高考備考精品：數(shù)學(xué)解題能力快速提升

第 1 頁 共 34 頁 高考 備考精品： 數(shù)學(xué)解題能力快速提升 一 不等式解題方法 一、從 與 的大小說起 【引例】 正實數(shù)中，對任意 a， b， m，都有 這就是 “分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) ”：分?jǐn)?shù)的分子和分母乘以同一個正數(shù)，其值不變 . 這，連小學(xué)生都知道 . 但， 我們的話題卻要從這兒開始 . 【問題】 對以上 “性質(zhì) ”，如果將冒號后的文字改變一個字，將 “乘 ”改成 “加 ”，即變成 這里的等號還能成立嗎？請看下例 . 【例 1】 若 ba0， m0，則有 A. B. C. D. 【解答】 （淘汰法）令 a=1， b=2， m=3 淘汰 B， C， D，答案為 A. 【例 2】 （變例 1 為解答題）若 ba0， m0，試比較 和 的大小 . 【解 1】 （比較法 作差 變形 判定符號） 因為 【解 2】 （綜合法 由因推果 由整式推出分式） ab mamb ab+amab+bm a(b+m)b(a+m) 【說明】 因果關(guān)系，步步清楚，只是在第三步時，對 ab 的無中生有，不易想到 . 【解 3】 （分析法 由果索因 由分式化為整式） 第 2 頁 共 34 頁 欲使 只須 a(b+m)b(a+m) 只須 ambm 只須 a） 【說明】 a 放大為 b，則 縮小為 ，結(jié)果是分值縮小 . 將 縮成 ，目標(biāo)是 “約 ”去 m. 【解 5】 （放縮法 從左到右） （ a0， m0，求證 【法 1】 （等式法 不等式變?yōu)榉匠蹋?設(shè) 得 即 x0，故有 . 【說明】 這種等式法實為比較法的一種變式 . 即作差法的另種形式 . 【法 2】 （等式法 未知數(shù)論設(shè)作因子）設(shè) 則 所以 【說明】 這種等式法為比較法的另一種形式 . 即作商法的另種形式 . 【法 3】 （函數(shù)法 視 m 為 x， ） 設(shè)有函數(shù) 函數(shù) 在 0， m上是減函數(shù)，故 是 0， m上的增函數(shù) .（圖右，其中 a=1， b=2） f（ 0） 0）是 第 4 頁 共 34 頁 （ 0， +）上的減函數(shù) . 【法 4】 （不等式法 把證不等式化為解不等式） 解不等式 即 x=m 為正數(shù)時，原不等式真 . 【說明】 證不等式可視為一種特殊形式的解不等式 .如證 a2-a+10，即 x2-x+10 的解為 R，視參數(shù)為變量 . 解出的參數(shù)值域符合題設(shè)的取值范圍即可 . 【法 5】 （極限法 把參數(shù) m 作極端處理） &nbs,p； 當(dāng) m0 時， 當(dāng) m 時， 故有 【說明】 對于解答題來講，這種解法的理由不充分，因為對于函數(shù) f (m)= 的單調(diào)性并沒講清楚，沒有交待 f(m)是 上的增函數(shù) . 如果是確定性的選擇題例 1，即 與 的大小關(guān)系是確定的，不需要討論 m 的范圍時，則這種極限法是很簡便的 . 【小結(jié)】 真分?jǐn)?shù) 的 放大性 ：真分?jǐn)?shù)的分子和分母加上同一個正數(shù)，其值變大 . 以這種 放大性 為基礎(chǔ)，可推出許多重要的分式不等式，如 （ 1） |a+b|a|+|b| （ 2）數(shù)列 an= 是增數(shù)列；而數(shù) bn= 是減數(shù)列 . 【練習(xí)】 1.正數(shù)中，再證 .分別用函數(shù)法、方法程和解不等式法 . 2.用不同的方法證明 . 第 5 頁 共 34 頁 3.用不同的方法證明 . 三、千方百法 會戰(zhàn)高考不等式 【考題 1】 （ 2006 年贛卷第 5 題） 對于 R 上可導(dǎo)的任意函數(shù) f（ x），若滿足（ x 1） f（ x） 0 ，則必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 【分析】 從已知條件（ x-1） f (x)0 出發(fā)，可得如下 的不等式組 或 . 因此 f(x)有兩種可能：其一， f (x)為常數(shù)；其二， f(x)在區(qū)間 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù) . 【解答】 （綜合法）依題意，當(dāng) x1 時， f（ x） 0 ，函數(shù) f（ x）在 1， 上是增函數(shù)；當(dāng) x0，函數(shù) f(x)=ax-bx2. （ ）當(dāng) b0 時，若對任意 x R 都有 f(x)1，證明 a ； （ ）當(dāng) b1 時，證明：對任意 x 0,1， |f(x)|1 的充要條件是 b-1a ； （ ）當(dāng) 00， b0， a . 【解 】 先證必要性： 對任意 x 0,1， |f (x)|1 -1f(x)，據(jù)此可以推出 -1f (1)，即 a-b-1， ab-1； 第 6 頁 共 34 頁 對任意 x 0,1， |f (x)|1 f (x)1，因為 b1，可以推出 1， 即 a -11， a ； b-1a . 