變，故應(yīng)每過幾年重新估計一次 （2）Malthus和Logistic模型中，把人口總數(shù)看成處于同等地位的成員組成的，嚴(yán)格說來不對的。應(yīng)對年齡分組-Leslie模型。,8：離散模型：（見混沌）,四：連續(xù)模型： 1：假設(shè)及假設(shè)變量：,（1）：設(shè)F(r,t)表示t時刻（年代）一切年齡小于r歲的人口總數(shù)稱為人口函數(shù)。 性質(zhì)：F(r,t)=0,t固定,r,F(r,t) 。 （2

5、）假定：當(dāng)人口總數(shù)很大時， F(r,t)是r,t的連續(xù)函數(shù)且一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 （3）N(t)表示t時刻的人口總數(shù)，rm表示人類所活到的最高年齡。 性質(zhì)：F(0,t)=0,F(r m,t)=F(,t)=N(t),(5)令(r,t)為t時刻年齡為r歲人的死亡率,其含義是： (r,t)p(r,t)dr 表示 t時刻年齡在 r,r+dr內(nèi)單位時間死亡的人數(shù)。-由統(tǒng)計數(shù)字給出。,2：初步建模：不考慮各種確定的和隨機(jī)因素（如戰(zhàn)爭，自然災(zāi)害，車禍）的影響，只考慮自然的生死過程。,（2）建立模型：,3：進(jìn)一步建模：考慮移民、戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害引起的人口擾動模型 設(shè)：f(r,t)drdt表示年齡在r,r+dr區(qū)間和

6、t,t+dt時間里遷入遷出的人口總數(shù)稱為相對擾動密度函數(shù)（統(tǒng)計給出）.則模型為,4：區(qū)域模型： （1）：假設(shè)變量：,引進(jìn)記號：,上述模型改寫向量形式：,五：離散模型：（人口發(fā)展過程的離散模型） 1：假設(shè)變量：設(shè)Xi(t)表示t年代年齡滿i周歲但不到i+1周歲的人口總數(shù)。（年齡和時間都取整數(shù)）. 2:離散上述模型：則有,得無干擾的人口發(fā)展模型的離散模型：,3：受干擾的人口發(fā)展模型的離散模型：,4：優(yōu)缺點(diǎn)：離散模型易于計算機(jī)計算； 連續(xù)模型便于理論分析。,5：模型的檢驗(yàn)和預(yù)測：（見P15）,參考：傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型,模型一： 1：假設(shè)：（1）每個病人單位時間內(nèi)傳播的人數(shù)是k0； （2）一人得病后

7、，經(jīng)久不息不愈，并且在傳 染期內(nèi)不會死亡。 2:設(shè)變量：記i(t)表示時刻t病人數(shù)，i(0)=i0.,3:建模：,5：結(jié)論：傳染病的傳播按指數(shù)函數(shù)增長的。 6：模型檢驗(yàn)與修改：（1）在傳染病初期結(jié)論一致；（2）t,i(t) 不合實(shí)際；原因假設(shè)中兩條不合理。,模型二：（SI模型）,1：假設(shè)： （1）記i(t),s(t)表示時刻t傳染病人數(shù)和未被傳染人數(shù)，i(0)=i0 。 （2）每個病人單位時間內(nèi)傳播的人數(shù)是與這時未被傳染人數(shù)成正比，即k(t)=ks(t)。 （3）一人得病后，經(jīng)久不愈，并且在傳染期內(nèi)不會死亡。 （4）總?cè)藬?shù)n不變， i(t)+s(t)=n.,4:模型分析：,（1）當(dāng)t1=ln(

8、n/i0)-1)/kn(t1為二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))時，傳染率最大，為傳染高峰，這與實(shí)際吻合，當(dāng)k，n, t1傳染病高峰來得快，與實(shí)際吻合。 （2）由統(tǒng)計給出k，可預(yù)報傳染病高峰t1 。 （3）t,i(t)n人人均生病，不合理。原因：假設(shè)（3）不合理，進(jìn)一步修改。,模型三：（SIR模型）,1：假設(shè)變量及假設(shè)： 記I(t)為能夠把病傳染給別人的傳染者； 記S(t)為并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的哪些人組成； 記R(t)為患病死去的人，病愈后具有免疫力的人，及病愈前被隔離的人總數(shù)。 假設(shè)：（1）易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類人數(shù)I(t)與第二類人數(shù)S(t)的乘積； （2）I(t)向R(t)轉(zhuǎn)變的速率與I(t)成正比。 （3）總?cè)藬?shù)保持不變N。,2:建模：,4：模型分析：,結(jié)論：當(dāng)人口擁擠，密度高，缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識，必要醫(yī)療條件，隔離不良