世紀金榜二輪專題輔導與練習專題六--第二講課件

1、第二講橢圓、雙曲線與拋物線一、主干知識1.圓錐曲線的定義:名稱橢圓雙曲線拋物線定義PF1+PF2=2a(2aF1F2)|PF1-PF2|=2a(02ab0)_(a0,b0)_(p0)y軸_(ab0)_(a0,b0)_(p0)y2=2pxx2=2py二、重要性質1.橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系：(1)在橢圓中：_；離心率為_.(2)在雙曲線中：_；離心率為_.a2=b2+c2c2=b2+a22.雙曲線的漸近線方程與焦點坐標:(1)雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程為_;焦點F1_,F2 _.(2)雙曲線 (a0,b0)的漸近線方程為_,焦點坐標F1 _,F2 _.(-c,0)(c,0)(0

2、,-c)(0,c)3.拋物線的焦點坐標與準線方程:(1)拋物線y2=2px(p0)的焦點坐標為_,準線方程為_.(2)拋物線x2=2py(p0)的焦點坐標為_,準線方程為_.(2013廣東高考改編)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于 則C的方程是_.【解析】設C的方程為 (ab0)，則c=1, C的方程是答案：2.(2012湖南高考改編)已知雙曲線C： 的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為_.【解析】由焦距為10，知2c=10，c=5.將P(2,1)代入得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程為答案：3.(20

3、13濟南模擬)拋物線y2=-12x的準線與雙曲線 的兩漸近線圍成的三角形的面積為_.【解析】拋物線y2=-12x的準線為x=3,雙曲線 的兩漸近線為 和 令x=3，分別解得所以三角形的底為 高為3，所以三角形的面積為答案：4.(2013江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的標準方程為 (a0,b0)，右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d1，F到l的距離為d2，若 則橢圓C的離心率為_.【解析】由原點到直線BF的距離為d1得 因F到l的距離為d2故又 所以又 解得答案：5.(2013宿遷模擬)已知雙曲線 (a0,b0)的一條漸近線的斜率為 且右焦點與拋物線

4、 的焦點重合，則該雙曲線的方程為_.【解析】因為 的焦點為所以a2+b2=3.所以雙曲線方程為答案：熱點考向 1 圓錐曲線的定義、標準方程與性質 【典例1】(1)(2013天津模擬)已知拋物線y2=2px(p0)上一點M(1，m)(m0)到其焦點F的距離為5，則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為_.(2)(2013北京模擬)已知雙曲線的中心在原點，一個焦點為 點P在雙曲線上，且線段PF1的中點坐標為(0,2)，則此雙曲線的方程是_.(3)(2013長沙模擬)橢圓C: (ab0)的左、右焦點分別為F1,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得F1F2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是

5、_.【解題探究】(1)圓M方程的求解思路：據點M到其焦點F的距離為5，由拋物線的定義得p=_.根據點M(1,m)(m0)在拋物線y2=2px上，得點M_.根據圓M與y軸相切得圓M的半徑為r=_.8(1,4)1(2)根據線段PF1的中點坐標為(0,2)能得到什么?提示:得P點坐標( 4),且P與另一焦點連線垂直于x軸,從而求得PF1,PF2的值,進而據定義得2a.(3)求橢圓C離心率的關鍵是什么?提示:關鍵是據題設條件構建關于a,c的不等式,進而得到關于e的不等式求解.【解析】(1)由拋物線的定義得 解得p=8,所以拋物線的方程為y2=16x,又點M(1,m)在此拋物線上,所以有m2=16,且m

6、0,得m=4,即M(1,4),又圓M與y軸相切,故其半徑為r=1,所以圓的方程為(x-1)2+(y-4)2=1.答案:(x-1)2+(y-4)2=1(2)由雙曲線的焦點可知c= 線段PF1的中點坐標為(0,2),所以設右焦點為F2,則有PF2x軸,且PF2=4,點P在雙曲線右支上,所以 所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以雙曲線的方程為答案:(3)當點P位于橢圓的兩個短軸端點時，F1F2P為等腰三角形，此時有2個.若點P不在短軸的端點時，要使F1F2P為等腰三角形，則有PF1=F1F2=2c(或PF2=F1F2=2c).此時PF2=2a-2c.所以有PF

7、1+F1F2PF2,即2c+2c2a-2c,所以3ca,即又此時點P不在短軸上，所以PF1BF1,即2ca,所以所以橢圓的離心率滿足答案：【方法總結】1.圓錐曲線定義的應用(1)已知橢圓、雙曲線上一點及焦點，首先要考慮使用橢圓、雙曲線的定義求解.(2)靈活應用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相互轉化.2.求圓錐曲線標準方程常用的方法(1)定義法.(2)待定系數法.頂點在原點,對稱軸為坐標軸的拋物線,可設為y2=2ax或x2=2ay(a0),避開對焦點在哪個半軸上的分類討論,此時a不具有p的幾何意義.中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,橢圓方程可設為雙曲線方程可設為這樣可以避免

8、討論和煩瑣的計算.3.求橢圓、雙曲線離心率的思路根據已知條件先確定a,b,c的等量關系,然后把b用a,c代換,得到關于 的齊次方程,再求 的值;在雙曲線中由于 故雙曲線的漸近線的斜率與離心率密切相關.4.雙曲線的漸近線(1)求法：令雙曲線標準方程的左邊為零，分解因式可得.(2)用法：可得 的值.利用漸近線方程設所求雙曲線的方程.【變式訓練】(2013四川高考改編)從橢圓(ab0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率為_.【解題提示】解題時要注意兩個條件的應用，一是PF1與x軸垂直，二是AB

