第06講第六章計(jì)數(shù)原理章末題型大總結(jié)（4大方法14類高頻題型講練）（原卷版）

第06講第六章計(jì)數(shù)原理章末題型大總結(jié)題型01分類討論思想【典例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)每個(gè)比1大的正整數(shù)要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫出來(lái)的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的自然數(shù)不為素?cái)?shù)能唯一地寫成其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)，，，將上式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有個(gè)素?cái)?shù)．從120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．13 C．19 D．60【典例2】（2324高二下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙等5名同學(xué)參加語(yǔ)數(shù)外三科知識(shí)競(jìng)賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競(jìng)賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競(jìng)賽，且這三科競(jìng)賽都有人參加的概率為.【典例3】（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）用1、2、3、4可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？其中有多少個(gè)偶數(shù)？【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某惠民醫(yī)院開(kāi)展“關(guān)愛(ài)健康，守護(hù)生命，服務(wù)老人”的義診活動(dòng)，需要臨時(shí)從某科室中抽調(diào)3名醫(yī)護(hù)人員，已知該科室現(xiàn)共有3名醫(yī)生和4名護(hù)士.為了保障醫(yī)院工作正常運(yùn)作，該科室內(nèi)至少需要留有1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的抽調(diào)方案共有（

）A．72種 B．36種 C．30種 D．18種【變式2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一只蜜蜂沿如圖所示的用8個(gè)完全一樣的正方體搭建的幾何體的棱并按照箭頭所指的相互垂直的三個(gè)方向從A點(diǎn)飛行到B點(diǎn)，可能的飛行路徑共有種（用數(shù)字作答）．

【變式3】

（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）某人需要在一天的上午乘車從A地到B地再轉(zhuǎn)車趕到C地，現(xiàn)已知A地至B地以及B地至C地的汽車時(shí)刻表如下：從A地到B地的汽車時(shí)刻表

從B地到C地的汽車時(shí)刻表車次發(fā)車到站16:308:0027:309:0038:3010:0049:3011:00車次發(fā)車到站17:208:4028:209:4039:2010:40410:2011:40問(wèn)此人在這天從A地到達(dá)C地有多少種不同的乘車方案？題型02整體思想【典例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（

）A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種【典例2】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進(jìn)行合影，若要求男生甲與男生乙不相鄰，且女生A和女生B相鄰，則不同排法的種數(shù)有（

）A．288種 B．144種 C．96種 D．72種【變式1】（2425高三上·福建泉州·階段練習(xí)）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚(yú)，甲?乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（

）A．96種 B．120種 C．192種 D．240種【變式2】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過(guò)海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對(duì)這6個(gè)節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（

）A．240種 B．188種 C．144種 D．120種題型03主元思想【典例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排照相，則甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有一名同學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．【典例2】（2425高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．甲、乙兩人要在同一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案共有.【典例3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？【變式1】（2324高二下·內(nèi)蒙古·期中）從6人（包含甲）中選派出3人參加，，這三項(xiàng)不同的活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，若甲不參加和活動(dòng)，則不同的選派方案有（

）A．60種 B．80種 C．90種 D．150種【變式2】（2425高三·上?！ふn堂例題）七個(gè)人排成一行，則甲在乙左邊（不一定相鄰）的不同排法數(shù)有種.題型04“正難則反”思想【典例1】（2425高三上·重慶涪陵·開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無(wú)并列情況).甲、乙、丙去詢問(wèn)成績(jī).老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的.”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍.”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．54【典例2】（多選）（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）某市文化局組織了一次“送戲下鄉(xiāng)”活動(dòng)，共有個(gè)節(jié)目，且小品和相聲各一個(gè)，若小品不排在第一位，相聲不排在最后一位，則不同的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例3】（2425高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）5名學(xué)生和1位老師站成一排照相，問(wèn)老師不排在兩端的排法有多少種？【變式1】（2425高三上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）第41屆全國(guó)青少年信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽于2024年7月日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦．在本次競(jìng)賽組織過(guò)程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師參加．若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（

