高考數(shù)學(xué)微專題集專題15圓錐曲線焦點三角形微點3圓錐曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題(原卷版+解析)

專題15圓錐曲線焦點三角形微點3圓錐曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題專題圓錐曲線焦點三角形微點3圓錐曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題【微點綜述】在圓錐曲線的考查中，焦點三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體．焦點三角形結(jié)合圓，這樣的試題難度一定不會小，往往還涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識．本文歸納橢圓、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，并作進一步的引申和推廣．一、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)橢圓的焦點三角形指的是橢圓上一點與橢圓的兩個焦點所連接成的三角形．橢圓的焦點三角形問題，可以將橢圓定義和性質(zhì)、三角形的幾何性質(zhì)以及解三角形等進行有機結(jié)合．圓是平面幾何中非常重要的研究對象，焦點三角形的內(nèi)切圓問題對于問題轉(zhuǎn)化能力、幾何性質(zhì)的應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力提出了更高維度的要求，是解析幾何綜合問題重點考察內(nèi)容之一．下面先看橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的三個性質(zhì)：如圖1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設(shè)，則有如下性質(zhì)：【性質(zhì)1】．【性質(zhì)2】，其中為橢圓的離心率．圖1證明：由切線長定理得：，則，又根據(jù)橢圓定義得，因此，性質(zhì)1得證．下面證明性質(zhì)2．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓性質(zhì)得軸，當(dāng)點在第一象限時，則．根據(jù)切線長定理，①，根據(jù)橢圓的第二定義得到焦半徑公式：，②，由①②得：．，．當(dāng)時，，同理，由得．當(dāng)時，，．綜上，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點時性質(zhì)2恒成立．【評注】性質(zhì)1和性質(zhì)2的證明采用的是“算兩次”的方法．性質(zhì)1中對算式先利用切線長定理進行化簡，再根據(jù)橢圓定義進行整理，從而構(gòu)造方程并求解．性質(zhì)2內(nèi)心橫坐標(biāo)利用切線長定理和橢圓焦半徑公式對算兩次構(gòu)造方程，內(nèi)心縱坐標(biāo)利用焦點三角形面積的兩種表述算兩次求解．【性質(zhì)3】橢圓焦點三角形的旁切圓與所在直線相切與頂點，當(dāng)P點位于左側(cè)時，旁切圓在左側(cè)切點是左頂點，在右側(cè)時候，切點是右頂點．證明：，，∴，∴，因此A為切點．圖2二、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用(一)定值問題1．已知橢圓左、右焦點分別為，為橢圓上異于長軸端點的動點，的內(nèi)心為，則___________________．2．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，點I、G分別為△PF1F2的內(nèi)心、重心．當(dāng)IG恒與軸垂直時，橢圓的離心率是_______.3．已知橢圓左、右焦點分別為為橢圓上一點，的內(nèi)心為，若內(nèi)切圓半徑為，則___________________．(二)軌跡問題4．已知橢圓左、右焦點分別為為橢圓上異于長軸端點的動點，的內(nèi)心為，求點的軌跡方程．圓錐曲線的定義、曲線方程、性質(zhì)存在著諸多聯(lián)系，很多性質(zhì)并不是孤立的，所以我們可以試著將橢圓焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)研究思路應(yīng)用到雙曲線中，得到類似的性質(zhì)．下面我們研究雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．三、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)【性質(zhì)1】如圖6，已知為雙曲線的左、右焦點，則的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的頂點；且當(dāng)點為雙曲線左支時，切點為左頂點；且當(dāng)點為雙曲線右支時，切點為右頂點．證明：設(shè)雙曲線的焦點三角形的內(nèi)切圓且三邊，，于點A，B，C，雙曲線的兩個頂點為，，，∵，∴，∴A在雙曲線上，又∵A在上，A是雙曲線與x軸的交點即點（或）．圖6圖7【性質(zhì)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設(shè)，則．證明：由切線長定理得：，則，又根據(jù)雙曲線定義得，因此．軸，，又．【評注】性質(zhì)2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構(gòu)造方程求解．同理可得，為雙曲線的左支上異于實軸端點的任意一點，．若點為雙曲線的上異于實軸端點的動點，內(nèi)心的軌跡為或，且．【性質(zhì)3】如圖3，已知為雙曲線的左、右焦點，過右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，若的內(nèi)切圓圓心分別為，半徑分別為，則（1）在直線上；（2）．圖3從以上性質(zhì)的證明過程中可以看出，這些性質(zhì)的背后隱含著橢圓的定義、雙曲線的定義、內(nèi)切圓的定義、三角形全等、切線長定理、中位線定理等基礎(chǔ)知識；性質(zhì)的證明需要具有一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力，可以考查學(xué)生對應(yīng)核心素養(yǎng)維度的發(fā)展水平．