第4章平均指標(biāo)

1、第四章第四章 平均指標(biāo)平均指標(biāo) 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)的概念 總體各單位標(biāo)志值總和與總體單位數(shù)對比總體各單位標(biāo)志值總和與總體單位數(shù)對比 所得到的平均指標(biāo)所得到的平均指標(biāo) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)= 注：注：計算算術(shù)平均數(shù)時，一定要確?？傮w標(biāo)志總量與計算算術(shù)平均數(shù)時，一定要確?？傮w標(biāo)志總量與 總體單位總量的口徑嚴(yán)格一致，即確定各標(biāo)志值與各總體單位總量的口徑嚴(yán)格一致，即確定各標(biāo)志值與各 單位之間有一一對應(yīng)關(guān)系。單位之間有一一對應(yīng)關(guān)系。 總體標(biāo)志總和總體標(biāo)志總和 總體單位總量總體單位總量 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù) 在所掌握的資料未經(jīng)分組

2、的條件下，直接在所掌握的資料未經(jīng)分組的條件下，直接 將總體單位的標(biāo)志值相加，除以總體單位數(shù)所將總體單位的標(biāo)志值相加，除以總體單位數(shù)所 求的平均數(shù)。求的平均數(shù)。 x = = x 代表算術(shù)平均數(shù)；代表算術(shù)平均數(shù)；xi 代表第代表第i個總體單位的標(biāo)志值；個總體單位的標(biāo)志值； n 代表總體單位總數(shù)；代表總體單位總數(shù)； 是總和符號，讀著西格馬是總和符號，讀著西格馬 x1+x2xn+ n x n 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 簡單算術(shù)平均數(shù)簡單算術(shù)平均數(shù) 例例3-12 某村有某村有8個養(yǎng)豬專業(yè)戶，某月各戶養(yǎng)豬頭數(shù)分別個養(yǎng)豬專業(yè)戶，某月各戶養(yǎng)豬頭數(shù)分別 是是38、46、57、48、61、29、52、50，求

3、這，求這8個養(yǎng)豬專個養(yǎng)豬專 業(yè)戶平均養(yǎng)豬頭數(shù)。業(yè)戶平均養(yǎng)豬頭數(shù)。 解：解： x = = =48（頭）（頭） x n 38+46+57+48+61+29+52+50 8 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 統(tǒng)計資料在加工分組形成變量數(shù)列的情況下，統(tǒng)計資料在加工分組形成變量數(shù)列的情況下， 先計算出各組的標(biāo)志總量，再加總求和求得總體先計算出各組的標(biāo)志總量，再加總求和求得總體 標(biāo)志總量，然后除以總體單位數(shù)而計算的平均數(shù)標(biāo)志總量，然后除以總體單位數(shù)而計算的平均數(shù) x = = 式中，式中，f代表各組變量出現(xiàn)的次數(shù)（權(quán)數(shù)）；代表各組變量出現(xiàn)的次數(shù)（權(quán)數(shù)）； 代表第代表第i組組 標(biāo)志總

4、量；標(biāo)志總量； 代表總體標(biāo)志總量；代表總體標(biāo)志總量； 總體單位數(shù)總體單位數(shù) X1f1 X2f2Xnfn+ fnf1f2+ Xifi xf f xf f 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 例例3-13 某工廠某車間某工廠某車間90名生產(chǎn)工人某月產(chǎn)量如表，求每個名生產(chǎn)工人某月產(chǎn)量如表，求每個 工人的平均產(chǎn)量工人的平均產(chǎn)量 解：解：x = = =21.8（件）（件） 月產(chǎn)量（件）月產(chǎn)量（件）X X工人人數(shù)（人）工人人數(shù)（人）f f月總產(chǎn)量（件）月總產(chǎn)量（件）xfxf 18185 59090 20201111220220 21211818378378 22223030660660 232315153453

5、45 24248 8192192 25253 37878 合計合計909019631963 xf f 1963 90 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 例例3-14 某地區(qū)隨機(jī)抽查了某地區(qū)隨機(jī)抽查了1200名職工，每人的月收入情況名職工，每人的月收入情況 如表，求人均月收入如表，求人均月收入 解解: x = = =1962.50（元）（元） 月收入（元）月收入（元）組中值組中值x x職工人數(shù)（人）職工人數(shù)（人）f f組收入總額組收入總額 500500以下以下25025050501250012500 500-1000500-100075075090906750067500 1000-15001000

6、-150012501250150150187500187500 1500-20001500-200017501750280280490000490000 2000-25002000-250022502250350350787500787500 2500-30002500-300027502750200200550000550000 30003000元以上元以上325032508080260000260000 合計合計1200120023550002355000 xf f 2355000 1200 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 權(quán)數(shù)有兩種形式：權(quán)數(shù)有兩種形式：絕對權(quán)