）種A．108 B．114 C．150 D．240【變式2】（2425高三上·云南昆明·期中）甲口袋中有標(biāo)號(hào)為、、的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號(hào)為、、、的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法共有種（用數(shù)字作答）題型05兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例1】（2425高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）現(xiàn)有三對(duì)雙胞胎共6人排成一排，則有且只有一對(duì)雙胞胎相鄰的排法種數(shù)是（

）A．180 B．240 C．288 D．300【典例2】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）結(jié)合排列組合，解決下列問(wèn)題．(1)將6封不同的信放到7個(gè)不同的信箱中，有多少種放法？(2)將6封不同的信放到5個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？(3)將6封相同的信放到3個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？(4)將4封標(biāo)有序號(hào)A，B，C，D的信放到四個(gè)標(biāo)有A，B，C，D的信箱中，恰有一組序號(hào)相同，則有多少種放法？【典例3】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）現(xiàn)有名師生站成一排照相，其中老師人，男學(xué)生人，女學(xué)生人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)老師站在最中間，名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，名男學(xué)生兩邊各人；(2)名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；(3)名老師之間必要有男女學(xué)生各人．【變式1】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）2023年春節(jié)旅游業(yè)回暖，人們紛紛外出游玩，游覽祖國(guó)美好河山．現(xiàn)有6名游客去A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)景點(diǎn)都有人游覽，且甲和乙不去同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的游覽方式共有種（用數(shù)字作答）．【變式2】（2425高三·上?！ふn堂例題）4件不同的禮品，按以下各種情況，各有幾種分法？(1)平均分成兩堆；(2)平分給兩人；(3)分成兩堆，一堆3件，一堆1件；(4)分給兩人，一人3件，一人1件．題型06數(shù)字排列問(wèn)題【典例1】（2324高二下·江蘇宿遷·期中）共10個(gè)數(shù)字．(1)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；(3)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的大于或等于30000的五位數(shù)；(4)在無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，50124從大到小排第幾．【典例2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．求：(1)共有多少個(gè)五位數(shù)？(2)其中偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？(3)其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？(4)其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？【典例3】（2425高二·江蘇·課后作業(yè)）已知一個(gè)兩位數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都從1，2，3，4中任意選取.(1)如果兩位數(shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？(2)如果兩位數(shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）用這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的整數(shù)？(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)恰有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)？【變式2】（2324高二下·江蘇·期中）有0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字．(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？(3)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？題型07涂色問(wèn)題【典例1】（2425高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（

）

A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【典例2】（2425高三上·福建福州·期中）如圖，對(duì)某市的個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

【典例3】（2324高二下·山西臨汾·期中）如圖，這是一面含A，B，C，D，E，F(xiàn)六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對(duì)這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有種不同的涂色方法；若區(qū)域D不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

【變式1】（2425高三上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.①若區(qū)域涂2種顏色，區(qū)域涂另外2種顏色，則有種不同涂法.②若區(qū)域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區(qū)域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有種不同涂法.【變式2】（2425高三上·重慶長(zhǎng)壽·開(kāi)學(xué)考試）某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的古錢幣造型作為該活動(dòng)的舉辦標(biāo)志，舉辦方計(jì)劃在入口處設(shè)立一個(gè)如下圖所示的造型現(xiàn)擬在圖中五個(gè)不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的花卉品種不一樣.現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.(1)（i）共有多少種不同的栽種方法；題型08全排列問(wèn)題【典例1】（2324高二下·廣東·期中）某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（

）A．960種 B．836種C．816種 D．720種【典例2】（2324高二下·甘肅·期末）甲、乙、丙等7名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假時(shí)間從，，三個(gè)社區(qū)中選一個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)，若甲、乙、丙恰好去三個(gè)不同的社區(qū)，則所有不同的選擇種數(shù)為．【典例3】（2324高二下·北京豐臺(tái)·期末）2024年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒(méi)．逆轉(zhuǎn)時(shí)空》4部?jī)?yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部觀看．(1)如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？(2)如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？(3)如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？【變式1】（2324高二下·安徽安慶·期末）某寢室4名室友拍畢業(yè)照，4位同學(xué)站成一排，其中甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法種數(shù)有（

