隨機變量的分布與數(shù)字特征課件

1、第二章隨機變量的分布與數(shù)字特征2.1隨機變量及其分布一.隨機變量的概念 我們常常把隨機實驗的各個結果隨機事件 ，用變量來刻畫。其實有許多隨機實驗的結果本身就表現(xiàn)為數(shù)量，如（1）抽查100件產品的次品數(shù)；（2）某電話交換臺單位時間內接到呼喚的次數(shù);(3)射擊彈著點與目標的距離?？磥碛米兞康姆绞奖硎倦S機實驗的結果方便簡單書P35定義2.1對于隨機變量，首先要了解他可能取那些值，如上三例（1）隨機變量X的可能取值為0，1，2，100共101種（2）交換次數(shù)Y可能的取值為0，1，2，（3）彈著點與目標的距離Z的可能取值為0，a，a表示某一實數(shù)二.離散型隨機變量的概率分布書P35定義2.2 離散型隨機變

2、量的可能取值是有限的或可列的僅僅知道隨機變量的取值是不夠的，我們還需知道它取各種可能值對應的概率 書P35定義2.3 XP概率分布表：概率分布圖：例1書P36例2.1例2書P36例2.2例3書P36例2.3反過來，我們把滿足以上兩條性質的函數(shù)稱為某離散型隨機變量例4.某射手命中環(huán)數(shù)這一離散型隨機變量的分布如下：X012345678910p00000.010.010.060.090.280.30.25求（1）命中6環(huán)以上的概率； （2）命中4環(huán)到6環(huán)的概率； （4）命中4環(huán)以下的概率.X 0 2 P三.分布函數(shù)書P38定義2.4 例1.書P38例2.5四、離散型隨機變量的分布函數(shù)一個離散型隨機變

3、量的分布也可由分布函數(shù)來描述，事 實上其概率分布與分布函數(shù)能夠相互確定例3.書P39例2.6例4.書P39例2.70yx5F(x)500 xY=f(x)F(x)y書P40定義2.5xy0 xabY=f(x)(4)F(x)為連續(xù)函數(shù)x0abcd一般用概率分布來描述離散型隨機變量，用概率密度函數(shù) （簡稱密度函數(shù)）來描述連續(xù)型隨機變量。歸納：得a=0,b=1,c=-1,d=1解：由分布函數(shù)的性質，有 書P68習題9（2）2.2 隨機變量的數(shù)字特征一、離散型隨機變量的數(shù)學期望書P42定義2.6例1 .書P43例2.9二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望書P44定義2.7例1.書P44例2.10例2.書P45例

4、2.11三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 書P45定理2.1例1.書P46例2.12例2.書P46例2.13 四、數(shù)學期望的性質(書P47)五、隨機變量的方差這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定 例5.書P48例2.15例6.書P49例2.16例7.書P49例2.17到站時刻8：109：108：309：308：509：50概率六、隨機變量的矩與切比雪夫不等式 書P50定義2.9 書P50定理2.2 書 P 50推論例9.已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數(shù)平均為7300，均方差是700，試用切比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率。書P51推論32.3 常用的離散型分布一、退化分布二、

5、兩點分布任何一個只有兩個可能結果的隨機試驗都可以用一個服從兩點分布的隨機變量來表示三、n個點上的均勻分布容易求得： 四、二項分布例1.某人射擊的命中率為0.8，今連續(xù)射擊30次，計算命中率為60%的概率。kb(k;20,p)0二項分布的概率分布圖2.二項分布的最可能值例2.若每次射擊中靶的概率為0.7，求射擊10炮，至少命中3炮的概率，最可能命中幾炮 。五、幾何分布 幾何分布的“無記憶性”： 對隨后的記憶來說，不成功的信息是被“忘記”了 六、超幾何分布解：可以取0，1，2，3這四個值有 二項分布與超幾何分布之間的關系： 其實，超幾何分布是在N個元素中無放回抽取n個元素（可以看作一次取一個，共取

6、了n次，也可看作一次取出n個），而二項分布是在N個元素中有放回的一次取一個，共取了n次。 所以，當超幾何分布的N很大，n相對于N很小時，無放回可以近似看作有放回，即用二項分布近似計算超幾何分布證明如下：例4.一大批種子的發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒，求播種后，（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不少于8粒發(fā)芽的概率七、泊松（Poisson）分布 1.分布律 泊松分布常見于所謂稠密性的問題中如一段時間內，電話用用戶對電話臺的呼喚次數(shù)、候車的旅客數(shù)、原子放射粒子數(shù)、織機上斷頭的次數(shù)、零件鑄造表面上一定大小的面積內砂眼的個數(shù)等等2.二項分布與泊松分布之間的近似關系 書P57定理2.4（泊松定理)理解

7、為:在n重貝努利試驗中,當n很大(一般大于100),p較小(一般小于0.1),且np不能太大(一般小于5),則例8某地區(qū)疾病資料統(tǒng)計表明，因感冒而導致死亡的比例為0.2%（死因獨立）現(xiàn)有1000人患感冒求（1）恰有4人死亡的概率；（2）死亡人數(shù)不超過2人的概率 解一：設X服從超幾何分布這時，n=1000,需要選取N 例9.一個紗廠在某段時間內每一紗錠斷紗率的為0.004,一個女工管理1000個紗錠,問在該段時間內:(1)一女工最可能遇到的斷紗次數(shù);(2)一女工遇到的斷紗次數(shù)不超過10次的概率.例10.設有80臺同類型的設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能由

8、一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法： 其一，由4人維護，每人負責20臺； 其二，由3人,共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解：按第一種方法 或用泊松分布近似 按第二種方法 :我們發(fā)現(xiàn)，在后一種情況盡管任務重了（每人平均維護27臺），但工作效率不僅沒有降低，反而提高了 2.4 常用的連續(xù)型分布一、均勻分布故方程有實根的概率為 二、指數(shù)分布 指數(shù)分布通常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間，比如，乘客在公共汽車站等車的時間，產品（動物）的使用壽命，電話交換臺收到兩次呼叫的時間間隔. (到t時間沒有“壞”的概率)書P59定理2.5（無記憶性） 例4.書P59例

9、2.22三、正態(tài)分布 2.一般正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質：4.標準正態(tài)分布函數(shù)值表(書 P270附表2）書P61例2.234.一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系書P61定理2.6 答案：B(由推論1）例11. 設XN(,2),P(X-1.6)=0.036,P(X5.9)=0.758, 求 及.解: P(X-1.6)=又P(X5.9)=聯(lián)立解方程組得:=3,=3.85.正態(tài)分布的應用是否能錄取，解法有兩種 :所以此人能被錄取 方法二 看錄取分數(shù)線 設被錄用者的最低分數(shù)限為 a所以此人能被錄取 例14.書P70習題26用泊松分布近似計算二項分布：np=5 2.5 隨機變量函數(shù)的分布一、隨機變量的函數(shù) 我們常常遇到一些隨機變量，它們的分布往往難于直接得到（如滾珠體積的測量值等），但是與它們有關系的另一些隨機變量，其分布卻是容易知道的（如滾珠直徑的測量值）因此，要研究隨機變量之間的關系，從而通過它們之間的關系，由已知的隨機變量的分布求出與之有關的另一個隨機變量的分布這就是本節(jié)的主要任務 。二、離散型隨機變量函數(shù)的分布 Y的可能取值為3，-1，-3，-5三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布一般說來，連續(xù)型隨機變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機變量這時討論隨機變量