7、數(shù)絕對權(quán)數(shù)和和相對權(quán)數(shù)相對權(quán)數(shù) 絕對數(shù)：絕對數(shù)：就是各組標(biāo)志值實際出現(xiàn)的次數(shù)就是各組標(biāo)志值實際出現(xiàn)的次數(shù) 相對數(shù)相對數(shù)（又稱權(quán)數(shù)系數(shù)又稱權(quán)數(shù)系數(shù)）：各組次數(shù)在總次數(shù)中各組次數(shù)在總次數(shù)中 所占的比重，實為一種結(jié)構(gòu)相對數(shù)，一般用百分所占的比重，實為一種結(jié)構(gòu)相對數(shù)，一般用百分 數(shù)表示。數(shù)表示。 x = x1 f1 f xn fn f x2 f2 f + + + 一、算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù) 例例3-15 某廠某月甲產(chǎn)品各批銷售價格情況見表，求全月該某廠某月甲產(chǎn)品各批銷售價格情況見表，求全月該 產(chǎn)品平均銷售價格產(chǎn)品平均銷售價格 解：解：x =x =6.60.1+6.70.3+6.80.35+6.90.

8、20 銷售價格銷售價格x x 各批銷售量占總銷售量的比重各批銷售量占總銷售量的比重 6.66.60.150.150.990.99 6.76.70.30.32.012.01 6.86.80.350.352.382.38 6.96.90.20.21.381.38 合計合計1 16.766.76 f f x f f f f =6.76（元）（元） 算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì) 1. 算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各個標(biāo)志值得算術(shù)算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各個標(biāo)志值得算術(shù) 和和 n x =x 2. 各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差值和等于零各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差值和等于零 （x x）=0

9、 3. 各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方之和為最小值各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方之和為最小值 （x x）2=最小值最小值 . 二、調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)倒數(shù)平均數(shù)，它是被研究對象 中各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，可分 為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 簡單調(diào)和平均數(shù)公式： x xH H= = n 1 x1 + 1 x2 + + 1 xn = n 1 x 二、調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù) 簡單調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù) 例例3-16 某菜市場某菜市場3個等級的黃瓜價格分別是個等級的黃瓜價格分別是1.00元、元、 0.90元、元、0.70元，現(xiàn)元，現(xiàn)3個等級

10、黃瓜各買一斤和個等級黃瓜各買一斤和1元，求元，求 平均價格。平均價格。 解：解： 各買一斤：各買一斤：x = =0.867（元）（元） 各買一元：各買一元：x = = =0.848（元）（元） 1.00+0.90+0.70 3 3 n 1 x 1 1.00 + 1 0.90 + 1 0.70 二、調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù) 加權(quán)調(diào)和平均數(shù)加權(quán)調(diào)和平均數(shù) x xH H= = = 式中，式中，m m代表各組的標(biāo)志總量，即加權(quán)調(diào)和平均數(shù)中的代表各組的標(biāo)志總量，即加權(quán)調(diào)和平均數(shù)中的 權(quán)數(shù)。需要指出的是，此處的權(quán)數(shù)不同于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)權(quán)數(shù)。需要指出的是，此處的權(quán)數(shù)不同于加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 中的權(quán)數(shù)，即它并不是

11、變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是變量值與中的權(quán)數(shù)，即它并不是變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是變量值與 其相應(yīng)的次數(shù)的乘積，即其相應(yīng)的次數(shù)的乘積，即xfxf。 mnm2m1+ + + m1m2 mn xnx1x2 + m m x 二、調(diào)和平均數(shù)二、調(diào)和平均數(shù) 例例3-17 某生產(chǎn)車間工人日生產(chǎn)產(chǎn)品情況如表，求工人平均日產(chǎn)某生產(chǎn)車間工人日生產(chǎn)產(chǎn)品情況如表，求工人平均日產(chǎn) 量。量。 解：平均日產(chǎn)量x xH H = = = = 每人日產(chǎn)量（件）每人日產(chǎn)量（件）各組產(chǎn)量（件）各組產(chǎn)量（件） 8 85656 9 99999 1010160160 1111110110 12127272 合計合計497497 56+99+160

12、+110+72m m x 56 8 99 9 160 10 110 11 72 12 + =9.94件 三、幾何平均數(shù)三、幾何平均數(shù) 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) n個標(biāo)志值連乘積的個標(biāo)志值連乘積的n次方根。適用于計算平均比次方根。適用于計算平均比 率和平均發(fā)展速率。凡是各個變量值的連乘積能夠等率和平均發(fā)展速率。凡是各個變量值的連乘積能夠等 于總比率或總速度的現(xiàn)象，都要使用幾何平均數(shù)計算于總比率或總速度的現(xiàn)象，都要使用幾何平均數(shù)計算 平均比率或平均速度?？煞譃楹唵螏缀纹骄鶖?shù)和加權(quán)平均比率或平均速度?？煞譃楹唵螏缀纹骄鶖?shù)和加權(quán) 幾何平均數(shù)幾何平均數(shù) xG= 是被平均的變量，是被平均的變量，i=1，2，3

