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1、第四章:微分方程模型 第一次:人口增長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型,華僑大學(xué)信息系,一:實(shí)際問題:1:?jiǎn)栴}:當(dāng)今人類面臨五大問題,人口問題 工業(yè)化的資金問題 糧食問題 不可再生資源問題 環(huán)境問題,人口問題,(人口太多) 人均糧食不足 人均資源不足 工業(yè)化資金有限 生態(tài)平衡被嚴(yán)重破壞 (人口太少) 人口老化 勞動(dòng)力短缺 問題:人口預(yù)測(cè);制定政策;控制人口,2:研究情況:,1798年,MALTHUS 人口論人口呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng) 1838年,VERHUST的logistic模型。 1924年,YULE用概率觀點(diǎn)的模型。 1945年,LESLIE模型。 1959年,F(xiàn)POERSTER連續(xù)人口模型。,3:影響人口增加的因素
2、:,人口的基數(shù); 出生率、死亡率的高低; 人口男女比例大??;人口年齡組成情況; 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平的高低; 營(yíng)養(yǎng)條件;醫(yī)療條件;人口素質(zhì);環(huán)境污染等情況; 各地風(fēng)俗習(xí)慣;傳統(tǒng)觀念; 自然災(zāi)害; 戰(zhàn)爭(zhēng); 人口遷移。,4:?jiǎn)栴}的簡(jiǎn)化:,只考慮人口增長(zhǎng)的主要因素-增長(zhǎng)率及基數(shù); 并假定人口總數(shù)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù),甚至可微函數(shù)。(在人口總數(shù)很大時(shí),可近似)(離散變量連續(xù)化處理-掌握。),5:假設(shè)變量:N(t),r(t,N(t)為t時(shí)刻人口總數(shù)和增長(zhǎng)率,6:建立模型(微元法):在(t,t+t)這段時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)為 N(t+t)-N(t)=r(t,N)N(t)t (N(t+t)-N(t)/t=r(t,N)N(t
3、) 令t0dN/dt=r(t,N)N(t) (1),二:MALTHUS模型,1:假定:(1)式中令r(t,N)=r(常數(shù)) 2:建模:dN/dt=rN(t) (2) N(t)|t=t0=N0 (3) r(t-t0) 3: 求解: N(t)=N0e 結(jié)論:人口呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng),4:適應(yīng)性:,(1)17001964世界人口總數(shù)增長(zhǎng)一致。 (2)t時(shí)不再合適。,5:離散模型(見混沌),三:logistic模型:,1:假定:r(t,N)=r-kN(t) 2:建立模型:,4:模型分析:,(3)如圖:,5:模型檢驗(yàn): -12估計(jì)出r=0.029,k=2.941*10 每35年翻一番。17001961年世界
4、人口形勢(shì)比較吻合6:模型應(yīng)用:(1):美Pearl和Reed利用Logistic模型,得出美國(guó)人口增長(zhǎng)模型為,預(yù)測(cè)美國(guó)17901950人口情況良好(見P11表) (2):中、法也類似。,7:模型的優(yōu)缺點(diǎn): (1)r,k會(huì)隨著時(shí)間改變,故應(yīng)每過幾年重新估計(jì)一次 (2)Malthus和Logistic模型中,把人口總數(shù)看成處于同等地位的成員組成的,嚴(yán)格說來不對(duì)的。應(yīng)對(duì)年齡分組-Leslie模型。,8:離散模型:(見混沌),四:連續(xù)模型: 1:假設(shè)及假設(shè)變量:,(1):設(shè)F(r,t)表示t時(shí)刻(年代)一切年齡小于r歲的人口總數(shù)稱為人口函數(shù)。 性質(zhì):F(r,t)=0,t固定,r,F(r,t) 。 (2
