快速學完高等數(shù)學(基礎(chǔ)講義)

1、1.本講義由Mr.J學長整理，部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡，僅供群內(nèi)同學個人打印學習使用，請勿用 于商業(yè)用途。 2.講義僅供高等數(shù)學學習不好的同學使用，謝絕學霸及學長學姐使用。 3.講義必須配合學長講解才能完全吸收，自己看不保證能期末通過。 4.講座的目的是幫助數(shù)學學不好的同學找回信心，學好數(shù)學以及順利通過期末考試而不至于 復習太累甚至掛科。 5.同時更大的意義在于，為大家以后考研復習數(shù)學打一個初步基礎(chǔ)。 6.講座分為基礎(chǔ)班和進階班，每次100min。一次性搞定數(shù)學，幫助大家節(jié)省時間。一次性搞定數(shù)學，幫助大家節(jié)省時間。 7.此為基礎(chǔ)班所用講義，供零基礎(chǔ)的同學使用學習。 8.學長的這次高等數(shù)學講座完全免費

2、。 聽學長講完課后請回去認真復習以及整理筆記做練習。有任何疑問可在QQ群263973729交流。 高等數(shù)學期末通關(guān)講義 一次搞定搞定數(shù)學 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 1 第一講第一講 函數(shù)函數(shù) 【教學目的】掌握微積分的理論基礎(chǔ) 【教學重點】基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)，掌握三角函數(shù)之間的常用關(guān)系 【內(nèi)容展開】 一、函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 設(shè)兩個變量x和y之間有一個對應規(guī)律,使變量x在可取值的數(shù)集內(nèi)每取一個值時，變量y 按照這個規(guī)律總有確定的數(shù)值和它對應，則稱y是x的函數(shù)，記作)(xfy ，x的取值范 圍為定義域，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合稱為值域. 注：定義域的求解 若函數(shù)是用解析式表示的， 則定

3、義域就是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)的 集合 若由實際問題建立的函數(shù)，定義域就是具有實際意義的自變量取值的集合； 復雜函數(shù)的定義域，就是求解由簡單函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組的解集； 表達式與自變量的表示符號無關(guān) 2函數(shù)的分類及表示方法 基本初等函數(shù)（定義域、值域、圖形、特性要非常清楚） （1）常值函數(shù) yC（常數(shù)） （2）冪函數(shù) yx（為常數(shù)） （3）指數(shù)函數(shù) x ya（0a且1a） （4）對數(shù)函數(shù) logayx（0a且1a） （5）三角函數(shù) sin ;cos ;tan .yx yx yx cot ;sec ;csc .yx yx yx （6）反三角函數(shù) arcsin ;cos ;

4、yx yarcx arctan ;cot .yx yarcx 初等函數(shù)： 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算有限次四則運算或復合復合所構(gòu)成的用一個解析表達式一個解析表達式表示 的函數(shù)稱為初等函數(shù) 分段函數(shù)：如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩 上或兩個以上的表達式來表示 3.函數(shù)的四大特性 （1）奇偶性： （要求定義域關(guān)于原點對稱） 若)()(xfxf，則稱)(xf為偶函數(shù)； 若)()(xfxf，則稱)(xf為奇函數(shù)； 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 2 注：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱； 常見的奇函數(shù)有：xxxxarcsin,arctan,tan

5、,sin等； 常見的偶函數(shù)有：xx arccos,cos等 （2）周期性： 若)()(xfTxf，則稱T為)(xf的周期.由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一 般我們把其中的最小正周期稱為周期. 注：常見的周期函數(shù)有：xx cos,sin以2為周期，xxxxx 2 sin,cos,sin,cot,tan等 以為周期 （3）單調(diào)性： 若)(xf在區(qū)間I上有定義， 若Ixx 21, （ 21 xx ） 總有)()( 21 xfxf， 則稱)(xf 在I上單調(diào)遞增；若)()( 21 xfxf，則單調(diào)遞減. 注：一個函數(shù)的單調(diào)性取決于區(qū)間 （4）有界性 )(xf在區(qū)間I上有定義，, Ix 都有Mxf)

6、(，則稱)(xf在區(qū)間I上有界，否 則就無界. 注：)(xf有界與否依賴于區(qū)間I，)(xf 在I上有界的充要條件是既有上界又有下界. 常見的有界函數(shù)為:正弦、余弦以及四個反三角函數(shù) 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 3 第二講第二講 極限極限 【教學目的】掌握微積分的理論基礎(chǔ) 【教學重點】會套用公式求解簡單極限 無窮小的概念， 性質(zhì)及無窮小的比較， 會靈活運用等價無窮小化簡復雜的計算 【教學難點】靈活運用等價無窮小化簡復雜 0 0 的運算 【內(nèi)容展開】 1.極限的定義：變化過程+變化趨勢； 2.極限的性質(zhì)： （1）函數(shù)（數(shù)列）極限存在必唯一； (2) 極限的局部保號性： 1）若)0(0)(lim