再證充分性：因為 b1， ab-1，對任意 x 0,1，可以推出 ax-bx2b(x-x2)-x-x-1. 即 ax-bx21； 因為 b1， a ，對任意 x 0,1，可以推出 ax-bx2 1，即 ax-bx21. -1f(x)1. 綜上，當(dāng) b1 時，對任意 x 0,1， |f(x)|1 的充要條件是 b-1a . 【解 】因為 a0， 00， 0N 時，對任意 b0，都有 【分析】 本題的第（ ）、（ ）、（ ）小題之間成梯式結(jié)構(gòu)，（ ）是（ ）和（ ）的基礎(chǔ) .從策略上看，如在（ ）上遇著困難，可承認(rèn)（ ）的結(jié)論，并利用它迅速地解出（ ）第 7 頁 共 34 頁 和（ ）來 .此題恰恰是第（ ）難，而（ ）、（ ）容易 . 對于（ ），已知為兩個不等式，而求證一個不等式 .其基本思路是，對已知不等式用綜合法 下推 ，對求證不等式用分析法 上追 . 如： 欲使 只須 = 此時， 綜合下推 的方向就清楚了 . 【解 】 當(dāng) n2時， ， ，即 ， 于是有 ， ， ， ， 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng) n3時有 ， 【解 】 又 an0. 故有 =0. 【解 】 （放大為了化簡） 令 ， 則有 ， 故取 N=1024，可使當(dāng) nN 時，都有 【說明】 本小題是條件不等式的證明，已知 2 個不等式，求證 1 個不等式 .在分析 綜合第 8 頁 共 34 頁 放縮三法聯(lián)合證明綜合大題時，優(yōu)先考慮分析法 .隨時思考待證的不等式需要什么，需要的東西如何從已知的不等式中得到 . 【練習(xí)】 對考題 3，已知條件不變，對設(shè)問作 如下改寫 （ ）設(shè) ，利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （ ）利用上述結(jié)果，證明不等式 二 函數(shù)最值的求解方法 一、二次函數(shù)最值尋根 初中生研究二次函數(shù)的最值，是從配方法開始的 . 設(shè) a0， f(x)=ax2+bx+c= 初三學(xué)生已知，二次函數(shù) f(x)，在 a0 時，有最小值 ； a0，探索二次函數(shù) y = ax2+bx+c 的單調(diào)區(qū)間 .并指出函數(shù)的最值點 . 【解答】 任取 x10 ) 有減區(qū)間 和增區(qū)間. 顯然，二次函數(shù)的最值點為 ，函數(shù)有最小值 . 【評說】 從這里看到，二次函數(shù)的最點，就是兩個 異性 單調(diào)區(qū)間的交接點 . 【練 1】 試研究一次函數(shù) 沒有最點，從而沒有最值 . 【解】 任取 ，則有 （ 1） 時， ，函數(shù)在 R 上為增函數(shù) . 時， ； 時， . 第 10 頁 共 34 頁 （ 2） 時， ，函數(shù)在 R 上為減函數(shù) . 時， ； 時， . 所以，一次函數(shù)在 R 上沒有最點，從而一次函數(shù) 無最值（既無最大值，也無最小值） . 【說明】 一次函數(shù)定義 在 R 上，定義域內(nèi)找不到這樣的 點 ，使得該點兩邊鄰域是異性的兩個單調(diào)區(qū)間 .本例從反面看到：最點是單調(diào)區(qū)間的 變性 的 轉(zhuǎn)折點 . 二、從 到 高中生將 最點 變形為 ，并由此得到一個一次函數(shù) . 精明的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個一次函數(shù) 與對應(yīng)的二次函數(shù) 有某種 關(guān)系 ，甚至有學(xué)生在偷偷 地利用這種 關(guān)系 . 這種 關(guān)系 到了高三才徹底解決：函數(shù) 正是函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，即 . 函數(shù)求 最根 的問題，正好是 的導(dǎo)函數(shù) 的 求根 問題 . 導(dǎo)函數(shù) 的根，就是 的駐點 .很清楚，二次函數(shù)的駐點就是二次函數(shù)的最點 . 問題變得這么明朗：求 的最點，就是求 的根 .俗說中 最根 ，真的與 根 字 巧合了 . 【例 2】 設(shè) ，在同一坐標(biāo)系中，分別作得 和 的圖象（如右） . 試說明 的正負(fù)性與 單調(diào)性的對應(yīng)關(guān)系 . 【解析】 與 相交于 . 第 11 頁 共 34 頁 （ 1） 時， , 遞減； （ 2） 時， , 遞增； （ 3） 時， , 得到最小值 . 故對應(yīng)關(guān)系為：（ 1） 負(fù)區(qū)與 的減區(qū)對應(yīng)； （ 2） 正區(qū)與 的增區(qū)對應(yīng)； （ 3） 零點與 的最值對應(yīng) . 【練 2】 已知二次函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 圖象如右圖的直線，則有 （ 1） =（ ），增區(qū)間為（ ），減區(qū)間為（ ）； 第 12 頁 共 34 頁 （ 2） 的最（ ）值為（ ）； （ 3）若 ，求 的解析式 . 