【精品】中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié) 關(guān)節(jié)2 充分發(fā)揮方程的工具性作用

1、 關(guān)節(jié)二 充分發(fā)揮方程的工具性作用 方程是重要的數(shù)學(xué)工具，它可以干什么用呢？結(jié)論是：凡是有關(guān)“求值”的問題，不管是怎樣的背景下和情境中，絕大多數(shù)情況都可以借助構(gòu)造方程來解決。 一、方程用于實(shí)際問題中的求值這方面的題目，同學(xué)們做的已經(jīng)很多，這里只舉一例。例1 秋末，由于冷空氣入侵，某地區(qū)地面氣溫急劇下降到0以下的天氣稱為“霜凍”。由霜凍所導(dǎo)致的植物生長受到影響或破壞的現(xiàn)象稱為霜凍災(zāi)害。 秋末某天，氣象臺(tái)發(fā)布了該地區(qū)如下的降溫預(yù)報(bào)：午夜0時(shí)至次日5時(shí)氣溫將勻速地由3降到3，然后從次日5時(shí)至次日8時(shí)，氣溫將又勻速地由3升到5，一種農(nóng)作物在0以下持續(xù)超過3小時(shí)就會(huì)造成霜凍災(zāi)害，根據(jù)氣象臺(tái)的預(yù)報(bào)信息，你

2、認(rèn)為是否有必要對(duì)該農(nóng)作物采取防凍措施？并說明理由?！居^察與思考】第一， 這實(shí)際是要求出兩個(gè)數(shù)值：一是0時(shí)至次日5時(shí)氣溫下降過程中在哪個(gè)時(shí)刻達(dá)到0；二是在次日5時(shí)至次日8時(shí)氣溫上升過程中，在哪個(gè)時(shí)刻達(dá)到0，顯然是求值總問題。應(yīng)分別構(gòu)造方程來解決。第二， 可以用“勻速”所包含的“相等關(guān)系”來導(dǎo)出方程，即（事實(shí)上，只要把本問題的“溫度差”看作“路程”，它就相當(dāng)于行程問題了。）簡解：設(shè)在0時(shí)至次日5時(shí)之間的時(shí)，氣溫降到0，則依題意有：（時(shí)）設(shè)在次日5時(shí)至次日8時(shí)之間的時(shí)氣溫升到0，依題意有： ，解得（時(shí)） 。氣溫在0以下的時(shí)間為3.625小時(shí)（大于3小時(shí)）因此，會(huì)對(duì)該農(nóng)作物造成霜凍災(zāi)害，所以應(yīng)對(duì)它采取

3、防凍措施。二、方程用于數(shù)學(xué)問題中的價(jià)值 數(shù)學(xué)問題中有形形色色或顯或隱的求值問題，大都可借助方程來解決。1、借助方程，解決某些“數(shù)與式”的問題 例1 如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么，稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”。如：，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)，（1）28和2008這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（2）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？【觀察與思考】根據(jù)題中規(guī)定知道，若（），(其中是整數(shù)，為正整數(shù))，則就是“神秘?cái)?shù)”。正整數(shù)是不是“神秘?cái)?shù)”，就看使（）式成立的整數(shù)是不是存在，存在時(shí)就是“神秘?cái)?shù)”；不存在，就不是“神秘?cái)?shù)”。這就是說，研究是不是“神秘?cái)?shù)”的問題，

4、就變成了研究（）這個(gè)關(guān)于的方程有無整數(shù)解的問題。解：（1）方程有非負(fù)整數(shù)解3。即 28是神秘?cái)?shù)。方程，沒有整數(shù)解，2008不是神秘?cái)?shù)。（2），令解得不是整數(shù)。兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）不是神秘?cái)?shù)。例2 按下面的程序計(jì)算，若開始輸入的值為正數(shù)，最后輸出的結(jié)果為656，則滿足條件的的不同值最多有（ ）輸入計(jì)算的值輸出結(jié)果是否A、2個(gè) B、3個(gè) C、 4個(gè) D、5個(gè) 【觀察與思考】本題相當(dāng)于按如下規(guī)律構(gòu)造的方程：，有正整數(shù)解的共有多少個(gè)?？沈?yàn)證只有上述4個(gè)方程有正數(shù)解。 解：選C。 對(duì)于許多有關(guān)特定要求的數(shù)，式問題，常需要借助方程來解決。2、借助方程，解決某些幾何圖形的求值問題例3 圖1是由9個(gè)