另外證明過程中用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等數(shù)學(xué)思想方法．這些都是學(xué)生應(yīng)該掌握的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想與基本活動經(jīng)驗，說明該考點不超綱，可以作為命題的出發(fā)點．四、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用5．雙曲線的左、右焦點分別、，P為雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓與x軸相切于點C，則圓心I到y(tǒng)軸的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓的圓心為I，過作直線PI的垂線，垂足為B，則點B的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．雙曲線7．已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內(nèi)切圓切x軸于點M，則的值為（

）A． B． C． D．8．點是雙曲線右支上一點，分別為左、右焦點.的內(nèi)切圓與軸相切于點.若點為線段中點，則雙曲線離心率為（

）A． B．2 C． D．3解析幾何是數(shù)學(xué)中最有魅力的內(nèi)容之一，方程是描述曲線性質(zhì)的語言，曲線又是方程特征的直觀體現(xiàn)．圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容，包含特有的對稱美和統(tǒng)一美，其離心率是圓錐曲線統(tǒng)一美的集中體現(xiàn)，隨著離心率的量變，圓錐曲線的形狀也會隨之發(fā)生質(zhì)變．本文所研究的橢圓的焦點三角形的內(nèi)心坐標(biāo)和橢圓上點的坐標(biāo)關(guān)系同樣與離心率相關(guān)，展示著圓錐曲線的美妙和神奇．結(jié)合橢圓的焦點三角形的重要性質(zhì)可以解決很多比較棘手的定值問題以及軌跡問題，同樣可以將研究方法進行推廣來探究雙曲線是否也有類似的結(jié)論和性質(zhì)．解析幾何的魅力在于本身知識體系的深度、交叉內(nèi)容的廣度以及思想方法的靈活多樣，相信隨著研究的深入可以得到更多有趣且優(yōu)美的結(jié)論．【強化訓(xùn)練】9．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點O為雙曲線的中心，點P在雙曲線右支上，△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為Q，圓Q與x軸相切于點A，過F2作直線PQ的垂線，垂足為B，則下列結(jié)論成立的是()A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|C．|OA|＝|OB| D．|OA|與|OB|大小關(guān)系不確定10．已知點P是雙曲線左支上除頂點外的一點，，分別是雙曲線的左、右焦點，，，雙曲線離心率為e，則（

）A． B． C． D．11．已知點P為橢圓上異于左、右頂點的任意一點，是左、右焦點，連接，作的旁切圓（與線段延長線及延長線均相切），其圓心為，則動圓圓心的軌跡所在曲線是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測）12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【評注】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率．(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）13．已知是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內(nèi)切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標(biāo)原點），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．(2023·江西·上高二中模擬預(yù)測）15．已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·湖北·高二月考）16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．17．橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為，，曲線，在第一象限交于點是內(nèi)切圓圓心，O為坐標(biāo)原點，垂直射線于點，，則點坐標(biāo)是___________________．18．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上且不與頂點重合，滿足，該雙曲線的離心率為___________________．(2023·全國·高二專題練習(xí)）19．已知點，分別是雙曲線：的左、右焦點，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為________．(2023·四川達州·高二期末）20．已知，是雙曲線的左?右焦點，P為曲線上一點，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e，則___________.(2023·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測）21．已知雙曲線分別為其左?右焦點，若點P在雙曲線的右支上，且的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1，則該雙曲線的離心率為___________.專題15圓錐曲線焦點三角形微點3圓錐曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題專題圓錐曲線焦點三角形微點3圓錐曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題【微點綜述】在圓錐曲線的考查中，焦點三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體．