【解答】 從右 圖上看到 （ 1） 的根為 ，故有 =1； （ 2） 時， 0，故 的增區(qū)間為 ； 時， 0，函數(shù)遞增； （ 2） 時， 0，函數(shù)遞增 . 故 在 有極大值 ，在 上有極小值 . 故 ， 是 的 2 個極點，前者為極大點，后者為極小點 . 又 時， ，故函數(shù) 既無最大值，也無最小值 .從而 無最點 . 【說明】 這是三次函數(shù)有 2 個駐點，且都為極點的例子 .而三次函數(shù)無駐點或有駐點但不是極點的例子如下（練 3） . 【練 3】 研究下列三次函數(shù)的駐點、極點、最點和單調(diào)區(qū)間 . （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） ,函數(shù) 無駐點，無極點，無最點 . 是 上的增函數(shù) . （ 2） , 有 2 個重合的駐點 . （ 1）當(dāng) 時， ，函數(shù)遞增， （ 2）當(dāng) 時， ，函數(shù)也遞增 . 第 14 頁 共 34 頁 因此，駐點 不能分出兩個 相異 的單調(diào) 區(qū)間，故 不是 的極點， 無極點，當(dāng)然也無最點 . 是 R 上的增函數(shù) . 【說明】 函數(shù) 相重合的兩駐點 不成為極點，可理解為它們消去了 中間 的一個 相異 的單調(diào)區(qū)間后，將兩邊的 同性 的單調(diào)區(qū)進行了鏈接而成為一個單調(diào)區(qū)間 . 經(jīng)過以上的討論得知，定義在 R 上的三次函數(shù)，不管它有無駐點或極點，它是不會有最點的。 四、極點何時為最點 不重合的 2 個駐點可以分別成為極點 .那么，在什么條件下極點成為最點呢？ 駐點是極點的必要不充分條件，那么極點是最點的什么條件呢？ 我們研究，極點何時成為最點 . 【例 4】 已知 的導(dǎo)函數(shù) ，試探究 的極點和最點 . 【解析】 . 有 3 個相異的根： 它們都是 的極點 . 易知原函數(shù) （ R） 易知 為 的減區(qū)間， 為 的增區(qū)間， 為 的減區(qū)間，為 的增區(qū)間 . 的 4 個單調(diào)區(qū)間依次成 減 增 減 增 的順序，使得首、尾兩個區(qū)間的單調(diào)性相異，從而使得 在 兩次探底 中得到最（小）點 . 比較三個極值的大?。?得 的最小值為 ，對應(yīng)兩個最小點 和 1. 【說明】 定義在一個開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù) 如果有 n 個極點： x1x2 xn. 第 15 頁 共 34 頁 當(dāng) n 為奇數(shù)時， 有最點存在 .最點在依次為奇數(shù)的極點中產(chǎn)生，通過奇數(shù)位上的極值比大小可得 . 當(dāng) n 為偶數(shù)時，函數(shù)無最點 . 【練 4】 求函數(shù) 的最值 . 【解析】 函數(shù) 是定義在一個開區(qū)間 上的可導(dǎo)函數(shù) , 令 得 的唯一駐點 即為最點 . 時， ，函數(shù)遞增 , 時， ，函數(shù)遞減 , 故 有最大值 . 【說明】 本函數(shù)是二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用配方法求最值也很簡便 . ,等號成立條件是 . 五、最值尋根的導(dǎo)數(shù)判定 若定義在一個開區(qū)間上的函數(shù) 有導(dǎo)函數(shù) 存在，那么 是否有最值的問題可轉(zhuǎn)化為 的 導(dǎo)函數(shù) 是否有最根的問題來研究： （ 1）若導(dǎo)函數(shù) 無根，即 ，則 無最值； （ 2）若導(dǎo)函數(shù) 有唯一的根 ，即 ，則 有最值 .此時，導(dǎo)函數(shù)的根 即是函數(shù) 最根 . （ 3）若導(dǎo)函數(shù) 有多個的根，則應(yīng)從多個駐點中依次判定極點、最點的存在性 . 【例 5】 在以下四個函數(shù)中，有最值存在的函數(shù)是 第 16 頁 共 34 頁 A. B. C. D. 【解析】 對于 A，定義區(qū)間雖有兩個，但都有 ， 無最值； 對于 B， ，函數(shù)有重合的兩駐點 ， 無最值； 對于 C， ， 無最值； 對于 D， . 當(dāng) 時，令 ，得 ， 有最值 =1. 本題答案為 D. 【練 5】 判斷以下函數(shù)，是否有最值，如果有，求出最值 . （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） ， 無最值 . （ 2） . 當(dāng) 時， ，由 ，得 . 有最值， . 當(dāng) 時， ， 是增函數(shù) . 當(dāng) 時， ， 是減 , 函數(shù) . 故 是 的最大值 . 六、最根與高考題 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于高考，一般都在研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值問題，對可導(dǎo)函數(shù)來講，這兩個問題互相捆綁著，于是導(dǎo)數(shù)問題的 根本 則變成 最根 問題 . 