5、等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長為，則六邊形的周長是 【觀察與思考】拼成六邊形的9個(gè)等邊三角形按大小共分為5類，從大到小邊長逐減小，因此，可通過構(gòu)造最大的等邊三角形的邊長的方程來求得它的值。從圖2中可以看到最大三角形的邊長是第四大三角形邊長的2倍，易如：設(shè)最大的等邊三角形的邊長為，則有。 圖中六邊形的六條邊依次為：解： ABCDEFGNM例4 如圖，這是由五個(gè)邊長為1的正方形組成的圖形，過頂點(diǎn)A的一條直線和CD，ED分別相交于點(diǎn)M，N。假若直線MN繞過A旋轉(zhuǎn)的過程中存在某一位置，使得MN將圖形分成的兩部分面積恰好相等，求這時(shí)線段EN的長。【觀察與思考】可借助來構(gòu)造關(guān)于EN

6、的方程求其長。解：。得關(guān)于EN的方程解得（不合題意，舍去）。許多圖形的求值問題，可借助方程來解決，事實(shí)上，包括解直角三角形和用相似三角形的性質(zhì)求邊長，也是特定形式的方程，是方程思想的一種具體化表現(xiàn)。 3、借助方程，解決函數(shù)相關(guān)的問題例5 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)E和F。從點(diǎn)A（1，0）和OABCDEFB（3，0）作軸的垂線，分別與直線交于點(diǎn)C和點(diǎn)D。已知，求直線的解析式?！居^察與思考】若設(shè)直線的解析式為。現(xiàn)在要求出 的值，為此去構(gòu)造關(guān)于的方程組。而所給條件 “”就是這兩個(gè)方程組所依據(jù)的等量關(guān)系。解：設(shè)直線的解析式為，易知：依題意有方程組： 解得直線的解析

7、式為：（分）（米）BA102500例6 早晨，小麗與媽媽同時(shí)從家出發(fā)，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學(xué)與上班，圖中所示是她們離家的路程（米）與時(shí)間（分）的函數(shù)圖象。媽媽騎自行車走了10分鐘接到小麗的電話，即以原速度騎車前往小麗的學(xué)校，并與小麗同時(shí)到達(dá)學(xué)校。已知小麗步行速度為每分50米，求小麗家與學(xué)校的距離及小麗早晨上學(xué)需要的時(shí)間?！居^察與思考】點(diǎn)B的橫坐標(biāo)就是小麗早晨小學(xué)需要的時(shí)間其縱坐標(biāo)就是小麗家與學(xué)校的距離。本題的實(shí)質(zhì)是求點(diǎn)B的坐標(biāo)，也就是由OB，AB確定的函數(shù)關(guān)系式做成的方程組的解。而OB，OA對(duì)應(yīng)的函數(shù)易知。解：OB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：。因?yàn)閶寢?0分鐘騎自行車走了2500米，其速度

8、為250米/分鐘，所以，AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：將（10，2500）代入，求得 解方程組 得 小麗家與學(xué)校的距離為1250米，小麗早晨上學(xué)需要25分鐘。【說明】本題是將方程的思想和函數(shù)圖象的意義緊密結(jié)合，才有如此簡明的解決方法。 許多和函數(shù)相關(guān)的問題，只要涉及到求值，常需要考慮借助方程。4、和運(yùn)動(dòng)有關(guān)的圖形問題，凡屬運(yùn)動(dòng)過程中的特定形狀，特定數(shù)量以及特定位置關(guān)系的，大都需要借助構(gòu)造方程來解決ABCDMN例7 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，開始沿AD邊向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為1厘米/秒，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C開始沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2厘米/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒。（1） 當(dāng)為何值時(shí)，四邊形MNCD 是

9、平行四邊形？（2） 當(dāng)為何值時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形？ 【觀察與思考】對(duì)于（1），當(dāng)四邊形MNCD是平行四邊形時(shí)，MD=NC，就以這一相等關(guān)系構(gòu)造關(guān)于的方程。 對(duì)于（2），畫出四邊形MNCD是等腰梯形的草圖，如圖（2），作垂足為G，作垂足為H，此時(shí)應(yīng)有NG=CH，ABDMN也即CN=MD+2CH。可以用這一相等關(guān)系的構(gòu)造關(guān)于的方程來求解。HGC解：（1）MD=15，CN=2，令MD=NC，得的方程 。解得=5即=5（秒）時(shí)四邊形MNCD是平行四邊形。（2）令得關(guān)于的方程 解得即（秒）時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形。ABCDQP例8 如圖，在ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A

10、出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿ADDCCB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線AB的方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)結(jié)束。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。（1）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 求使成為以DQ為底邊的等腰三角形的時(shí)刻； （2）當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在時(shí)刻，使線段PQ和對(duì)角線BD互相平行？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能成為直角三角形嗎？寫出你的判斷，并說明理由；【觀察與思考】以上三個(gè)問題，實(shí)際都?xì)w于建立關(guān)于的方程來解決。ADPCQB 解：（1）點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，?？傆袨榈冗吶切危?。 令PD=PQ，即。 （秒）時(shí)，是以DQ為底邊的等腰三