焦點三角形結(jié)合圓，這樣的試題難度一定不會小，往往還涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識．本文歸納橢圓、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，并作進一步的引申和推廣．一、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)橢圓的焦點三角形指的是橢圓上一點與橢圓的兩個焦點所連接成的三角形．橢圓的焦點三角形問題，可以將橢圓定義和性質(zhì)、三角形的幾何性質(zhì)以及解三角形等進行有機結(jié)合．圓是平面幾何中非常重要的研究對象，焦點三角形的內(nèi)切圓問題對于問題轉(zhuǎn)化能力、幾何性質(zhì)的應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力提出了更高維度的要求，是解析幾何綜合問題重點考察內(nèi)容之一．下面先看橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的三個性質(zhì)：如圖1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設(shè)，則有如下性質(zhì)：【性質(zhì)1】．【性質(zhì)2】，其中為橢圓的離心率．圖1證明：由切線長定理得：，則，又根據(jù)橢圓定義得，因此，性質(zhì)1得證．下面證明性質(zhì)2．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓性質(zhì)得軸，當(dāng)點在第一象限時，則．根據(jù)切線長定理，①，根據(jù)橢圓的第二定義得到焦半徑公式：，②，由①②得：．，．當(dāng)時，，同理，由得．當(dāng)時，，．綜上，為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點時性質(zhì)2恒成立．【評注】性質(zhì)1和性質(zhì)2的證明采用的是“算兩次”的方法．性質(zhì)1中對算式先利用切線長定理進行化簡，再根據(jù)橢圓定義進行整理，從而構(gòu)造方程并求解．性質(zhì)2內(nèi)心橫坐標(biāo)利用切線長定理和橢圓焦半徑公式對算兩次構(gòu)造方程，內(nèi)心縱坐標(biāo)利用焦點三角形面積的兩種表述算兩次求解．【性質(zhì)3】橢圓焦點三角形的旁切圓與所在直線相切與頂點，當(dāng)P點位于左側(cè)時，旁切圓在左側(cè)切點是左頂點，在右側(cè)時候，切點是右頂點．證明：，，∴，∴，因此A為切點．圖2二、橢圓焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用(一)定值問題1．已知橢圓左、右焦點分別為，為橢圓上異于長軸端點的動點，的內(nèi)心為，則___________________．2．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，點I、G分別為△PF1F2的內(nèi)心、重心．當(dāng)IG恒與軸垂直時，橢圓的離心率是_______.3．已知橢圓左、右焦點分別為為橢圓上一點，的內(nèi)心為，若內(nèi)切圓半徑為，則___________________．(二)軌跡問題4．已知橢圓左、右焦點分別為為橢圓上異于長軸端點的動點，的內(nèi)心為，求點的軌跡方程．圓錐曲線的定義、曲線方程、性質(zhì)存在著諸多聯(lián)系，很多性質(zhì)并不是孤立的，所以我們可以試著將橢圓焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)研究思路應(yīng)用到雙曲線中，得到類似的性質(zhì)．下面我們研究雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．三、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)【性質(zhì)1】如圖6，已知為雙曲線的左、右焦點，則的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的頂點；且當(dāng)點為雙曲線左支時，切點為左頂點；且當(dāng)點為雙曲線右支時，切點為右頂點．證明：設(shè)雙曲線的焦點三角形的內(nèi)切圓且三邊，，于點A，B，C，雙曲線的兩個頂點為，，，∵，∴，∴A在雙曲線上，又∵A在上，A是雙曲線與x軸的交點即點（或）．圖6圖7【性質(zhì)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，的內(nèi)切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設(shè)，則．證明：由切線長定理得：，則，又根據(jù)雙曲線定義得，因此．軸，，又．【評注】性質(zhì)2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構(gòu)造方程求解．同理可得，為雙曲線的左支上異于實軸端點的任意一點，．若點為雙曲線的上異于實軸端點的動點，內(nèi)心的軌跡為或，且．【性質(zhì)3】如圖3，已知為雙曲線的左、右焦點，過右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，若的內(nèi)切圓圓心分別為，半徑分別為，則（1）在直線上；（2）．圖3從以上性質(zhì)的證明過程中可以看出，這些性質(zhì)的背后隱含著橢圓的定義、雙曲線的定義、內(nèi)切圓的定義、三角形全等、切線長定理、中位線定理等基礎(chǔ)知識；性質(zhì)的證明需要具有一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力，可以考查學(xué)生對應(yīng)核心素養(yǎng)維度的發(fā)展水平．另外證明過程中用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、類比等數(shù)學(xué)思想方法．這些都是學(xué)生應(yīng)該掌握的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想與基本活動經(jīng)驗，說明該考點不超綱，可以作為命題的出發(fā)點．四、雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓的重要性質(zhì)的應(yīng)用5．雙曲線的左、右焦點分別、，P為雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓與x軸相切于點C，則圓心I到y(tǒng)軸的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點，的內(nèi)切圓的圓心為I，過作直線PI的垂線，垂足為B，則點B的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．雙曲線7．已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內(nèi)切圓切x軸于點M，則的值為（