第 17 頁 共 34 頁 【例 6】 已知可導(dǎo)函數(shù) 在 R 上恒有 ，且 不為常數(shù)，試研究的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)最值 . 【解析】 由 可知 時， ，函數(shù) 為減函數(shù) ； 時， ，函數(shù) 為增函數(shù) ； 由此可知， 是 的唯一的根，故為最根 .故 有減區(qū)間 ，增區(qū)間 ，有最大值 . 【說明】 本題是在研究 抽象函數(shù) 無具體解析式的一類函數(shù) 的性質(zhì)，只在滿足性質(zhì) 條件下，通過 最根 的判定而確定了 的單調(diào)區(qū)間和最值 . 有些不等式的證明，還可以通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的 最值 而確認(rèn)不等式是否成立 . 【練 6】 已知函數(shù) ， . （ 1）求函數(shù) 的最大值； （ 2）設(shè) ，證明： . 【解析】 （ 1） ， 故 有唯一的最根 ， 故 的最大值為 . （ 2） ， . 設(shè) ， 則 . 當(dāng) 時， ，因此 在 內(nèi)為減函數(shù) . 當(dāng) 時， ，因此 在 上為增函數(shù) . 第 18 頁 共 34 頁 從而，當(dāng) 時， 有最小值 ， 因為 ， ，所以 ，即 . 【說明】 問題（ 2）的解決，是用 最根 證明不等式 . 七、余興 荒唐錯誤 打從何來 學(xué)生小新讀完上文，很感興趣，他模仿著 【練 4】 的題型，只是變了幾個系數(shù)，結(jié)果成了下面的問題 . 【例 7】 研究函數(shù) 有無最值 . 【小新解答】 . 令 ，得 的唯一駐點 為 最點 . 因此 有最值 . 【討論】 是最值嗎？若為最大值，我們可以找到比它更大的 ；如果是最小值，我們可以找到比它更小的 . 解答錯了！錯在哪里？作為思考題留給讀者 . 【提示】 本函數(shù) 的定義域不是 一個 開區(qū)間 . 三二項式的展開 1、 二項式 ( a + b ) n展開 追根 n = 1 根據(jù)乘法法則，分別有： （ 1） (a+b)1 = a+b （ 2） (a+b)2 = a2+2ab+b2 第 19 頁 共 34 頁 （ 3） (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 （ 4） (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3 +b4 展開后，（ 2）的系數(shù)是（ 1）的系數(shù) 錯位相加 ，（ 3）的系數(shù)是（ 2）的系數(shù) 錯位相加 ，（ 4）的系數(shù)是（ 3）的系數(shù) 錯位相加 ， ，（ n）的系數(shù)是（ n 1）的系數(shù) 錯位相加 . 草式如下 . 由此看到 ( a + b ) n展開式的系數(shù)是由 ( a + b )1的系數(shù) 1+1錯位相加、累計 (n-1)次的結(jié)果 . 【例 2】 設(shè) ( a + b ) 6 = A0 a 6 + A1a 5 b + A2a 4 b2+ + A6 b 6 ( a + b ) 7 = B0 a 7 + B1a 6 b + B2a 5 b2+ + B7 b 7 試用 Ai(i = 0， 1， ， 6)的代數(shù)式表示 Bj ( j =0， 1， 2， ， 7) 【解析】 ( a + b ) 7 = ( a + b ) 6 ( a + b ) = ( A0 a 6 + A1a 5 b + + A5ab 5 +A6 b 6) ( a + b ) = A0 a 7 + ( A0 + A1) a 6 b + ( A1 + A2) a5 b2 + + ( A5 + A6) a b 6 + A6 b7 于是有 B0 = A0； B1 = A0 + A1； B2 = A1 + A2； B3 = A2 + A3； B4 = A13+ A4； B5 = A4 + A5； B6 = A5 + A6； B7 = A6 . 【說明】 由（ 6）到（ 7）的系數(shù) 錯位相加 草式如下 . 第 20 頁 共 34 頁 這是一個有趣的規(guī)律，它說明：二項式展開式的每個系數(shù)也是 二項式 ，即展開式的每個系數(shù)都是一個二項式的和 . 一般地： Br +1 = Ar + A r+1 (r = 0， 1， ， n - 1) 特別地： B0 = 0 + A0 = A0， Bn = An-1+ 0 = An-1 2、二項式含二項式 看楊輝三角收藏 上面的 錯位加法 有意思，二項式中的二項式更有意思，如果把草式簡化，只把各行的 加法結(jié)果 依次開列出來，就得到我們熟悉的楊輝三角形（圖右） . 這個三角形可命名為 1+1三角形 .因為：（ 1）這個三角形是從 1+1 開始的；（ 2）三角形的任何一行數(shù)的和，自我相加之后變成了下一行各數(shù)之和 . 這個三角形可命名為 2 打滾三角形 ， 因為從 2 開始，上行各數(shù)之和翻一倍，便成為下行各數(shù)之和 . 