7、0 Axf xx ，則存在0，當|0 0 xx時，有)0(0)(xf 2）若)0(0)(xf，且Axf)(lim，則)0(0 A （3） 極限的局部有界性：Axf xx )(lim 0 ， 則存在0， 當|0 0 xx時， 有Mxf)( 3極限的計算 （1）極限存在的兩個準則 定理 1（單調(diào)有界準則） ：若數(shù)列 n x滿足單調(diào)上升（下降）有上界（下界） ，則有極限. 定理 2（夾逼準則） ：設(shè)數(shù)列 n x滿足以下兩個條件 1）從某項起 nnn zxy 2）azy n n n n limlim 則 n x有極限且axn n lim. （2）關(guān)于極限的計算 1）套用基本公式求極限 CC lim；)

8、()(lim 0 0 xPxP nn xx ； )( )( )( )( lim 0 0 0 xQ xP xQ xP m n m n xx （)0)( 0 xQm 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 0 m n mn a mn b mn 當時 當時 當時 2）套用兩個重要極限 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 4 利用第一個重要極限1 sin lim 0 x x x 求極限 例：計算下列極限 1） x x x 3sin 2sin lim 0 2） x kx x sin lim 0 3）xx x cotlim 0 利用第二個重要極限ex

9、x x 1 0 )1 (lim求極限 例：計算下列極限 1） x x x 1 0 )1 (lim 2） x x x 3 ) 2 1 (lim 3） x x x x 1 1 lim 4.無窮小與無窮大 （1）無窮小量定義：若 lim0f x ，則稱 f x為無窮小量 （2）無窮小的性質(zhì)： 有界變量乘無窮小量仍是無窮小量. 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小. 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 有限個無窮小的乘積是無窮小. （3）無窮小的比較： 設(shè) lim0 lim0f xg x，且 lim f x l g x 1)0l ，稱 f x是比 g x高階的無窮小量，稱 g x是比 f x低階的無

10、窮小量 記為 f xo g x 2)0l ，稱 f x與 g x是同階無窮小量. 3)1l ，稱 f x與 g x是等價無窮小量，記為)()(xgxf 4）)0( )( )( limcc xg xf k ，稱)(xf是)(xg的k階無窮小 注： （1）等價無窮小有個良好的性質(zhì)可用定理表示如下： 定理 3：設(shè))()( 1 xfxf，)()( 1 xgxg，若 )( )( l i m 1 1 xg xf 存在，則 )( )( lim )( )( lim 1 1 xg xf xg xf . 該定理表明求 0 0 的極限時，可對分子分母分別做等價代換其結(jié)果將保持不變，此結(jié)論可 使得計算簡單許多. （2

11、）常見的等價無窮?。?0x 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 5 xx xx exxxxxx x 1)1 ( 2 1 cos1 1)1ln(arctantanarcsinsin 2 （3）等價無窮小不能濫用，一般建議應用于乘除法因子中做等價代換. 例:計算下列極限 )3sin 11 sin3(lim 0 x xx x x )3sin 11 sin3(limx xx x x x xx x 3 0 sin sintan lim 11 2cos1 lim 20 x x x （4）無窮大量定義：任給0M ，當x變化一定以后，總有 f xM，則稱 f x為 無窮大量，記 lim f x . （5）無窮小和無

12、窮大的關(guān)系： 1) 若)(limxf，則0 )( 1 lim xf ； 2) 若0)(limxf，且0)(xf，則 )( 1 lim xf . 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 6 第三講第三講 連續(xù)連續(xù) 【教學目的】掌握微積分的理論基礎(chǔ) 【教學重點】連續(xù)的定義以及間斷點的類型 【教學難點】連續(xù)與間斷的判定 【內(nèi)容展開】 1函數(shù)在某點連續(xù)的定義： 定義 1： 設(shè)函數(shù))(xf在)( 0 xU內(nèi)有定義, 且0lim 0 y x ,此時就稱函數(shù))(xf在點 0 x連續(xù), 并稱 0 x為 )(xf的連續(xù)點連續(xù)點.否則稱 0 x為 )(xf的間斷點. 間斷點. 定義 2：設(shè)函數(shù))(xf在)( 0 xU內(nèi)有定