）A．24種 B．12種 C．8種 D．6種【變式2】（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)的數(shù)字？（列式并計(jì)算）(1)六位數(shù)；(2)六位奇數(shù)；(3)能被5整除的六位數(shù)；(4)組成的六位數(shù)按從小到大順序排列，第265個(gè)數(shù)是多少？(5)六位數(shù)中數(shù)字1，2始終相鄰的數(shù)題型09元素位置有限制問(wèn)題【典例1】（2425高三上·重慶·階段練習(xí)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（

）A．432 B．864 C．1728 D．2592【典例2】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）用，，，，，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，該六位數(shù)是的倍數(shù)且奇數(shù)與偶數(shù)相間，則滿足條件的這樣的六位數(shù)有個(gè)．【典例3】（2425高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）今年暑期旅游旺季，貴州以涼爽的氣候條件和豐富的旅游資源為依托，吸引了各地游客前來(lái)游玩.由安順黃果樹(shù)瀑布?荔波小七孔?西江千戶苗寨?赤水丹霞?興義萬(wàn)峰林?銅仁梵凈山6個(gè)景點(diǎn)諧音組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”.小明和家人計(jì)劃游覽以上6個(gè)景點(diǎn)，若銅仁梵凈山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千戶苗寨安排在相鄰位置，則一共有種不同的游覽順序方案.（用數(shù)字作答）【變式1】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）一位語(yǔ)文老師在網(wǎng)上購(gòu)買了四書(shū)五經(jīng)各一套，四書(shū)指《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》，五經(jīng)指《詩(shī)經(jīng)》《尚書(shū)》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書(shū)整齊地放在同一層書(shū)架上，若四書(shū)，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【變式2】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出5人去擔(dān)任英語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物的課代表．分別求出符合下列條件的安排方法種數(shù)：(1)有女生但不少于男生；(2)女生甲不擔(dān)任物理課代表；(3)女生乙入選且不擔(dān)任生物課代表，男生甲若入選，只擔(dān)任數(shù)學(xué)或物理課代表．題型10相鄰與不相鄰問(wèn)題【典例1】（2324高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法C．如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法D．如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有720種不同排法【典例2】（2324高二下·陜西西安·期中）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò)6道工序．(1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問(wèn)有多少種加工順序?(2)若其中某3道工序必須相鄰．問(wèn)有多少種加工順序?(3)若其中某3道工序兩兩不能相鄰，問(wèn)有多少種加工順序?【典例3】（2324高二上·遼寧撫順·階段練習(xí)）某次介紹會(huì)需要安排6個(gè)產(chǎn)品的介紹順序，其中3個(gè)產(chǎn)品來(lái)自A公司，2個(gè)產(chǎn)品來(lái)自B公司，1個(gè)產(chǎn)品來(lái)自C公司．(1)求B公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序相鄰的方案數(shù);(2)求同一個(gè)公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰，C公司的產(chǎn)品既不是第一個(gè)介紹，也不是最后一個(gè)介紹的方案數(shù)．【變式1】（多選）（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定，其余9個(gè)節(jié)目中有4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，則（

）A．若要求4個(gè)音樂(lè)節(jié)目排在一起，則有種不同的排法B．若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有種不同的排法C．若要求3個(gè)舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有種不同的排法D．若要求音樂(lè)節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有種不同的排法【變式2】（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)如果男生甲、乙之間必須排兩個(gè)女生，可有多少種不同的排法？題型11分組分配問(wèn)題【典例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將6本不同的書(shū)，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種不同的分配方式？【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）現(xiàn)在4本不同的書(shū)，按以下方式進(jìn)行分配．(1)分成兩堆，每堆2本，則有多少種分法；(2)分成兩堆，一堆3本、一堆1本，則有多少種分法；(3)分給甲、乙兩人，每人2本，則有多少種分法；(4)分給甲、乙兩人，一個(gè)3本、一人1本，則有多少種分法．【典例3】（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）五個(gè)不同的小球，全部放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中.回答下面幾個(gè)問(wèn)題（寫出必要的算式，并以數(shù)字作答）:(1)可以有空盒，但球必須都放入盒中的放法有多少種?(2)四個(gè)盒都不空的放法有多少種?(3)恰有一個(gè)空盒的放法有多少種?【變式1】（2425高二上·全國(guó)·課堂例題）6本不同的書(shū)，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本（平均分組）；(2)一組1本，一組2本，一組3本（不平均分組）；(3)一組4本，另外兩組各1本（局部平均分組）．【變式2】（2324高二下·安徽六安·期中）6本不同的書(shū)，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．（要求:以上4題最終答案均要用數(shù)字作答）題型12二項(xiàng)展開(kāi)式及其逆應(yīng)用【典例1】（2324高二下·山東臨沂·期中）若實(shí)數(shù)，則等于（