這個三角形還可命名為 二項式中的二項式三角形中 ，因為這個三角形中的任何一個數(shù)，都等于這個數(shù)肩上 2 數(shù)之和 . 如三角形中第 5 行的第 3 數(shù)10，就等于它的肩上兩數(shù) 第 4 行第 2、 3 兩數(shù)的和： 10=4+6. 二項式中的二項式 肩挑兩數(shù) 中兩數(shù)是唯一的嗎？ 【例 3】 在楊輝三角形中，第 5 行第 3 數(shù)上的數(shù) 10，寫成肩上 2 數(shù)的和，可以是： A.10=4+6 B.10=3+7 C.10=2+8 D.10=5+5 【解答】 楊輝三角形中的任何一個數(shù)，都由 1+1 的錯位加法形成，因為加法的結(jié)果有唯一性 . 所以，第 5 行第 3 個數(shù) 10，肩挑兩數(shù)的結(jié)果 4+6 是唯一的 . 答案為 A. 【說明】這個三角形還可以命名為 單肩串?dāng)?shù)三角形 . 因為三角形中任何一個數(shù)都等于它的 一個肩上數(shù)斜向上頂住的一串?dāng)?shù) . 如三角形中第 5 行第 3 數(shù) 10，它等于它右肩上的數(shù) 6，并由 6 向左斜上方串聯(lián)的一組數(shù)的和，即 10=6+3+1 它也等于它左肩上的數(shù) 4，并由 4 向右斜上方串聯(lián)的一組數(shù)的和，即 10=4+3+2+1 單肩串?dāng)?shù) 實為 肩挑兩數(shù) 性質(zhì) 推論 . 單肩串?dāng)?shù) 實為 肩挑兩數(shù) 遞推的結(jié)果，例如數(shù) 10，如果是右肩串?dāng)?shù)，則是 3 次 肩挑兩數(shù) 的結(jié)果 . 第 21 頁 共 34 頁 10=6+4=6+（ 3+1） =6+ 3+（ 1+0） =6+3+1+0 單肩串?dāng)?shù) 是 肩挑兩數(shù) 的遞推結(jié)果；從而是 錯位加法 的累計結(jié)果（圖右） . 3、子集組合 得 展開 式系數(shù) 為了弄清二項式 (a+b)n = (a+b) (a+b)( a+b)= A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展開時系數(shù)的形成過程，我們先回頭看 和的平方 展開時，系數(shù)是怎樣形成的 . (a+b)2 = (a+b) (a+b) 我們視 a 為主字母，視 b 為系數(shù)，其中的 2 個 b 分別記作 b1和 b2，于是有 (a+b)2 = (a+b1) (a+b2) =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2 由此看到，最高項 a2的系數(shù)為 1. 次高項 a 的系數(shù)是 b1 +b2，這是從集合 b1， b2中，每次取 1 個元素所成的組合 . 其組合數(shù)為 =2. 常數(shù)項 b1b2，是從集合 b1， b2每次取出 2 個元素所成的組合，組合數(shù)為 =1. 統(tǒng)一地看，最高項 a2中不含 b，因此可以看作，從集合 b1， b2每次取出 0 個元素所對應(yīng)的組合 . 組合數(shù)為 =1. 這樣一來， 和的平方 展開式可寫成 (a+b)2 =a2+ ab+ b2 有了這個基礎(chǔ)，我們也可以用 組合數(shù) 表示二項式(a+b)n展開后各項的系數(shù) . 【例 4】 試探索用組合數(shù)表示二項式 (a+b)n=(a+b) (a+b)( a+b) = A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展開式中各系數(shù) A0， A1， ， An-1， An. 【解答】 對于 an，它是從集合 b1， b2， ， bn 中每次取出 0 個元素的組合 . 組合數(shù)為 A0= . 對于 an-1b，它是從集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 1 個元素的組合，組合數(shù)為 A1= . 對于 abn-1，它是從集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 n-1 個元素的組合，組合數(shù)為 . 對于 bn，它是從集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 n 個元素的組合，組合數(shù)為 . 于是，二項式 (a+b)n可展開成如下形式 第 22 頁 共 34 頁 (a+b)n= an+ an-1b + abn-1 + bn 這就是所謂的 二項式定理 . 【說明】二項式展開后各項的系數(shù)依次為： ， ， ， . 其中，第 1 個數(shù) =1，從第 2 個數(shù)開始，后面的每一個數(shù)都可以用前面的那個數(shù)表示為 這就是二項式展開 系數(shù)遞推 的依據(jù) . 二項式系數(shù)遞推實際上是組合數(shù)由 到 的遞推 . 4、 加法定理 來自二項式性質(zhì) 將楊輝三角形中的每一個數(shù)，都用組合符號表示出來， 則得圖右的三角形 . 