13、義，如果有)()(lim 0 0 xfxf xx ，那么就稱)(xf在 0 x 處連續(xù)，否則在 0 x處間斷. 注：)()(lim)(lim)()(lim 00 00 0 xfxfxfxfxf xxxxxx ， 即)(xf在 0 x處連續(xù)的充要條件是既要左連續(xù)又要右連續(xù). 2.間斷點的類型 1）第一類間斷點：左右極限都存在的點.若左極限等于右極限，稱此時的間斷點為第一類的 可去間斷點（可通過修改或者補充原函數(shù)的定義使此類間斷點變成連續(xù) 點） ； 若左極限不等于右極限， 稱此時的間斷點為第一類中的跳躍間斷點. 2）第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在,若 )(lim 0 xf xx ，則稱 0

14、 x是)(xf的無窮 間斷點. 例：判定下列函數(shù)在給定點處的連續(xù)性，若不連續(xù)請指明間斷點的類型，若是可去間斷點請 修改或者補充原函數(shù)的定義使其成為連續(xù)點 1） 01 00 01 )( xx x xx xf 0x 2） 02 0 sin )( x x x x xf0x 3） x xf 1 )( 0x 【教學總結(jié)】本部分主要涉及微積分的基本理論，介紹了什么是函數(shù)，我們要研究的函數(shù)都 有哪些；介紹了什么是極限，有什么性質(zhì)，都該如何去計算等；介紹了連續(xù)與間斷的定義， 如何利用定義表明這個點是函數(shù)的連續(xù)點還是間斷點. 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 7 第四講第四講 導數(shù)與微分導數(shù)與微分 【教學目的】理解

15、導數(shù)的定義，會利用幾何意義建立切線（法線）方程，會求簡單函數(shù)的導 數(shù)，并能利用導數(shù)借助于洛必達法則求解未定式的極限 【教學重點】導數(shù)的定義和幾何意義 借助于求導法則求導數(shù) 掌握洛必達法則 【教學難點】借助于求導法則求導數(shù)，洛必達法則 【內(nèi)容展開】 一、導數(shù)與微分概念 一、導數(shù)與微分概念 1.導數(shù)的定義（增量比的極限） 設(shè)函數(shù) yf x在點 0 x的某鄰域內(nèi)有定義，自變量x在 0 x處有增量x，相應地函數(shù) 增量 00 yf xxf x ，如果極限 00 00 limlim xx f xxf xy xx 存在，則稱此極限為函數(shù) f x在 0 x處的導數(shù)，記作 0 fx或 0 0 0 x x x x

16、 df xdy y xx dxdx ，等，并稱函數(shù) yf x在點 0 x處可導，如果上面的極限不 存在，則稱函數(shù) yf x在點 0 x處不可導. 注： f x在點 0 x處可導 f x在點 0 x處左、右導數(shù)皆存在且相等. 2.導數(shù)的幾何意義： 如果函數(shù) yf x在點 0 x處導數(shù) 0 fx存在，則在幾何上 0 fx表示曲線 yf x在 點 00 xf x，處的切線的斜率，于是有 切線方程 000 yf xfxxx 法線方程： 000 0 1 0yf xxxfx fx 3.求導法則 1)基本求導公式： 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 8 0)(C xxcos)(sin xxsin)(cos x

17、xx 2 2 cos 1 sec)(tan 2 2 1 (cot )csc sin xx x xxxtansec)(sec xxxcotcsc)(csc aaa xx ln)( ax x a ln 1 )(log 2 1 1 )(arcsin x x 2 1 1 )(arccos x x 2 1 1 )(arctan x x 2 1 1 )cot( x xarc 2）四則運算的求導法則 設(shè)vu,均為x的可導函數(shù)，則 vuvu )( uvvuuv ) ( 2 v uvvu v u （0v） 3）復合函數(shù)的求導法則 設(shè))(),(xuufy均可導，則)(xfy可導，且 dx du du dy dx

18、dy 即y對x的導數(shù)等于y對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對x的導數(shù)， 可見要學好復合函數(shù)的 導數(shù)得學會分析復合函數(shù)的形成過程. 4）隱函數(shù)的求導法則 設(shè) yy x是由方程0F xy ，所確定，求 y 的方法如下：把0F xy ，兩邊的各項 對x求導，把y看作中間變量，用復合函數(shù)求導公式計算，然后再解出 y 的表達式. 5）反函數(shù)的求導法則 設(shè) yf x的反函數(shù) xg y，兩者皆可導，且0)( y g dy dx dx dy1 6）分段函數(shù)的求導：分段函數(shù)分段求，分段點處定義求 4.洛必達法則： 定理 1：設(shè) （1）)(0)(lim 0 xf xx )(0)(lim 0 xg xx （2）在 0