5、)假定:當(dāng)人口總數(shù)很大時(shí), F(r,t)是r,t的連續(xù)函數(shù)且一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。 (3)N(t)表示t時(shí)刻的人口總數(shù),rm表示人類所活到的最高年齡。 性質(zhì):F(0,t)=0,F(r m,t)=F(,t)=N(t),(5)令(r,t)為t時(shí)刻年齡為r歲人的死亡率,其含義是: (r,t)p(r,t)dr 表示 t時(shí)刻年齡在 r,r+dr內(nèi)單位時(shí)間死亡的人數(shù)。-由統(tǒng)計(jì)數(shù)字給出。,2:初步建模:不考慮各種確定的和隨機(jī)因素(如戰(zhàn)爭(zhēng),自然災(zāi)害,車禍)的影響,只考慮自然的生死過程。,(2)建立模型:,3:進(jìn)一步建模:考慮移民、戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害引起的人口擾動(dòng)模型 設(shè):f(r,t)drdt表示年齡在r,r+dr區(qū)間和
6、t,t+dt時(shí)間里遷入遷出的人口總數(shù)稱為相對(duì)擾動(dòng)密度函數(shù)(統(tǒng)計(jì)給出).則模型為,4:區(qū)域模型: (1):假設(shè)變量:,引進(jìn)記號(hào):,上述模型改寫向量形式:,五:離散模型:(人口發(fā)展過程的離散模型) 1:假設(shè)變量:設(shè)Xi(t)表示t年代年齡滿i周歲但不到i+1周歲的人口總數(shù)。(年齡和時(shí)間都取整數(shù)). 2:離散上述模型:則有,得無干擾的人口發(fā)展模型的離散模型:,3:受干擾的人口發(fā)展模型的離散模型:,4:優(yōu)缺點(diǎn):離散模型易于計(jì)算機(jī)計(jì)算; 連續(xù)模型便于理論分析。,5:模型的檢驗(yàn)和預(yù)測(cè):(見P15),參考:傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型,模型一: 1:假設(shè):(1)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳播的人數(shù)是k0; (2)一人得病后
7、,經(jīng)久不息不愈,并且在傳 染期內(nèi)不會(huì)死亡。 2:設(shè)變量:記i(t)表示時(shí)刻t病人數(shù),i(0)=i0.,3:建模:,5:結(jié)論:傳染病的傳播按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的。 6:模型檢驗(yàn)與修改:(1)在傳染病初期結(jié)論一致;(2)t,i(t) 不合實(shí)際;原因假設(shè)中兩條不合理。,模型二:(SI模型),1:假設(shè): (1)記i(t),s(t)表示時(shí)刻t傳染病人數(shù)和未被傳染人數(shù),i(0)=i0 。 (2)每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳播的人數(shù)是與這時(shí)未被傳染人數(shù)成正比,即k(t)=ks(t)。 (3)一人得病后,經(jīng)久不愈,并且在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。 (4)總?cè)藬?shù)n不變, i(t)+s(t)=n.,4:模型分析:,(1)當(dāng)t1=ln(
8、n/i0)-1)/kn(t1為二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))時(shí),傳染率最大,為傳染高峰,這與實(shí)際吻合,當(dāng)k,n, t1傳染病高峰來得快,與實(shí)際吻合。 (2)由統(tǒng)計(jì)給出k,可預(yù)報(bào)傳染病高峰t1 。 (3)t,i(t)n人人均生病,不合理。原因:假設(shè)(3)不合理,進(jìn)一步修改。,模型三:(SIR模型),1:假設(shè)變量及假設(shè): 記I(t)為能夠把病傳染給別人的傳染者; 記S(t)為并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的哪些人組成; 記R(t)為患病死去的人,病愈后具有免疫力的人,及病愈前被隔離的人總數(shù)。 假設(shè):(1)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類人數(shù)I(t)與第二類人數(shù)S(t)的乘積; (2)I(t)向R(t)轉(zhuǎn)變的速率與I(t)成正比。 (3)總?cè)藬?shù)保持不變N。,2:建模:,4:模型分析:,結(jié)論:當(dāng)人口擁擠,密度高,缺乏應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí),必要醫(yī)療條件,隔離不良
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