）A． B．32 C． D．64【典例2】（2425高二上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設(shè)，它等于下式中的（

）A． B． C． D．【典例3】（2425高二上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）代數(shù)式可化簡(jiǎn)為．【變式1】（2324高二下·河南洛陽(yáng)·期中）（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）（

）A． B．C． D．題型13特定項(xiàng)（特定項(xiàng)系數(shù)）【典例1】（2324高二下·山東菏澤·期中）的展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（2425高三上·福建南平·期中）若的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則，該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．【典例3】（2324高二下·河南鄭州·期末）已知二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256.(1)求展開(kāi)式中的系數(shù)；(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【變式1】（多選）（2425高三上·甘肅白銀·期中）對(duì)于二項(xiàng)式，下列說(shuō)法正確的是（

）A．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng) D．展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有4項(xiàng)【變式2】（2425高三上·四川眉山·階段練習(xí)）將個(gè)班分別從個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，共有種不同的選法，則在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.題型14二項(xiàng)式系數(shù)（含最值問(wèn)題）【典例1】（2425高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）的展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為（

）A．第1項(xiàng)和第3項(xiàng) B．第2項(xiàng)和第4項(xiàng)C．第3項(xiàng)和第1項(xiàng) D．第4項(xiàng)和第2項(xiàng)【典例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【典例3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.【變式1】（多選）（2324高二下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2324高二下·重慶九龍坡·期中）在的展開(kāi)式中，若第7項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為，則．題型15系數(shù)（含系數(shù)最大，小項(xiàng)）【典例1】（2324高二下·江蘇南通·期中）在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并完成解答.①所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為；②前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22.問(wèn)題：在的展開(kāi)式中，__________.(1)證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【典例2】（2324高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).（用數(shù)字作答）【典例3】（2324高二下·河北保定·階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍.(1)求n的值；(2)求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；(3)求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【變式1】（2324高二下·浙江杭州·期中）已知的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32.(1)求n的值；(2)若展開(kāi)式中的系數(shù)為80，求a的值.【變式2】（2324高二下·寧夏石嘴山·期中）已知的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)．(1)求的值；(2)求該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．(3)求其展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).題型16二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和【典例1】（2324高二下·天津和平·期中）已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．(1)求n；(2)求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)；(3)設(shè)展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為M，展開(kāi)式的所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為N，求．【典例2】（2324高二下·四川遂寧·期中）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，.

給出下列條件：①第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是；②各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為512；

③第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)；從上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問(wèn)題.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(3)求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【典例3】（2324高二下·江蘇淮安·期中）若．求：(1)；(2)．【變式1】（2324高二下·山東聊城·期中）（結(jié)果可用指數(shù)冪的形式表示）設(shè).求：(1)；(2)求的值；(3)求的值.【變式2】（2324高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知.(1)求；(2)求.題型17二項(xiàng)式定理應(yīng)用【典例1】（2324高二下·吉林·期中）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)a，b，m均為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相間，則稱a和b對(duì)模m同余，記為，如9和21被6除得的余數(shù)都是3，則記.若，且，則b的值可以是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【典例2】（2324高二下·廣東茂名·期中）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)均為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為，如9和21被6除得的余數(shù)都是3，則記．若，且，則的值可以是（

）A．2010 B．2021 C．2019 D．1997【典例3】（2324高二下·山東濟(jì)寧·期中）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，某同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題和第二小題都隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，這位同學(xué)的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）共有種情況，則除以36的余數(shù)是．【變式1】（2324高二下·江蘇徐州·期中）已知為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為，若，，則