19、x的某去心鄰域內(nèi))(),(xgxf都可導，且滿足)( )( )( lim 0 a xg xf xx ，其中0)( x g 則， )( )( lim 0 xg xf xx )( )( )( lim 0 a xg xf xx 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 9 例：計算下列極限 3 0 sin lim x xx x 3 0 )sin(sinsin lim x xx x x n x e x lim x x x ln lim xx x lnlim 0 ) tan 11 (lim 0 xx x 二、微分 二、微分 1.微分的定義：設(shè)函數(shù) yf x在點 0 x處有增量x時，如果函數(shù)的增量 00 yf xxf

20、 x 有下面的表達式 0 0yA xxoxx 其中 0 A x與x無關(guān)，ox是0 x 時比x高階的無窮小，則稱 f x在 0 x處可微， 并把y中的主要線性部分 0 A xx稱為 f x在 0 x處的微分， 記以 0 |x xdy 或 0 x x df x . 2.可微的計算： 定理 2：)(xfy 在 0 x處可微的充要條件是)(xfy 在 0 x處可導且xxfdy xx )( 0 0 . 【教學總結(jié)】 本部分講述了導數(shù)的定義和常用的求導法則， 能夠根據(jù)導數(shù)解決曲線在某點的 切線和法線方程，利用導數(shù)和洛必達的法則求解未定式的極限. 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 10 第五講第五講 不定積分不

21、定積分 【教學目的】理解原函數(shù)和不定積分的定義，會求不同類型函數(shù)的不定積分 【教學重點】原函數(shù)的不定積分的定義 第一換元法，第二換元法，分部積分法 【教學難點】第一換元法 【內(nèi)容展開】 一、原函數(shù)與不定積分的概念與性質(zhì) 1原函數(shù)與不定積分的概念 設(shè)函數(shù) f x和 F x在區(qū)間I上有定義， 若 Fxf x在區(qū)間I上成立 則稱 F x為 f x在區(qū)間I的原函數(shù)， f x在區(qū)間I中的全體原函數(shù)稱為 f x在區(qū)間I的不定積分， 記以 fx dx .其中稱為積分號，x稱為積分變量， f x稱為被積函數(shù)， f x dx稱 為被積表達式. 2.性質(zhì)：分析性質(zhì)和運算性質(zhì) （1） Fx dxF xC 或 dF

22、xF xC （2） f x dxf x 或 df x dxf x dx （3） kf x dxkf x dx （4） f xg x dxf x dxg x dx 二、基本積分公式 Ckxkdx Cxxdxcossin Cxxdxsincos Cxxdx coslntanCxxdx sinlncot Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc CxxdxxsectansecCxxdxx csccotcsc xxtansec2 Cxdxx cotcsc2 Cxdx x arctan 1 1 2 Cxdx x arcsin 1 1 2 三、不定積分積分法 高等數(shù)學期末

23、通關(guān)講義高等數(shù)學 11 1.第一換元法的基本原理 ux fxx dxfxdxf u du 令 ( )F uCFxC 注：目的是化為能帶基本積分公式的方法 例：計算下列不定積分 dx e e x x 1 dx x x 2 1 sin dx x x sin dx x x 2 ln dxxx 2 cossin xdxxcossindx x x 2 arccos 1 100 dxxx 2 1 2第二換元法的基本原理 1 xt f x dxftt dtG tCGxC 令 ， 其 中 1 tx為 xt的反函數(shù). 注：是一種化繁為簡的方法，主要的目的是為了去掉被積函數(shù)中的根號 例：計算下列不定積分 dxxa

24、 22 )0(a 22 xa dx )0(a xx dx 1 3.分部積分法的基本原理 設(shè) u xv x，均有連續(xù)的導數(shù)，則 u x dv xu x v xv x du x 例：計算下列不定積分 xdxxsin xdxxarctan xdxxlnxdxexsin xdxarctan dxxe x 4.有理函數(shù)積分法的基本原理 （1）有理函數(shù)的相關(guān)定義： 有理函數(shù)是指兩個多項式的商表示的函數(shù) m mm n nn bxbxb axaxa xQ xP 1 10 1 10 )( )( 其中 n aaaa, 210 及 m bbbb, 210 為常數(shù)，且0 0 a，0 0 b. 如果分子多項式)(xP的

