高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題2.9 已知不等恒成立討論單調(diào)或最值 (含解析)

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題2.9已知不等恒成立討論單調(diào)或最值【題型綜述】不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。通過討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，直接化為最值的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點(diǎn)是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級(jí)數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)。【典例指引】例1．設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的解析式；（Ⅱ）求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)值得切線斜率，進(jìn)而得切線方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）令SKIPIF1<0，求導(dǎo)證得SKIPIF1<0；（Ⅲ）SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由（Ⅰ）得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0恒成立，②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0不會(huì)恒成立，進(jìn)而得的取值范圍．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0單調(diào)遞增．所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0）．所以SKIPIF1<0．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若SKIPIF1<0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0恒成立，可轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0（需在同一處取得最值）．例2．函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若且滿足：對(duì)，，都有，試比較與的大小，并證明.【思路引導(dǎo)】（1）求出SKIPIF1<0，討論兩種情況分別令SKIPIF1<0可得增區(qū)間，SKIPIF1<0可得得減區(qū)間；（2）由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，，都有等價(jià)于，可得，令，研究其單調(diào)性，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得.由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，，都有等價(jià)于即解得；令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，所以.即，所以.例3．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．（Ⅰ）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（Ⅱ）若SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求出SKIPIF1<0，由過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線的斜率為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，討論兩種情況，分別由SKIPIF1<0得增區(qū)間，SKIPIF1<0得減區(qū)間；（Ⅱ）原不等式等價(jià)于不等式SKIPIF1<0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究SKIPIF1<0的單調(diào)性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得結(jié)果.（Ⅱ）不等式SKIPIF1<0恒成立，即不等式SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增且不存在最小值，不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0恒成立，由于SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，也即不等式SKIPIF1<0恒成立，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的圖象在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若對(duì)任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）由于是在那點(diǎn)，所以求導(dǎo)可得（2）對(duì)f(x)求導(dǎo)SKIPIF1<0，再求導(dǎo)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以對(duì)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分類討論。單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0恒成立；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在當(dāng)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不合題意，綜上，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.點(diǎn)睛：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中恒成立與存在性問題，一般是轉(zhuǎn)化成最值問題，常用的兩種處理方法：（1）分離參數(shù)（2）帶參求導(dǎo)，本題采用帶參求導(dǎo)。2．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0和曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線都垂直于直線SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．（Ⅱ）若SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故只需證SKIPIF1<0即可。由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種情況分別討論判斷SKIPIF1<0是否恒成立即可得到結(jié)論。（iii）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，而SKIPIF1<0，從而當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0不可能恒成立，綜上可得SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（I）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程．（II）求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．（III）設(shè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值．【思路引導(dǎo)】（I）SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得在SKIPIF1<0處切線方程為SKIPIF1<0．（II）令SKIPIF1<0，求導(dǎo)得出SKIPIF1<0的增減性，然后由SKIPIF1<0得證．（III）由（II）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，求導(dǎo)，可得SKIPIF1<0上SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，F(xiàn)SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0不恒成立，可得k的最大值為2．（II）證明：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．（III）由（II）知，在SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，點(diǎn)晴：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問題．要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意所給條件化簡這個(gè)不等式，如第二問的不等式，可以轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，第三問的不等式可以轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果．4．已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線斜率為1．（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對(duì)定義域內(nèi)的SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（3）在（2）的前提下，如果SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（1）由題意SKIPIF1<0即得；（2）SKIPIF1<0在定義域SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0恒成立，得SKIPIF1<0，再證當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即可；（3）由（2）知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減；在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不妨設(shè)SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，等價(jià)于SKIPIF1<0，需要證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0即可證得．解法二：（分離變量）SKIPIF1<0恒成立，分離變量可得SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。這里先證明SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。因此，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0。（3）由（2）知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減；在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，5．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極值，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)極值的概念得到SKIPIF1<0，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果。試題解析：（1）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極值，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極小值．（3）證明：由（1）知令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”），∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．即當(dāng)SKIPIF1<02，3，4，…，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值和單調(diào)性，最值中的應(yīng)用，最終還用到了賦值的思想，證明不等式。其中有典型的恒成立求參的問題。一般是轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，或者先變量分離，將參數(shù)和變量分離到不等號(hào)的兩側(cè)，再轉(zhuǎn)化為最值問題。6．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而求導(dǎo)SKIPIF1<0，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；（2）令SKIPIF1<0，化簡求導(dǎo)得到SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0并求導(dǎo)得SKIPIF1<0，從而解得SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，從而可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，從而化簡求出實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若SKIPIF1<0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0;（3）若SKIPIF1<0恒成立，可轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0．7．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最值；（2）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號(hào)變化規(guī)律，確定函數(shù)最值（2）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變化進(jìn)行分類討論：SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，先負(fù)后正，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)對(duì)應(yīng)確定單調(diào)性（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，由（2）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的取值范圍．（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即原不等式等價(jià)于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．8．已知SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由斜截式方程即可得到所求切線的方程；（2）由題意可得存在x

0∈[0，+∞），使得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，兩次求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，對(duì)a討論，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時(shí)，通過構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)，得到單調(diào)區(qū)間，可得最值，即可得到所求a的范圍．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，不合題意綜上，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）若SKIPIF1<0，求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0