9、OP.【解析】根據題意可知點P(-c,y0)，代入橢圓的方程可得 根據ABOP，可知解得答案：熱點考向 2 圓錐曲線中點、線、參數等的存在性問題【典例2】(2013棗莊模擬)已知橢圓C:O:x2+y2=b2,點A,F分別是橢圓C的左頂點和左焦點,點P是O上的動點.(1)若P(-1, ),PA是O的切線,求橢圓C的方程.(2)是否存在這樣的橢圓C,使得 恒為常數?如果存在,求出這個數及C的離心率e;如果不存在,說明理由.【解題探究】(1)求橢圓C的方程的思路：由點P(-1, )在O上得b2=_.由PA是O的切線，那么kPA= 得a=_.(2)求解存在性問題的三個步驟：列式：先假設存在，根據題設條

10、件由點P在x軸上的特殊位置得 _. 求解：解此方程.方程中含有絕對值，此時正確的處理方式為:_.結論：得出橢圓C_.(填“存在”“不存在”)44分類討論存在【解析】(1)由P(-1, )在O：x2+y2=b2上，得b2=1+3=4.直線PA的斜率kPA= 而直線PA的斜率所以 解得a=4.所以a2=16,橢圓C的方程為(2)假設存在橢圓C，使得 恒為常數，橢圓C的半焦距為c.當P(-b,0)時，則有當P(b,0)時，依假設有當c-b0時，有所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b)，化簡整理得a=c,這是不可能的.當c-bb0)過點(2， )，且它的離心率 直線l:y=kx+t與橢圓C1交

11、于M，N兩點.(1)求橢圓的標準方程.(2)當 時，求證：M，N兩點的橫坐標的平方和為定值.(3)若直線l與圓C2：(x-1)2+y2=1相切，橢圓上一點P滿足 (0)，求實數的取值范圍.【解析】(1)橢圓的標準方程為 (ab0),由已知得：所以橢圓的標準方程為設M(x1,y1),N(x2,y2),則為定值.(3)因為直線l:y=kx+t與圓(x-1)2+y2=1相切，所以把y=kx+t代入 并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2= y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=因為 =(x1+x2,y1+y

12、2)，所以又因為點P在橢圓上，所以因為t20,所以所以02b0),由 得_,進而由M(4,1)在橢圓上，得a2=_,b2=_.(2)求m的取值范圍的關鍵是：_.(3)要證該結論成立，只需證明直線MA，MB的斜率的和為_即可.a2=4b2205直線與橢圓方程聯(lián)立消元所得一元二次方程的判別式00【解析】(1)設橢圓的方程為 (ab0),因為 所以a2=4b2.又因為M(4,1)在橢圓上,所以解得b2=5,a2=20.故橢圓方程為(2)將y=x+m代入 并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,=(8m)2-20(4m2-20)0,解得-5mb0)的左、右焦點，過F2作傾斜角為 的直線交橢圓D于A，

13、B兩點，F1到直線AB的距離為3，連結橢圓D的四個頂點得到的菱形面積為4.(1)求橢圓D的方程.(2)作直線l與橢圓D交于不同的兩點P，Q，其中P點的坐標為(-a,0),若點N(0,t)是線段PQ垂直平分線的一點，且滿足 求實數t的值.【審題】分析信息，形成思路(1)切入點：根據待定系數法求解.關注點：由“距離”為3，面積為4構建關于a,b,c的方程組求解.(2)切入點：分別將 用t表示，再根據 構建關于t的方程求解.關注點：直線l的斜率不定，需對斜率取值情況分類討論.【解題】規(guī)范步驟，水到渠成(1)設F1,F2的坐標分別為(-c,0),(c,0),其中c0,由題意得AB的方程為：y= (x-

14、c),因F1到直線AB的距離為3，所以有解得c= 3分所以有a2-b2=c2=3.由題意知： 2a2b=4,即ab=2.聯(lián)立解得：a=2,b=1.所求橢圓D的方程為 5分(2)由(1)知：P(-2,0),設Q(x1,y1),當直線l斜率不存在時，由已知顯然不合要求.7分當直線l的斜率存在時，設直線斜率為k,則直線l的方程為y=k(x+2),把它代入橢圓D的方程，消去y,整理得：(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由根與系數的關系得-2+x1=則所以線段PQ的中點坐標為 9分()當k=0時，則有Q(2，0)，線段PQ垂直平分線為y軸，于是 =(-2,-t), =(2,-t),由

15、 =-4+t2=4,解得:t= 12分()當k0時，則線段PQ垂直平分線的方程為因為點N(0,t)是線段PQ垂直平分線上的一點，令x=0,得：于是 =(-2,-t), =(x1,y1-t),由 =-2x1-t(y1-t)=解得:代入 解得: 14分綜上，滿足條件的實數t的值為 .16分【點題】規(guī)避誤區(qū)，失分警示 失分點一忽略處的討論,導致分類不全致誤失分點二忽略處的討論,導致分類不全而丟掉23分失分點三忽略處的總結致解析不全而失分.【變題】變式訓練，能力遷移(2013深圳模擬)已知動點P(x,y)與兩個定點M(-1,0),N(1,0)的連線的斜率之積等于常數(0).(1)求動點P的軌跡C的方程.(2)試根據的取值情況討論軌跡C的形狀.(3)當=2時，對于平面上的定點試探究軌跡C上是否存在點P，使得EPF=120，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.【解析】(1)由題設可知：PM,PN的斜率存在且不為0，所以(2)討論如下：當0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(除去頂點);當-10時，軌跡C為中心在原