13、，n；是連乘符號是連乘符號 n x2xnx1 = n i=1 n xi xi 三、幾何平均數(shù)三、幾何平均數(shù) 例例 3-18 某軸承廠需經(jīng)過下料、鍛造、機(jī)加工、裝配某軸承廠需經(jīng)過下料、鍛造、機(jī)加工、裝配 4道連續(xù)作業(yè)的工序，各工序產(chǎn)品合格率分別為道連續(xù)作業(yè)的工序，各工序產(chǎn)品合格率分別為98%、 97%、96%、和、和99%，求，求4道工序的平均合格率。道工序的平均合格率。 解：由于后續(xù)工序的合格率是在前一工序全部合格的基礎(chǔ)解：由于后續(xù)工序的合格率是在前一工序全部合格的基礎(chǔ) 上計算的，各工序平均合格率不能用算術(shù)平均和調(diào)和平均上計算的，各工序平均合格率不能用算術(shù)平均和調(diào)和平均 的方法計算，而是利用幾

14、何平均的方法計算。的方法計算，而是利用幾何平均的方法計算。 平均產(chǎn)品合格率平均產(chǎn)品合格率= = n i=1 n xi 4 98%X97%X96%X99% =97.5% 三、幾何平均數(shù)三、幾何平均數(shù) 加權(quán)幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù) xG= = f xn x2x1 f1 fnf2 f i=1 n fi xi 三、幾何平均數(shù)三、幾何平均數(shù) 例例3-19 某投資銀行的某筆投資的本利率是按復(fù)利計算的，某投資銀行的某筆投資的本利率是按復(fù)利計算的，25 年的本利率見表，試求年的本利率見表，試求25年的平均本利率年的平均本利率 解：用幾何平均法求解：用幾何平均法求25年的平均本利率：年的平均本利率： xG =

15、= 本利率本利率x x（% %）年數(shù)年數(shù)f f 1031031 1 1051054 4 1081088 8 1101101010 1151152 2 合計合計2525 f i=1 n xi fi 25 1.0311.0541.0881.10101.152xx x x=108.7% 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 中位數(shù)中位數(shù) 指將被研究總體中各個單位的標(biāo)志值按著大小順指將被研究總體中各個單位的標(biāo)志值按著大小順 序排列，位于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。它序排列，位于中間位置的那個標(biāo)志值就是中位數(shù)。它 把全部標(biāo)志值分成兩部分，一般標(biāo)志小于它，另一半把全部標(biāo)志值分成兩部分，一般標(biāo)志小于它，另一半 標(biāo)志大于

16、它。標(biāo)志大于它。 1.由未分組資料確定中位數(shù)由未分組資料確定中位數(shù) 設(shè)未分組資料有設(shè)未分組資料有n個單位的標(biāo)志值，按大小順序排列個單位的標(biāo)志值，按大小順序排列 如下：如下： ， ， x1x2xn n=2k+1時，Me=XK+1 n=2k時，Me=（XK+XK+1）/2 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 例例3-20 設(shè)有設(shè)有9個工人的月工資額（單位：元），按著順序排列如下：個工人的月工資額（單位：元），按著順序排列如下： 605、615、618、620、625、628、640、650、660，則工人月工資，則工人月工資 額的中位數(shù)是額的中位數(shù)是 若再加一個工人，其工資額為若再加一個工人，其工資額為605，

17、則工人月工資額的中位數(shù)為：，則工人月工資額的中位數(shù)為： Me=（XK+XK+1）/2=（ X5+X6 ）/2=622.5（元）（元） Me=XK+1=X4+1=X5=625（元） 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 2.由分組資料計算中位數(shù)由分組資料計算中位數(shù) 1）由單項數(shù)列確定中位數(shù)）由單項數(shù)列確定中位數(shù) 步驟如下：步驟如下： 第一步：計算累計次數(shù)，計算向上累計次數(shù)或者向下累計第一步：計算累計次數(shù)，計算向上累計次數(shù)或者向下累計 次數(shù)次數(shù) 第二步：確定中位數(shù)的位置及具體數(shù)值，首先中位數(shù)位次第二步：確定中位數(shù)的位置及具體數(shù)值，首先中位數(shù)位次 =f/2，然后找出中位數(shù)組，即包含累計次數(shù)半然后找出中位數(shù)組，即包含