11、角形。（1）（2） 當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。 若有PQ/BD，則四邊形DBQP為平行四邊形，即PD=BQ，如圖（1），也即，該方程無解。 不存在這們的時(shí)刻，使PQ/BD。（3）點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 若為直角三角形，只有如圖（2），此時(shí)。ABCDPQ 令 當(dāng)，為直角三角形。（2） 運(yùn)動(dòng)中變化著的圖形或圖形關(guān)系凡屬“特殊圖形”、“特定關(guān)系”、“特殊存在”類的問題，大都可通過構(gòu)造相應(yīng)的方程來解決。5、借助方程解決某些探索性問題 例9 如圖，每個(gè)正方形點(diǎn)陣均被一直線分成兩個(gè)三角形點(diǎn)陣，根據(jù)圖中提供的信息，用含的等式表示第個(gè)正方形點(diǎn)陣中的規(guī)律是 。 .【觀察與思考】不難發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律:第個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)的總

12、數(shù)為,被分成的兩部分有關(guān)系:下邊部分比上邊部分多個(gè)點(diǎn).如此一來,可用構(gòu)造方程來確定要求的規(guī)律:設(shè)第個(gè)正方形點(diǎn)陣分成的兩部分是個(gè)點(diǎn),個(gè)點(diǎn),則解得 解：應(yīng)填： 。例10 欣賞下列的等式： 寫出一個(gè)由7個(gè)連續(xù)整數(shù)組成，前4個(gè)數(shù)的平方和等于后3個(gè)數(shù)的平方和的等式為： ；【觀察與思考】關(guān)鍵是如何既簡練又確切地表示“7個(gè)連續(xù)整數(shù)”，考慮到要計(jì)算“平方和”，那么最好的方法是，設(shè)為整數(shù)，則7個(gè)連續(xù)整數(shù)表示為：如此一來，可借助方程求出滿足要求的和7個(gè)整數(shù)來。設(shè)有則即解得 解： 。【說明】某些探索性問題，用方程來解決更準(zhǔn)確、更迅速。關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)問題有無構(gòu)造方程的條件，以及如何恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用方程。其實(shí)，方程的作用遠(yuǎn)

13、不止這些。由上可知，必須確立如下的深刻認(rèn)識(shí)：1、對(duì)于求未知數(shù)量值的問題，不管是具有實(shí)際背景的，還是純數(shù)學(xué)的；不管是代數(shù)方面的，還是幾何圖形方面的；不管是顯性的，還是較為隱含的，第一條思考解決的途徑都應(yīng)當(dāng)是考慮“構(gòu)造方程”和解方程。2、列出方程的關(guān)鍵是在深入分析題目情景后捕捉到“事關(guān)全局的相等關(guān)系”，以它為基礎(chǔ)再具體化為方程。如上的深刻認(rèn)識(shí)和有效的落實(shí)，才是“方程思想”的深刻表現(xiàn)，才能真正發(fā)揮方程的工具性作用。 練習(xí)題1、某水果批發(fā)市場香蕉的價(jià)格如下表：購買香蕉數(shù)（千克）不超過20千克20千克以上且不超過40千克40千克以上每千克價(jià)格6元5元4元某人共兩次購買50千克香蕉（第二次多于第一次），共

14、付款264元，請問他第一次，第二次分別購買香蕉多少千克？AB人車同向示意圖ABC人車異向示意圖2、某人在電車路軌旁與路軌平行的路上騎車行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔兩分鐘有一部電車從對(duì)面駛向后面。假設(shè)電車和此人行駛的速度都不變（分別為表示），請你根據(jù)右面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用表示）從車站開出一部？3、為確保信息安全，信息需要加密偉輸，發(fā)送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，已知某種加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)的密文為。例如，明文1，2對(duì)應(yīng)的密文是-3，4。那么當(dāng)接收方收到的密文是1，7時(shí)，解密得到的明文是（ ） A、 1，1 B、1，3 C

15、、 3，1 D、1，14、直線軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，若直線AB的長度等于，求直線的解析式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象。5、如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC，BC=16，DC=12，AD=21。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）。（1）當(dāng)為何值時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？ADCBPQ（2）是否存在時(shí)刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；CAB6、如圖，拋物線和軸交于A，B兩點(diǎn)，（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）。和軸交于點(diǎn)C，在軸

16、上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，A，O為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；ABCFDE7、如圖在，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，當(dāng)沿EF將折疊，恰使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處，并且有時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB上和AC上的什么位置？ABCDE8、如圖AC=6，BC=8，點(diǎn)D在AC上，（不與點(diǎn)A，C重合）。點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合）。如果線段DE把的周長和面積都平分成相等的兩部分，請求出AD和AE的長。9、星期天，小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩。從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá) 目的地，游玩3小時(shí)后按原路返回，小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強(qiáng)，如圖是他們離家的路程（千米）與時(shí)間（時(shí)）的函數(shù)圖象。已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車的速度為60千米/時(shí)。（時(shí)）（千米）25CDAB （1）小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少千米？（2）媽媽出發(fā)多長時(shí)間與