高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點(diǎn)突破(人教A版必修第一冊(cè))09應(yīng)用基本不等式求最值和證明不等式(原卷版+解析)

常考題型09應(yīng)用基本不等式求最值和證明不等式1.如果a，b都是正數(shù)，那么a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。我們稱上述不等式為基本不等式，其中a+b2稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a，b2.利用基本不等式求最值時(shí)，等號(hào)必須取得才能求出最值，若由于定義域或題設(shè)的限制使等號(hào)不能成立，則要換另一種方法解答，如函數(shù)的單調(diào)性等。3.幾個(gè)常用的重要結(jié)論(1)ba+ab≥2(a與b同號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)(2)a+1a≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào))，a+1a≤-2(a(3)ab≤a+b22(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b(4)(a，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))?？挤ㄒ唬呵笞钪?.直接法：利用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一正、二定、三相等。(1)各項(xiàng)或各因式均為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值。2.配湊法：在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：(1)加項(xiàng)變換；(2)拆項(xiàng)變換；(3)統(tǒng)一換元；(4)平方后利用基本不等式。3.常數(shù)代換法：若不直接滿足應(yīng)用基本不等式的條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，其中常數(shù)代換法應(yīng)用比較廣泛，如構(gòu)造“1”的代換等?？挤ǘ鹤C明不等式1.兩種常見類型：一是無(wú)附加條件的不等式證明；二是有附加條件的不等式證明。2.要先觀察題中要證明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之滿足能使用基本不等式的條件。3.若題目中還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，常用常數(shù)代換.解題過程中要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到。探究一：基本不等式求積的最大值已知，，，則的最大值為___________.思路分析：思路分析：由題知，進(jìn)而令，，再結(jié)合基本不等式求解即可?！咀兪骄毩?xí)】1．已知，，，則的最大值為________．2．已知對(duì)任意，，恒有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．探究二：基本不等式求和的最小值已知，若，則的最小值為___________．思路分析：思路分析：根據(jù)條件，化簡(jiǎn)所給的等式，得到，然后根據(jù)積為常數(shù)，和有最小值，進(jìn)行恒等變形，利用基本不等式求的最小值。【變式練習(xí)】1．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)解分別為，則的最小值為___________．2．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值為__________．探究三：二次與二次（或一次）的商式的最值不等式的解集為，則的最大值為____________.思路分析：思路分析：分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出、所滿足的不等關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最大值?！咀兪骄毩?xí)】1．是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為________．2．已知，則的最大值為______________;探究四：利用基本不等式證明不等關(guān)系已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）將左邊變形為，然后利用基本不等式可證得結(jié)論，（2）利用可證得，同理可得，，3個(gè)式相加可證得結(jié)論。【變式練習(xí)】1．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).(1)求證：.(2)若，求證：.2．證明下列不等式，并討論等號(hào)成立的條件.(1)若，則；(2)若，則.一、單選題1．已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．62．若，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．4．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．已知正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則最小值為（

）A．4 B． C．9 D．106．已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．37．若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知的斜邊長(zhǎng)為2.則下列關(guān)于的說(shuō)法中，正確的是A．周長(zhǎng)的最大值為 B．周長(zhǎng)的最小值為C．面積的最大值為2 D．面積的最小值為1二、多選題9．以下結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值是2；B．若且，則；C．的最小值是2；D．函數(shù)的最大值為0．10．下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則的最大值是-1B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是12．下列命題中真命題有（