25、次數(shù)n小于或等于分母多項式)(xQ的次數(shù)m，稱分式為真分式； 如果分子多項式)(xP的次數(shù)n大于或等于分母多項式)(xQ的次數(shù)m，稱分式為假分式. 利用多項式除法可得，任一假分式可轉(zhuǎn)化為多項式與真分式之和. （2）定理：若上面定義中的)(xQ可以被因式分解成 slk qpxxbxaxbxQ)()()()( 2 0 （)04 2 qp 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 12 則 s l l k k qpxx QxP qpxx QxP qpxx QxP bx B bx B bx B ax A ax A ax A xQ xP )()( )()()( )()()()( )( 2 11 22 22 2 11

26、 2 21 2 21 例:求下列不定積分 dx xx65 1 2 dx xx)1)(1 ( 1 2 【教學總結(jié)】 本部分主要涉及不定積分定義與計算， 要求能掌握不定積分的三大核心計算方 法，第一換元法，第二換元法，分部積分法 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 15 例：計算下列定積分 dxxx 2 0 2 cossin dxxa a 0 22 )0(a 3.定積分的分部積分法原理 b a b a b a vduuvudv 例：計算下列定積分 e xdxx 1 ln dxe x 1 0 【教學總結(jié)】 本部分涉及了定積分的概念和性質(zhì)， 要理解定積分的定義為以后的定積分應用 打下基礎(chǔ)，會利用牛頓萊布尼茨

27、計算定積分的值. 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 13 第六講第六講 定積分定積分 【教學目的】理解定積分的定義和性質(zhì)，掌握定積分的計算方法 【教學重點】定積分的定義和性質(zhì) 定積分的計算方法 【教學難點】定積分的定義 【內(nèi)容展開】 一、定積分的概念與性質(zhì) 1定義：設(shè)函數(shù),)(baxf在上有界，在ba,中任意插入若干個分點 bxxxxxa nn 1210 把區(qū)間ba,分成n個小區(qū)間 , , 12110nn xxxxxx 各個小區(qū)間的長度依次為 1122011 , nnn xxxxxxxxx. 在每個小區(qū)間 ii xx, 1 上任取一點 iiii xx 1 (),作函數(shù)值)( i f與小區(qū)間長度 i

28、 x的 乘積), 2 , 1()(nixf ii 并作出和 n i ii xfS 1 )(. 記,max 21n xxx,如果不論對a,b怎樣分法,也不論在小區(qū)間 ii xx, 1 上點 i 怎樣取法,只要當1時,和 S 總趨于確定的極限I,這時我們稱這個極限I為函數(shù) )(xf在區(qū)間a,b上的定積分(簡稱積分),記作 b a dxxf)(,即 b a dxxf)(=I= n i ii xf 1 0 )(lim , 其中)(xf叫做被積函數(shù), dxxf)(叫做被積表達式,x叫做積分變量,a叫做積分下限,b叫 做積分上限, ba,叫做積分區(qū)間. 注意：積分與積分變量無關(guān)，即： b a b a b

29、a duufdttfdxxf)()()( 函數(shù)可積（定積分存在）的兩個充分條件： 高等數(shù)學期末通關(guān)講義高等數(shù)學 14 定理 1 設(shè),)(baxf在上連續(xù)，則)(xf在ba,上可積. 定理 2 設(shè),)(baxf在上有界，且只有有限個間斷點，則,)(baxf在上可積. 2定積分的性質(zhì) 為方便定積分計算及應用，作如下補充規(guī)定： （1） 當ba 時，0)( b a dxxf （2） 當ba 時， b a dxxf)( a b dxxf)( 性質(zhì) 1：函數(shù)和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差） ，即 dxxgxf b a )()( b a dxxf)( b a dxxg)( 性質(zhì) 2 ：被積函數(shù)的常

30、數(shù)因子可以提到積分號外面，即 b a dxxkf)(k b a dxxf)( (k是常數(shù)) 性質(zhì) 3 ：如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩個區(qū)間上定積分 之和，則 b a dxxf)( c a dxxf)( b c dxxf)( 注意：我們規(guī)定無論cba,的相對位置如何，總有上述等式成立. 性質(zhì) 4 ：如果在區(qū)間ba, 上，則, 1)(xf b a dxxf)(abdx b a 性質(zhì) 5 ：如果在區(qū)間ba,上，則, 0)(xf 0)( b a dxxf )(ba 推論 1 如果在ba,上，則),()(xgxf b a dxxf)( b a dxxg)( （ba ） 推論 2 b a dxxf)( b