自然， 肩挑兩數(shù) 的性質(zhì)可寫成組合的 加法式 . 如 這里，（ 1）相加兩數(shù) 和 是 下標(biāo)相等，上標(biāo)差 1 的兩數(shù)；（ 2）其和 是 下標(biāo)增 1，上標(biāo)選大 的組合數(shù) . 一般地，楊輝三角形中第 n+1 行任意一數(shù) ， 肩挑 兩數(shù) 的結(jié)果為組合的加法定理： 有了組合的加法定理，二項式 (a+b)n展開 式的證明就變得非常簡便了 . 【例 5】 試用數(shù)學(xué)歸納法證明二項式定理 (a+b)n= an+ an-1b + abn-1 + bn 【證明】 （ 1）當(dāng) n=1 時， a+b = a + b=a + b 命題真 . （ 2）假設(shè) n=k 時命題真，即 (a+b)k = ak + ak-1b + abk-1 + bk 兩邊同乘以 (a+b)，由 錯位加法 可得 (a+b)k+1= ak+1 +( )akb +( )ak-1 b2 +( )ab k + bk+1 = ak+1 + akb + ab k + bk+1 第 23 頁 共 34 頁 綜合（ 1），（ 2）可知，對任意的 n N+，二項式 (a+b)n展開式成立 . 5、 n 始于 1 r 始于 0 二項式定理將 (a+b)的乘方式展開成一個數(shù)列的和： (a+b) n= an+ an-1b + an-rbr + bn = an-rbr 展開式中的 r 從 0 取到 n，故展開式共有 n+1 項，其中關(guān)于 r的通項 an-rbr不是它的第 r項，而是第 r+1 項 . 故二項式展開式的通項公式為 Tr+1= an-rbr 初學(xué)者經(jīng)常誤成 Tr= an-rbr 在通項公式中弄清了 n 與 r 的關(guān)系 后，以下考題可以做到 一揮 而就 . 【例 6】 已知 ，求展開式中 x9的系數(shù) . 【分析】 x9的系數(shù)與 x9的二項式系數(shù)雖然不是一回事，但仍可用通項公式 an-rbr求出對應(yīng)的 r 來 . 【解答】 設(shè)展開式的第 r+1 項能化簡得到 x9項 . 則有 Tr+1 = (x2)9-r = 令 18-3r = 9 得 r =3 故 x9的系數(shù)為 【說明】 數(shù)學(xué)解題，切忌拘泥公式 . 如本題中求 r 的值，不一定要硬套通項公式 . 事實上，展開式按 x 的降冪排列：第 1 項的指數(shù)是 18，第 2 項的指數(shù)是 15，依次遞減，指數(shù)為 9 的項是第 4 項，故有 r = 3. 由此直接得 x9的系數(shù)為 . 這樣的計算量大為減少 . 6、數(shù)形趣遇 算式到算圖 二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進了計算數(shù)學(xué) . 求二項式展開式系數(shù)的問題，實際上是一種組合數(shù)的計算問題 . 用系數(shù)通項公式來計算， 稱為 式算 ；用楊輝三角形來計算，稱作 圖算 . 第 24 頁 共 34 頁 【 例 7】 （ 2007 全國甲卷理 13 文 16） 的展開式中常數(shù)項為 . 【式算】 先考慮 展開后的常數(shù)項 Tr +1 = x 8 r = （ 1）令 8 2r = 0，得 r = 4，得 = 70； （ 2）令 8 2r = 2，得 r = 5，得 = 56. 故求得 的展開式中常數(shù)項為 70 256 = 42 【 圖算 】 常數(shù)項產(chǎn)生在 展開后的第 5、 6 兩項 . 用 錯位加法 很容易 加出 楊輝三角形第 8 行的第 5 個數(shù) . 簡圖如下： 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 圖上得到 =70， = =56. 故求得展開式中常數(shù)項為 70 256 = 42 【點評】 “式算 與 圖算 趣遇，各揚所長，各補所短 . 楊輝三角形本來就是二項式展開式的算圖 . 對楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第 6 行： 1， 6， 15， 20， 15， 6， 1 第 25 頁 共 34 頁 那么他可以心算不動筆，對本題做到一望而答 . 楊輝三角形在 3 年內(nèi)考了 5 個（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強調(diào) 多想少算 、 邏輯思維與直覺思維并重 的結(jié)果 . 這 5 個考題都與二項式展開式的系數(shù)相關(guān)，說明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進行深層次地滲透 . 四 函數(shù)周期性的求解 1、正弦函數(shù)的周期 三角函數(shù)，以正弦函數(shù) y = sin x 為代表，是典型的周期函數(shù) . 冪函數(shù) y = x 無周期性，指數(shù)函數(shù) y = ax 無周期性，對數(shù)函數(shù) y =logax 無周期， 一次函數(shù) y = kx+b、二次函數(shù) y = ax2+bx+c、三次函數(shù) y = ax3+bx2 + cx+d 無周期性 . 