）A．若，則的最大值為2B．當(dāng)，時(shí)，C．若，則的最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，恒成立三、填空題13．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為___________.14．若，，，則當(dāng)______時(shí)，取得最小值．15．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為________.16．已知，，下面四個(gè)結(jié)論:①；②；③若，則；④若，則的最小值為；其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)四、解答題17．已知x，y都是正實(shí)數(shù)．(1)求證：；(2)若，求的最小值．18．已知，且滿足．(1)若，求的值；(2)求：的最大值與最小值．19．已知，，且．(1)求的最小值；(2)是否存在，，使得的值為？并說(shuō)明理由．20．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．21．已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足證明：(1)；(2)．22．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；常考題型09應(yīng)用基本不等式求最值和證明不等式1.如果a，b都是正數(shù)，那么a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。我們稱上述不等式為基本不等式，其中a+b2稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a，b2.利用基本不等式求最值時(shí)，等號(hào)必須取得才能求出最值，若由于定義域或題設(shè)的限制使等號(hào)不能成立，則要換另一種方法解答，如函數(shù)的單調(diào)性等。3.幾個(gè)常用的重要結(jié)論(1)ba+ab≥2(a與b同號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)(2)a+1a≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào))，a+1a≤-2(a(3)ab≤a+b22(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b(4)(a，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))?？挤ㄒ唬呵笞钪?.直接法：利用基本不等式求最值，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一正、二定、三相等。(1)各項(xiàng)或各因式均為正；(2)和或積為定值；(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值。2.配湊法：在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：(1)加項(xiàng)變換；(2)拆項(xiàng)變換；(3)統(tǒng)一換元；(4)平方后利用基本不等式。3.常數(shù)代換法：若不直接滿足應(yīng)用基本不等式的條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，其中常數(shù)代換法應(yīng)用比較廣泛，如構(gòu)造“1”的代換等?？挤ǘ鹤C明不等式1.兩種常見類型：一是無(wú)附加條件的不等式證明；二是有附加條件的不等式證明。2.要先觀察題中要證明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之滿足能使用基本不等式的條件。3.若題目中還有已知條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，常用常數(shù)代換.解題過程中要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到。探究一：基本不等式求積的最大值已知，，，則的最大值為___________.思路分析：思路分析：由題知，進(jìn)而令，，再結(jié)合基本不等式求解即可?！窘馕觥拷猓?，當(dāng)時(shí)取等，所以，故令，則，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為故答案為：答案：【變式練習(xí)】1．已知，，，則的最大值為________．答案：【解析】解：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，，，的最大值為．故答案為：．2．已知對(duì)任意，，恒有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．答案：【解析】由，得．∵，，∴．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：.探究二：基本不等式求和的最小值已知，若，則的最小值為___________．思路分析：思路分析：根據(jù)條件，化簡(jiǎn)所給的等式，得到，然后根據(jù)積為常數(shù)，和有最小值，進(jìn)行恒等變形，利用基本不等式求的最小值?！窘馕觥恳?yàn)?，所以，整理可得，由已知，則，可得，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)是取到等號(hào)，又，所以取到最小值.故答案為：.答案：【變式練習(xí)】1．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)解分別為，則的最小值為___________．答案：【解析】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)解分別為，所以，解得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.2．已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值為__________．答案：17【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：17探究三：二次與二次（或一次）的商式的最值不等式的解集為，則的最大值為____________.思路分析：思路分析：分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出、所滿足的不等關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最大值。【解析】當(dāng)時(shí)，即不等式的解集為，則，，要使得有意義，此時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，若不等式的解集為，則，即，所以，，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.故答案為：.答案：【變式練習(xí)】1．是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為________．答案：【解析】,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．2．已知，則的最大值為______________;答案：【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.探究四：利用基本不等式證明不等關(guān)系已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）將左邊變形為，然后利用基本不等式可證得結(jié)論，（2）利用可證得，同理可得，，3個(gè)式相加可證得結(jié)論。【解析】（1）證明：左邊，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”．故．（2）證明：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，所以，所以，①同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取取“＝”，②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”．③①+②+③，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．【變式練習(xí)】1．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).(1)求證：.(2)若，求證：.【解析】（1）因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.2．證明下列不等式，并討論等號(hào)成立的條件.(1)若，則；(2)若，則.答案：(1)證明見解析，等號(hào)成立條件見解析；(2)證明見解析，等號(hào)成立條件見解析【解析】（1）因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，若，則成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.一、單選題1．已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】因?yàn)椋钥傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)，的最大值為2．故選：A．2．若，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.3．負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故選：A4．設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、、滿足，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最大值為.故選：C.5．已知正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則最小值為（

）A．4 B． C．9 D．10答案：C【解析】由，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào).當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，取得最小值9故選：C6．已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3答案：D【解析】解：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故選：D7．若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：A．8．已知的斜邊長(zhǎng)為2.則下列關(guān)于的說(shuō)法中，正確的是A．周長(zhǎng)的最大值為 B．周長(zhǎng)的最小值為C．面積的最大值為2 D．面積的最小值為1答案：A【解析】設(shè)為斜邊，所以，由基本不等式的推論可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，據(jù)此可知，故△ABC的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤，由基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由面積公式，故面積的最大值為1，所以C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.二、多選題9．以下結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值是2；B．若且，則；C．的最小值是2；D．函數(shù)的最大值為0．答案：BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由知，根據(jù)均值不等式可得，故正確；對(duì)于C，令，則單調(diào)遞增，故最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BD10．下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為答案：BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B選項(xiàng)正確，對(duì)于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，時(shí)取最大值，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．故選：BD．11．下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則的最大值是-1B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是答案：ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為-1，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，都是正?shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），因?yàn)?，所以，所以，所以，解?舍去)或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，則，，因?yàn)?，所以，同?hào)，則，同號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，故D正確，故選：ABD．12．下列命題中真命題有（

）A．若，則的最大值為2B．當(dāng)，時(shí)，C．若，則的最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)a，b均為正數(shù)時(shí)，恒成立答案：ABC【解析】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確.B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確.C選項(xiàng)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確.D選項(xiàng)，當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)，也成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題13．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為___________.答案：【解析】令，則，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.所以的最大值為.故答案為：.14．若，，，則當(dāng)______時(shí)，取得最小值．答案：【解析】解：因?yàn)?，，所以，即．?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：15．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，，，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為________.答案：【解析】由題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴此三角形面積的最大值為.故答案為：16．已知，，下面四個(gè)結(jié)論:①；②；③若，則；④若，則的最小值為；其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)答案：①③④【解析】因?yàn)?，所以即所以，故①正確因?yàn)樗运?，故②錯(cuò)誤因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，故③正確因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值因?yàn)?，所以即，故④正確故答案為：①③④四、解答題17．已知x，y都是正實(shí)數(shù)．(1)求證：；(2)若，求的最小值．答案：(1)證明見解析；(2)9分析：(1)∵，，∴，，∴，又，∴