18、累計次數(shù)半 值的組，該組的變量值即為中位數(shù)值的組，該組的變量值即為中位數(shù) 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 例例3-21 某生產(chǎn)車間某生產(chǎn)車間120名工人生產(chǎn)某種零件的日產(chǎn)量分組資料名工人生產(chǎn)某種零件的日產(chǎn)量分組資料 如表，計算該車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù)如表，計算該車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù) 解：中位數(shù)位次=f/2=60，累計次數(shù)分布f中含60的累計次數(shù)為 77，該組即為中位數(shù)組，由此可以確定中位數(shù)為26件 按日產(chǎn)量分組（件）按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）工人數(shù)（人）累計次數(shù)（由小到大）累計次數(shù)（由小到大） x xf ff f 202010101010 222212122222 242425254747 262

19、630307777 303018189595 32321515110110 33331010120120 合計合計120120 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 2.有祖居數(shù)列確定中位數(shù)有祖居數(shù)列確定中位數(shù) 同樣要先按中位數(shù)位次同樣要先按中位數(shù)位次=f/2確定中位數(shù)所在組，然后確定中位數(shù)所在組，然后 按照下限公式或者上限公式計算中位數(shù)按照下限公式或者上限公式計算中位數(shù) 下限公式：下限公式： Me=L+ L：中位數(shù)所在組下限：中位數(shù)所在組下限 sm-1：中位數(shù)組前后各組的累計次數(shù)（累計次數(shù)：中位數(shù)組前后各組的累計次數(shù)（累計次數(shù) 有小到大累計計算）有小到大累計計算） f/2-sm-1 fm fm：中位數(shù)所在組

20、次數(shù)：中位數(shù)所在組次數(shù) i： 中位數(shù)所在組組距中位數(shù)所在組組距 X i 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 上限公式： Me=U- f/2-sm+1 fm X i U ： 中位數(shù)所在中上限中位數(shù)所在中上限 sm+1： ：中位數(shù)組前各組的累計次數(shù)（其累計次數(shù)按有大到小中位數(shù)組前各組的累計次數(shù)（其累計次數(shù)按有大到小 累計計算累計計算） 四、中位數(shù)四、中位數(shù) 例例3-223-22 某市某市19931993年城市住戶抽樣調(diào)查資料如表，計算該城市年城市住戶抽樣調(diào)查資料如表，計算該城市 住戶家庭月收入的中位數(shù)住戶家庭月收入的中位數(shù) 按月收入額分組按月收入額分組 （元）（元）x x 調(diào)查戶數(shù)（戶）調(diào)查戶數(shù)（戶） f f

21、累計次數(shù)累計次數(shù) 由小到大累計由小到大累計由大到小累計由大到小累計 500500以下以下40404040500500 500-800500-8009090130130460460 800-1100800-1100110110240240370370 1100-14001100-1400105105345345260260 1400-17001400-17007070415415155155 1700-20001700-200050504654658585 20002000以上以上35355005003636 合計合計500500 第四組累計次數(shù)為345，含250，故該組為中位數(shù)所在組 五、眾數(shù)

22、五、眾數(shù) 也是一種位置平均數(shù)，它是一群數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最 多的那個數(shù)值，或者說是頻率最大的那個值，一般用 M0表示。 1.單項數(shù)列計算眾數(shù)時，把次數(shù)最多的組定為眾數(shù)組， 該組的變量值即為眾數(shù)。 2.由組距數(shù)列計算眾數(shù)，先要確定眾數(shù)組，然后按著 上限公式或下限公式計算眾數(shù) 下限公式： 上限公式： 眾數(shù)M0=L+ 眾數(shù)M0=U- d1 d2 d2d1 d1 + x i + d2 X i L：眾數(shù)組下限； d1：眾數(shù)組次數(shù)與其前一組次數(shù)之差 d2：眾數(shù)次數(shù)與其后一組次數(shù)之差；i：眾數(shù)組組距；U：眾數(shù)組上限 五、眾數(shù)五、眾數(shù) 例例3-223-22 某市某市19931993年城市住戶抽樣調(diào)查資料如表，計算

23、該城市年城市住戶抽樣調(diào)查資料如表，計算該城市 住戶家庭月收入的中位數(shù)住戶家庭月收入的中位數(shù) 按月收入額分組按月收入額分組 （元）（元）x x 調(diào)查戶數(shù)（戶）調(diào)查戶數(shù)（戶） f f 累計次數(shù)累計次數(shù) 由小到大累計由小到大累計由大到小累計由大到小累計 500500以下以下40404040500500 500-800500-8009090130130460460 800-1100800-1100110110240240370370 1100-14001100-1400105105345345260260 1400-17001400-17007070415415155155 1700-20001700-200050504654658585 20002000以上以上35355005003636 合計合計500500 根據(jù)下限計算：M0=800+ 110-90 （110