周期性是三角函數(shù)獨有的特性 . （ 1） 正弦函數(shù) y=sin x 的最小正周期 在單位圓中，設(shè)任意角 的正弦線為有向線 段 MP. 正弦函數(shù)的周期性 動點 P 每旋轉(zhuǎn)一周，正弦線 MP 的 即時位置 和變化方向重現(xiàn)一次 . 同時還看到，當(dāng) P 的旋轉(zhuǎn)量不到一周時，正 弦線的即時位置包括變化方向不會重現(xiàn) . 因此，正弦函數(shù) y=sinx 的最小正周期 2. （ 2） y=sin（ x）的最小正周期 設(shè) 0， y =sin（ x）的最小正周期設(shè)為 L . 按定義 y = sin （ x+L） = sin（ x+ L） = sinx . 令 x = x 則有 sin （ x + L） = sin x 因為 sinx 最小正周期是 2，所以有 例如 sin2x 的最小正周期為 第 26 頁 共 34 頁 sin 的最小正周期為 （ 3） 正弦函數(shù) y=sin（ x+） 的周期性 對正弦函數(shù) sinx 的自變量作 一次替代 后，成形式 y = sin （ x+） . 它的最小正周期與 y = sinx 的最小正周期相同，都是 . 如 的最小周期與 y = sin（ 3x）相同，都是 . 于是，余弦函數(shù) 的最小正周期與 sinx 的 最小正周期相同，都是 2. 2、復(fù)合函數(shù)的周期性 將正弦函數(shù) y = sin x 進行周期變換 x x， sinx sin x 后者周期變?yōu)?而在以下的各種變換中，如 （ 1）初相變換 sinx si n（ x+）； （ 2）振幅變換 sin（ x +） Asin（ x+）； （ 3）縱移變換 Asin（ x +） Asin（ x+） +m； 后者周期都不變，亦即 Asin（ x +） +m 與 sin（ x）的周期相同，都是 . 而對復(fù)合函數(shù) f （ sinx）的周期性，由具體問題確定 . （ 1） 復(fù)合函數(shù) f（ sinx） 的周期性 【例題】 研究以下函數(shù)的周期性： （ 1） 2 sinx； （ 2） 第 27 頁 共 34 頁 （ 2） 的定義域為 2k， 2k+，值域為 0， 1，作圖可知， 它是最小正周期為 2的周期函數(shù) . 【解答】 （ 1） 2sinx 的定義域為 R，值域為 ，作圖可知，它是最小正周期為 2的周期函數(shù) . 【說明】 從基本函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)性出發(fā)，通過作圖，還可確定， loga x， sinx， ， sin（ sinx）都是最小正周期 2的周期函數(shù) . （ 2） y= sin3 x 的周期性 對于 y = sin3x =(sinx)3， L=2肯定是它的周期，但它是否還有更小的周期呢？ 我們可以通過作圖判斷，分別列表作圖如下 . 圖上看到， y = sin3x 沒有比 2更小的周期，故最小正周期為 2. （ 3） y= sin2 x 的周期性 對于 y = sin2x = (sinx)2， L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否為 2？ 可以通過作圖判定，分別列表作圖如下 . 第 28 頁 共 34 頁 圖上看到， y = sin2x 的最小正周期為 ，不是 2. （ 4） sin2n x 和 sin2n-1 x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期為 ，還可通過另外一種復(fù)合方式得到 . 因為 cos2x 的周期是 ，故 sin2x 的周期也是 . sin2x 的周期，由 cosx 的 2變?yōu)?sin2x 的 . 就是因為符號法 負(fù)負(fù)得正 所致 . 因此，正弦函數(shù) sinx 的冪符合函數(shù) sinmx，當(dāng) m=2n 時， sinm x 的最小正周期為 ； m = 2n1時， sinmx 的最小正周期是 2. （ 5） 冪復(fù)合函數(shù)舉例 【例 1】 求 y =|sinx|的最小正周期 . 第 29 頁 共 34 頁 【解答】 最小正周期為 . 【例 2】 求的最小正周期 . 【解答】 最小正周期為 2. 【例 3】 求 的最小正周期 . 【解答】 最小正周期為 . 【說明】 正弦函數(shù) sinx 的冪復(fù)合函數(shù). 當(dāng) q 為奇數(shù)時，周期為 2； q 為偶數(shù)時，周期為 . 3、周期函數(shù)的和函數(shù) 兩個周期函數(shù)，如 sin x 和 cosx ，它們最小正周期相同，都是 2. 那么它們的和函數(shù)， 即 sinx + cos x 的最小正周期如何？ 和函數(shù)的周期與原有函數(shù)的周期保持不變 . 這個結(jié)論符合一般情況 . 對于另一種情況，當(dāng)相加的兩個函數(shù)的最小正周期不相同，情況將會如何？ （ 1） 函數(shù) sinx + sin2 x 的周期性 sin x 的最小正周期為 2， sin2x 的最小正周期是 ，它們之間誰依賴誰，或依賴一個第三者？ 