）A． B． C． D．8．點是雙曲線右支上一點，分別為左、右焦點.的內(nèi)切圓與軸相切于點.若點為線段中點，則雙曲線離心率為（

）A． B．2 C． D．3解析幾何是數(shù)學(xué)中最有魅力的內(nèi)容之一，方程是描述曲線性質(zhì)的語言，曲線又是方程特征的直觀體現(xiàn)．圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容，包含特有的對稱美和統(tǒng)一美，其離心率是圓錐曲線統(tǒng)一美的集中體現(xiàn)，隨著離心率的量變，圓錐曲線的形狀也會隨之發(fā)生質(zhì)變．本文所研究的橢圓的焦點三角形的內(nèi)心坐標(biāo)和橢圓上點的坐標(biāo)關(guān)系同樣與離心率相關(guān)，展示著圓錐曲線的美妙和神奇．結(jié)合橢圓的焦點三角形的重要性質(zhì)可以解決很多比較棘手的定值問題以及軌跡問題，同樣可以將研究方法進行推廣來探究雙曲線是否也有類似的結(jié)論和性質(zhì)．解析幾何的魅力在于本身知識體系的深度、交叉內(nèi)容的廣度以及思想方法的靈活多樣，相信隨著研究的深入可以得到更多有趣且優(yōu)美的結(jié)論．【強化訓(xùn)練】9．已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點O為雙曲線的中心，點P在雙曲線右支上，△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為Q，圓Q與x軸相切于點A，過F2作直線PQ的垂線，垂足為B，則下列結(jié)論成立的是()A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|C．|OA|＝|OB| D．|OA|與|OB|大小關(guān)系不確定10．已知點P是雙曲線左支上除頂點外的一點，，分別是雙曲線的左、右焦點，，，雙曲線離心率為e，則（

）A． B． C． D．11．已知點P為橢圓上異于左、右頂點的任意一點，是左、右焦點，連接，作的旁切圓（與線段延長線及延長線均相切），其圓心為，則動圓圓心的軌跡所在曲線是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測）12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【評注】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率．(2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）13．已知是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內(nèi)切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標(biāo)原點），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．(2023·江西·上高二中模擬預(yù)測）15．已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．(2023·湖北·高二月考）16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．17．橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為，，曲線，在第一象限交于點是內(nèi)切圓圓心，O為坐標(biāo)原點，垂直射線于點，，則點坐標(biāo)是___________________．18．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上且不與頂點重合，滿足，該雙曲線的離心率為___________________．(2023·全國·高二專題練習(xí)）19．已知點，分別是雙曲線：的左、右焦點，是右支上的一點，與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為________．(2023·四川達州·高二期末）20．已知，是雙曲線的左?右焦點，P為曲線上一點，，的外接圓半徑是內(nèi)切圓半徑的4倍.若該雙曲線的離心率為e，則___________.(2023·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測）21．已知雙曲線分別為其左?右焦點，若點P在雙曲線的右支上，且的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1，則該雙曲線的離心率為___________.參考答案：1．2分析：運用橢圓的定義和圓切線的性質(zhì)，以及內(nèi)心的定義，結(jié)合切線的性質(zhì)，即可求得．【詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：，因為為橢圓上異于長軸端點的動點，由橢圓定義可得，所以，如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓與，分別相切于點，，．則由圓的切線性質(zhì)可得，，，所以，所以，，所以．故答案為：2.2．【詳解】設(shè)則根據(jù)垂心和內(nèi)心的性質(zhì)知,故而，因此，而由軸，知，代入解得（舍去）或因此，橢圓的離心率3．分析：不妨設(shè)在第一象限，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)心，則，根據(jù)等面積法求出，再代入橢圓方程求出，即可求出直線的方程，再由點到直線的距離公式求出，最后由兩點間的距離公式計算可得.【詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：，離心率．不妨設(shè)在第一象限，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)心，則，則，所以，即，解得，代入橢圓的方程可得，解得或（舍去），所以，所以，即，則到的距離，即，解得或（舍去），所以，．故答案為：4．分析：設(shè)，利用性質(zhì)找出之間的坐標(biāo)的關(guān)系，利用在橢圓上即可得到的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系.【詳解】如圖，設(shè)，圓與三邊相切于點．由性質(zhì)2得：，解得．，代入可得所求點的軌跡方程為．5．D分析：設(shè)三角形內(nèi)切圓的切點為，，，其中在軸上，那么，又，所以轉(zhuǎn)換后可得，又，由此能求出圓心到軸的距離．【詳解】解：因為雙曲線，所以設(shè)三角形內(nèi)切圓的切點為，，，其中在軸上，由內(nèi)切可得，那么，又所以，又，所以點的橫坐標(biāo)為4，點的橫坐標(biāo)也為4，故圓心到軸的距離為4．故選：D．6．B分析：根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把，轉(zhuǎn)化為，從而求得點A的橫坐標(biāo)．再在三角形中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形中，利用中位線定理得出，即可得到結(jié)論．．【詳解】、，內(nèi)切圓與軸的切點是點，，及圓的切線長定理知，，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，則，；，在中，由題意得，于，延長交于點，易得PB是的中垂線，故點B是線段的中點，在三角形中，有：．即點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選：B．7．C分析：由已知點的坐標(biāo)求得，根據(jù)內(nèi)切圓性求得點坐標(biāo)，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算．【詳解】在雙曲線上，可得，∴、，如圖，設(shè)，內(nèi)切圓與x軸的切點是點M，、與內(nèi)切圓的切點分別為N、H，∵由雙曲線的定義可得，由圓的切線長定理知，，故，即，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點M的橫坐標(biāo)為x，故，∴，∴，故選：C．8．B分析：設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，邊上的切點分別為結(jié)合切線段長相等及雙曲線的定義，可得，可得的橫坐標(biāo)為，由點為線段中點，可得，從而可得離心率.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，邊上的切點分別為易見橫坐標(biāo)相等，則由即得即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，由點為線段中點，知.故選:B.9．C【詳解】由于點Q為三角形PF1F2內(nèi)切圓的圓心，故過點F2作PQ的垂線并延長交PF1于點N，易知垂足B為F2N的中點，連接OB，則|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又設(shè)內(nèi)切圓與PF1，PF2分別切于G，H，則由內(nèi)切圓性質(zhì)可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，設(shè)|OA|＝x，則有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故選C.10．B分析：在中，由正弦定理可得邊角關(guān)系，結(jié)合兩角和與差的正弦公式以及正弦的二倍角公式，以及弦切互化即可求解.【詳解】在中，由正弦定理得：,進而可得，即，由于所以∴，∴，∴．故選：B．11．A分析：先根據(jù)已知條件畫出圖象，然后由切線長相等定理得到3組線段相等，再由橢圓的定義結(jié)合相等的線段進行變換即可得到點滿足的條件.【詳解】如圖,畫出圓M，切點分別為E、D、G，由切線長相等定理知，，，根據(jù)橢圓的定義知，∴，

∴，，即點G與右頂點重合，∴點在軸上的射影是右頂點，點的軌跡是過右頂點且垂直于軸的一條直線（除去點）.故選:A．12．A分析：對變形得到，進而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點睛】對于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點在于如何將進行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.13．B分析：依題意可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)等面積法得到，即可得到的最大值，從而求出，即可求出橢圓的離心率；【詳解】解：由橢圓，可得，，，則，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，，則，要使內(nèi)切圓半徑最大，則需最大，，又內(nèi)切圓半徑的最大值為，即，解得，所以．則橢圓的離心率故選：B．14．C分析：由分析可得，根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義分析可得切點D為雙曲線的右頂點，在中，由勾股定理列式求解.【詳解】，即為，即為，可得．所以．根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，由題意設(shè)的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點，則，，．又，所以．設(shè)，則，所以，所以切點D為雙曲線的右頂點，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因為，所以C的離心率為，故選：C．15．D分析：延長到且，延長到且，結(jié)合向量的線性關(guān)系知是△的重心，根據(jù)重心和內(nèi)心的性質(zhì)，進而得到，由雙曲線定義得到齊次方程，即可求離心率.【