列表如下 . 第 30 頁 共 34 頁 表上看到函數(shù) sinx+sin2x 的最小正周期是 2. （ 2） 函數(shù) sinx + sin2x 的周期性 依據(jù)上表，作 sinx+sin2x 的圖像如右 . 從圖上看到，函數(shù)的最小正周期為 2. 由 sinx， sin2x 的最小正周期中的大者決定，因為前者是后 者的 2 倍 .從圖上看到， sinx+sin2x 仍然是個 振動 函數(shù) ，但振幅已經(jīng)不是常數(shù)了 . （ 3） 函數(shù) sinx+sin x 的周期性 sinx 的最小正周期為 2， sin x 的最小正周期是 3. 們之間的和 sinx + sin x 的最小正周期也由 較大的 決定嗎？即 和函數(shù) 的周期為 3嗎？ 不妨按周期定義進行檢驗 . 設(shè) 則 x0 +3= 因此 3不是 sinx + sin x 的最小正周期 . 通過作圖、直觀看到， sinx+sin x 的最小正周期為 6，即 sinx 和 sin x 最小正周期的最小倍數(shù) . 4、周期函數(shù)在高考中 第 31 頁 共 34 頁 三角函數(shù)是高考命題的重要板塊之一，小題考，大題也考，比分約占高考總分的七分之一，與立體幾何相當(dāng) . 與立幾不同的是，它還與函數(shù)、方程、不等式、數(shù) 列、向量等內(nèi)容綜合 . 正弦函數(shù)是三角函數(shù)的代表，而周期性又是正弦函數(shù)的特性 . 關(guān)系到正弦函數(shù)的試題，有 2 種形式 . （ 1）直接考，求正弦函數(shù)的最小正周期 . （ 2）間接考，考周期在正弦函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用 . 求單調(diào)區(qū)間，求最值，簡單方程的通解等 . （ 1） 求正弦函數(shù)的周期 【例 1】 函數(shù) y =|sin |的最小正周期為 （ A） （ B） （ C） 2 （ D） 4 【解答】 最小正周期是 最小正周期的一半，即 2. 答案為（ C） 【說明】 圖象法判定最簡便 ， |sin x|的圖象是將 sin x 的圖象在 x 軸下方部分折到 x 軸上方去 . 倍角法定判定最麻煩 【解答】 （ 1） y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x 決定 （ 2） 求正弦函數(shù)的周期 【例 2】 （ 1） y =2cos2x+1 的最小正周期為 . （ 2） y =|sinx + cosx|的最小正周期為 . 【解答】 （ 1） y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x決定，故答案為 . （ 2） 故答案為 . 【說明】 都可看作 sinx 的冪函數(shù)的復(fù)合函數(shù) . （ 3） 函數(shù)周期性應(yīng)用于求值 【例題】 f (x)是 R 上的偶函數(shù)，且是最小正周期為 的周期函數(shù) . 【解答】 【說明】 周期性應(yīng)用于區(qū)域轉(zhuǎn)化 . 將 無解析式 的區(qū)域函數(shù)轉(zhuǎn)化到 有解析式 的區(qū)間上求值 . 若 時 f (x) = sinx 試求 的值 . （ 4） 函數(shù)周期性應(yīng)用于求單調(diào)區(qū)間 【例題】 x R，求函數(shù) y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的單調(diào)增區(qū)間 . 【 解答】 函數(shù)的最小正周期為 . 令 得 第 32 頁 共 34 頁 因為函數(shù)周期為 ，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 . 【說明】 先求包含零點的增區(qū)間，再用最小正周期求單調(diào)增區(qū)間的集合 . 周期函數(shù)在高考中 （ 5） 周期性應(yīng)用于求函數(shù)零點 【例題】 已知函數(shù) . 【解答】 令 得 故交點橫坐標(biāo)的值的集合為 . 【說明】 先求絕對值最小的解，再利用最小正周期求 通解 . 5、高考史上的周期大難題 高考史上第一次 周期大難題 出現(xiàn)在恢復(fù)高考后的第 3 年，即 1980 年 的理科數(shù)學(xué)卷上 . 本題排在該卷的第六大題上 . 在有十個大題的試卷上，這是個中間位置，然而，從當(dāng)年的得分情況來看，本題的難度超過了包括壓軸題和附加題在內(nèi)的所有題目 . 這點為命題人事先未能預(yù)料 . 后來分析，該題的難點有三 . （ 1）函數(shù)抽象，導(dǎo)致周期中含有參數(shù)；（ 2）求參數(shù)范圍，與解不等式綜合；（ 3）求最小正整數(shù)解，連命題人自擬的 標(biāo)答 都含糊不清 . 20 多年來數(shù)學(xué)界質(zhì)疑不斷 . 【考題】 設(shè)三角函數(shù) ，其中 k0. （ 1）寫出 f (x)極大值 M、極小值 m 與最小正周期 ； （